初一几何-三角形内外角平分线模型

初一几何——三角形内外角平分线模型在初中几何的学习旅程中，三角形无疑是一座重要的里程碑。而角平分线，作为三角形中的关键“线条”，常常与角度计算、图形性质紧密相连，演化出多种颇具挑战性的几何模型。其中，三角形内外角平分线相交形成的角度关系，更是各类考试中频繁出现的考点。今天，我们就一同深入探讨这些模型，剖析其内在规律，掌握破解此类问题的核心方法。一、内角平分线模型：双内角平分线的“邂逅”我们从最基础也最常见的模型开始——三角形的两个内角平分线相交。模型描述：在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，它们相交于点O。我们需要探究∠BOC与∠A之间的数量关系。思路剖析：要找到∠BOC与∠A的关系，我们自然要联想到三角形内角和定理。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°。而在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°。这里的∠OBC和∠OCB，正是∠ABC和∠ACB的一半，因为BO、CO是角平分线。推理过程：设∠ABC=2α，∠ACB=2β。因为BO平分∠ABC，所以∠OBC=α；同理，CO平分∠ACB，所以∠OCB=β。在△ABC中，∠A+2α+2β=180°，即α+β=(180°-∠A)/2=90°-∠A/2。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(α+β)。将α+β=90°-∠A/2代入上式，可得：∠BOC=180°-(90°-∠A/2)=90°+∠A/2。结论：三角形两内角平分线的夹角等于90°加上第三个内角的一半。即∠BOC=90°+∠A/2。记忆口诀与理解：这个结论可以理解为，两个内角各贡献了一半给夹角，而这两个一半的和，根据三角形内角和，恰好是90°减去第三个角的一半，再用180°去减，就得到了90°加上第三个角的一半。记住这个关系，在选择或填空题中可以直接应用，大大提高解题速度。二、内外角平分线模型：内角与外角平分线的“对话”接下来，我们探讨一个内角平分线与一个外角平分线相交的情况，这比双内角平分线模型稍显复杂，但同样有规律可循。模型描述：在△ABC中，BO是∠ABC的内角平分线，CO是∠ACB的外角平分线，它们相交于点O。我们需要探究∠BOC与∠A之间的数量关系。思路剖析：同样，我们还是要借助角平分线的定义和三角形内角和（或外角性质）。这里出现了一个外角，即∠ACB的外角，我们不妨记为∠ACD，那么∠ACD=∠A+∠ABC。CO是∠ACD的平分线，BO是∠ABC的平分线。推理过程：设∠ABC=2α，∠ACD=2γ。因为BO平分∠ABC，所以∠OBC=α；因为CO平分∠ACD，所以∠OCD=γ。在△ABC中，∠ACD是外角，所以∠ACD=∠A+∠ABC，即2γ=∠A+2α，可得γ=(∠A+2α)/2=∠A/2+α。在△BOC中，∠OCD是其外角，所以∠OCD=∠BOC+∠OBC，即γ=∠BOC+α。将γ=∠A/2+α代入上式，可得：∠A/2+α=∠BOC+α。两边同时减去α，得到∠BOC=∠A/2。结论：三角形一个内角平分线与另一个外角平分线的夹角等于第三个内角的一半。即∠BOC=∠A/2。记忆口诀与理解：这个结论相对简洁，夹角恰好是第三个内角的一半。可以这样理解，外角等于不相邻的两个内角和，它的一半就等于这两个内角和的一半，而其中一个内角的一半被内角平分线分走，剩下的就是第三个内角的一半。这个模型的结论在证明和计算中也非常有用。三、双外角平分线模型：外角平分线的“联盟”最后，我们来看看两个外角平分线相交的情况。模型描述：在△ABC中，BO是∠ABC的外角平分线，CO是∠ACB的外角平分线，它们相交于点O。我们需要探究∠BOC与∠A之间的数量关系。思路剖析：此时，点O位于三角形的外部。我们依然从角平分线定义出发，考虑这两个外角与∠A的关系。推理过程：设∠ABC的外角为∠CBE，∠ACB的外角为∠BCF。BO平分∠CBE，CO平分∠BCF。设∠CBE=2α，∠BCF=2β。因为BO平分∠CBE，所以∠OBC=α；因为CO平分∠BCF，所以∠OCB=β。∠ABC+∠CBE=180°（平角），所以∠ABC=180°-2α；同理，∠ACB=180°-2β。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+(180°-2α)+(180°-2β)=180°。整理可得：∠A+180°=2α+2β，即α+β=(∠A+180°)/2=∠A/2+90°。在△BOC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(α+β)。将α+β=∠A/2+90°代入，可得：∠BOC=180°-(∠A/2+90°)=90°-∠A/2。结论：三角形两个外角平分线的夹角等于90°减去第三个内角的一半。即∠BOC=90°-∠A/2。记忆口诀与理解：这个结论与双内角平分线模型有些“对称”的美感，一个是90°加一半，一个是90°减一半。理解时，注意两个外角和与内角的关系，以及它们一半的和与内角的关系，通过三角形内角和定理进行转化即可得到。四、模型应用与解题技巧掌握了这三个基本模型及其结论，我们在解决相关问题时就能更加游刃有余。应用场景：1.直接计算角度：当题目中给出三角形一个角的度数，以及角平分线的条件时，可以直接套用模型结论求出交点形成的角的度数。2.证明角度关系：在证明题中，若涉及到角平分线的夹角，可以利用模型结论作为中间步骤，简化证明过程。3.辅助线构造：有时题目不会直接给出角平分线模型，但通过作辅助线构造出角平分线，可以利用模型结论找到突破口。例题解析：例1：在△ABC中，∠A=60°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为多少？解：直接应用双内角平分线模型结论：∠BOC=90°+∠A/2=90°+60°/2=90°+30°=120°。例2：在△ABC中，∠A=80°，BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的外角平分线，则∠BOC的度数为多少？解：应用内角与外角平分线模型结论：∠BOC=∠A/2=80°/2=40°。例3：在△ABC中，∠A=50°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，则∠BOC的度数为多少？解：应用双外角平分线模型结论：∠BOC=90°-∠A/2=90°-50°/2=90°-25°=65°。解题技巧总结：*准确识别模型：拿到题目后，首先要仔细观察图形，判断是哪一种角平分线模型（双内角、内外角、双外角）。*牢记结论公式：三个模型的结论要记准，不要混淆。特别是角度的一半以及加减90°的关系。*灵活运用定义与定理：模型结论是基于角平分线定义和三角形内角和（外角）定理推导出来的。在解答题中，不能只写结论，要有必要的推导过程，展现思维逻辑。*多做练习，熟能生巧：通过练习不同变式的题目，加深对模型的理解和应用能力。五、总结与提升三角形内外角平分线模型是初一几何中的重点和难点，但其内在规律清晰，结论明确。同学们在学习时，不仅要记住结论，更要理解结论的推导过程，这样才能在复杂多变的题目中灵活运用。遇到具体问题