武威市重点中学2026届数学高一上期末检测试题含解析

武威市重点中学2026届数学高一上期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的图象大致为A. B.C. D.2．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有30人，则的值为A.300 B.200C.150 D.1003．若直线与直线垂直，则()A.1 B.2C. D.4．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.5．长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（）A. B.C. D.6．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A. B.C. D.7．函数零点所在的区间是（）A. B.C. D.8．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A. B.C. D.9．下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.10．已知，，，则()A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为______12．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为___________.13．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________14．已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为________.15．设集合，,则_________16．幂函数的图像在第___________象限.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，（1）用，表示；（2）求18．已知函数.（1）直接写出的单调区间，并选择一个单调区间根据定义进行证明；（2）解不等式.19．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?20．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：小时)变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：，）（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为(毫克/立方米)，其中①求的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值21．如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用函数为奇函数及在时函数值正负，即可得答案.【详解】由于函数的定义域关于原点对称，且,所以函数的奇函数,排除B,C选项；又因为,故排除D选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意根据解析式发现函数为奇函数及特殊点函数值的正负.2、D【解析】根据频率分布直方图的面积和1,可得的频率为P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.选D.3、B【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.【详解】由题意可知，即故选：B.4、B【解析】先化简，再令，求出范围，根据在上有两个零点，作图分析，求得的取值范围.【详解】，由，又，则可令，又函数在上有两个零点，作图分析：则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.5、B【解析】根据题意，求得长方体的体对角线，即为该球的直径，再用球的表面积公式即可求得结果.【详解】由已知，该球是长方体的外接球，故，所以长方体的外接球半径，故外接球的表面积为.故选：.【点睛】本题考查长方体的外接球问题，涉及球表面积公式的使用，属综合基础题.6、D【解析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以故选：D7、D【解析】题目中函数较为简单，可以直接求得对应的零点，从而判断所在区间即可【详解】当时，令，即，所以；当时，令，即，，不在定义域区间内，舍所以函数零点所在的区间为故选：D8、D【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.故选D.【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题9、A【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：A10、A【解析】比较a、b、c与中间值0和1的大小即可﹒【详解】，，，∴﹒故选：A﹒二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】∵扇形的圆心角为，半径为，∴扇形的面积故答案为12、【解析】将函数转化为方程，作出的图像，结合图像分析即可.【详解】令得，作出的函数图像，如图，因为有4个零点，所以直线与的图像有4个交点，所以.故答案为：13、【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可【详解】解：函数的周期为，值域为,，则的值域为,，故答案为：14、【解析】根据内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，确定球O的半径，再由球的表面积公式即得。【详解】由题得，圆柱底面直径为2，球的半径为R，球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，故，则球的表面积.故答案为：【点睛】本题考查空间几何体，球的表面积，是常见的考题。15、【解析】根据集合的交集的概念得到.故答案为16、【解析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限.【详解】由解析式知：定义域为，且值域，∴函数图像在一、二象限.故答案为：一、二.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】先把指数式化为对数式求出的值，再利用对数的运算性质进行求解【小问1详解】解：，，，【小问2详解】解：，，，18、（1）在区间，上单调递增，在区间上单调递减，证明见解析（2）【解析】(1)根据增减函数的定义，利用作差法比较与0的大小即可；(2)根据三角函数的性质可得、，利用函数的单调性列出三角不等式，解不等式即可.【小问1详解】在区间，上单调递增，在区间上单调递减.①选区间进行证明.，，且，有，由，所以，由，所以，所以，，所以在区间上单调递增.②选区间进行证明.，，且，有，由，，所以，，所以在区间上单调递减.③选区间进行证明.参考②的证明，在区间上单调递增.【小问2详解】，因为，，在区间上单调递减，所以，（），所以，所求解集为.19、（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为3-6+×70+2=43.5(万元).（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120-x)万元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，依题意得解得40≤x≤80.故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).令t=，则t∈[2，4]，所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.当t=6，即x=72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题.20、（1），（2）①（），②28毫克/立方米【解析】（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可（2）①由题意可得（），②由于可化为，然后利用基本不等式可求出其最小值【详解】解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，则当时，由，得，所以，当时，由，得，，得，所以，综上，，所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达小时，（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为（毫克/立方米），所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为（），②（），，当且仅当，即时取等号，所以第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的实际应用、分段函数的意义和性质、基本不等式、分类讨论的思想，考查分析问题的能力，解题的关键是正确理解题意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，属于较难题21、（1）（2）