江西省吉安市安福县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷+解析）

安福县2025—2026学年度上学期期末质量检测作业九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从上面看到的图形是（）A. B.C D.2.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（）A. B. C. D.3.如图，菱形的对角线与相交于点是的中点，连接，若，则长为（）A3 B.6 C.8 D.104.智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A. B.C. D.5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.6.如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7若，则______．8.已知，分别是一元二次方程两个根，则的值为__________．9.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____．10.如图，反比例函数的图象上有一点P，过点P向轴，轴作垂线，垂足为C、D，若，则____________．11.将矩形纸片ABCD如图那样折起，使顶点C落在处，测量得AB=4，DE=8，则为________________.12.如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为______．三、解答题（本大题共3小题；每题6分，共18分）13.（1）计算：；（2）解方程：．14.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________．（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．15.如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长．16.如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线；（2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上高．17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积．四、解答题（本大题共3小题；每题8分，共24分）18.安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？19.如图，四边形中，平分，，为的中点．连接，．（1）求证：；（2）若，．求的值．20.某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团：C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图；（2）扇形统计图中圆心角______度，扇形统计图中所占百分比为______；（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）（1）如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；（2）调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）22.如图1，已知矩形和矩形，，，连接，．（1）发现①线段与线段之间的数量关系是________，②直线与直线之间的位置关系是________（2）探究若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明．（3）应用在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）．六、（本大题12分）23.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，．①求证：；②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．安福县2025—2026学年度上学期期末质量检测作业九年级数学一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从上面看到的图形是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了俯视图的识别，正确理解俯视图是关键．根据俯视图的识别方法判断即可．【详解】解：这个几何体从上面看到的图形为：故选：D．2.中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得．【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下：由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果，所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是，故选：D．3.如图，菱形的对角线与相交于点是的中点，连接，若，则长为（）A.3 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，中位线的判定与性质，先理解题意，结合菱形的性质，得是的中点，又因为是的中点，故是的中位线，因为，故，即可作答．【详解】解：∵菱形的对角线与相交于点∴是的中点，∵是的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴，即．故选：B．4.智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，由题意得，，故选：．5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的性质，先分别求解，再进一步比较大小即可．【详解】解：∵反比例函数中，∴，，，∴，综上，．故选：A6.如图是二次函数的图象，在下列说法中：①；②；③；④．正确的说法个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是根据图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，分析系数符号及函数值的变化．由开口方向得符号，由对称轴位置得的符号，由与轴交点得的符号，判断abc的符号；代入、得对应函数值，判断②③；根据二次函数的最值性质，判断④．【详解】解：由图象知：图象开口向上，故；对称轴是直线，故，；与轴交于负半轴，故．①，，，则，正确；②当时，，由图象知时，，错误；③当时，，由图象知时，，正确；④当时，是最小值，故对任意，，即，正确．综上，①③④正确，共3个．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.若，则______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了比例性质，由已知比例关系，利用分式的运算性质，将所求表达式变形后代入求解．【详解】解：，∴．故答案为．8.已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可．【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根，由根与系数的关系得，，则，故答案为．9.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高____．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意可知：，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长．【详解】解：由题意可得：，，，，，，即，解得：，树高，故答案为：．10.如图，反比例函数的图象上有一点P，过点P向轴，轴作垂线，垂足为C、D，若，则____________．【答案】−4【解析】【分析】设点的坐标为，用、表示、的长，根据矩形的面积为4，列出算式求出的值．【详解】解：设点的坐标为，则，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．11.将矩形纸片ABCD如图那样折起，使顶点C落在处，测量得AB=4，DE=8，则为________________.【答案】##0.5【解析】【分析】由翻折的性质可知，．再根据正弦的定义求解即可．【详解】由折叠的性质可知，．∵AB=4，DE=8，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查矩形与折叠，锐角三角函数的定义．掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．12.如图，矩形中，交于点O，，，点M在边上，且，点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为______．【答案】5或或【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解题关键．过点作于点，结合矩形的性质易得为等腰三角形，可得，进而可知为的中位线，可得，利用勾股定理可解得，若是等腰三角形，可分，和三种情况，分别求解即可．【详解】解：如下图，过点作于点，∵四边形为矩形，，，∴，，，∵，∴，∴为的中位线，∴，∵，∴，∴，∵是等腰三角形，当时，可有；当时，则有，此时；当时，设，则有，在中，可有，∴，解得．综上所述，的长为5或或．故答案为：5或或．三、解答题（本大题共3小题；每题6分，共18分）13.（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）6；（2）【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和一元二次方程的解法是关键．（1）先计算负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、计算零指数幂，再进一步计算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：（2）解：∴则或解得14.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________．（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键．（1）直接利用概率公式计算即可；（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片，∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种，∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）．15.如图，已知，它们依次交直线，于点，，和点，，，且，求的长．【答案】【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，由，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，解得，，∵，即，解得，，∴，16.如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线；（2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上的高．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先作出图形，再利用菱形的性质证明即可；（2）先作出图形，再利用菱形的性质证明四边形是矩形即可．【小问1详解】解：如图，连结，交于点O，交于点，∵四边形是菱形，∴与互相平分，即是的边上的中线，又点E是边的中点，∴为边上的中线，连结并延长交于点，则就是所求作的，过点C作的中线；【小问2详解】如图，∵四边形是菱形，∴与互相平分，即，∵，∴，连结并延长交于点，连结，∵四边形是菱形，∴四边形是中心对称图形，为对称中心，∴与为对应点，∴，∴与互相平分，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形，∴，即为边上的高，即为所求作．【点睛】本题考查了画三角形的高，利用矩形的性质证明，利用菱形的性质证明，无刻度直尺作图,画三角形的高等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为（2）的面积为3【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的性质．（1）先将点代入到一次函数解析式中，求得点的坐标，进而求得k的值，即可解答；（2）根据轴，得到点C的坐标，从而求得的长度，再根据一次函数的图象与轴相交于点，令，即可得到点A的坐标，从而求得的长度，最后由三角形面积公式即可解答．【小问1详解】解：点直线与反比例函数交点，点坐标满足一次函数解析式，，，，，，∴反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：轴，，，轴，，一次函数的图象与轴相交于点，令，则，，，，的面积为3．四、解答题（本大题共3小题；每题8分，共24分）18.安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为（2）该品牌头盔每个应涨价5元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；（2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．【小问1详解】解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得：，解得（舍去），答：头盔销售量的月增长率为；【小问2详解】解：设头盔每个涨价元，根据题意得：，整理得，解得，要尽可能让顾客得到实惠，，答：该品牌的头盔每个应涨价5元．19.如图，四边形中，平分，，为的中点．连接，．（1）求证：；（2）若，．求值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．（1）根据角平分线的性质可得，且，可证；（2）由可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解．【小问1详解】证明：∵平分，∴，且，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，则（负值舍去），∵点是的中点，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，且，∴，解得：，∴．20.某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团：C.美术社团；D.文学社团；E.电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了______名学生，补全条形统计图；（2）扇形统计图中圆心角______度，扇形统计图中所占百分比为______；（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．【答案】（1）200；补全条形统计图见解析（2）54，（3）恰好选中甲、乙两名同学的概率为【解析】【分析】（1）用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；（2）用乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中的度数，根据E类的人数和总人数求出扇形统计图中所占百分比即可；（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：（人），类型社团的人数为（人），补全条形统计图如图，【小问2详解】解：，所占百分比为：．【小问3详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，恰好选中甲、乙两名同学的概率为：．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）（1）如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；（2）调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．（1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解；（2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，∵，∴，在中，，∴，∴，∴端点D距离地面的高度为；【小问2详解】解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．22.如图1，已知矩形和矩形，，，连接，．（1）发现①线段与线段之间的数量关系是________，②直线与直线之间的位置关系是________（2）探究若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明．（3）应用在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）．【答案】（1）①；②；（2）成立，证明见解析；（3），或．【解析】【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即