2026届重庆市九校联盟数学高二上期末统考试题含解析

2026届重庆市九校联盟数学高二上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）A B.C. D.2．双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则它的离心率为（）A. B.C. D.3．如图，平行六面体中，与的交点为，设，则选项中与向量相等的是（）A. B.C. D.4．命题“若，则”的逆否命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5．已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B.C. D.6．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（）A. B.C. D.7．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.8．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元9．设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（）A.3 B.1C.0 D.﹣110．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.11．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A. B.C. D.12．设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________14．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________15．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.16．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA、OB，l于点P、Q、N（1）试探索PM与NQ长度的大小关系，并证明你的结论；（2）当P、Q是线段MN的三等分点时，求直线AB的斜率；（3）当P、Q不是线段MN的三等分点时，证明：以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆Q不可能包围线段NP18．（12分）已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，求在区间上的最小值和最大值.19．（12分）如图，已知圆锥SO底面圆的半径r=1，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成的角为.（1）求圆锥SO的侧面积；（2）若E为母线SA的中点，求二面角E-CD-B的大小.（结果用反三角函数值表示）20．（12分）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.（1）求圆M的方程；（2）若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是，的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小22．（10分）已知圆，直线的斜率为2，且过点（1）判断与的位置关系；（2）若圆，求圆与圆的公共弦长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列故选：C.2、A【解析】先利用直线的斜率判定一条渐近线与直线垂直，求出，再利用双曲线的离心率公式和进行求解.【详解】因为直线的斜率为，所以双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以，即，则双曲线的离心率.故选：A.卷II（非选择题3、B【解析】利用空间向量加减法、数乘的几何意义，结合几何体有，进而可知与向量相等的表达式.【详解】连接，如下图示：，.故选：B4、C【解析】根据逆否命题的定义写出逆否命题即得【详解】解：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为原命题的逆否命题，即“若，则”的逆否命题是“若，则”故选：C5、B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，由于，所以，所以，则，所以故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题6、C【解析】根据椭圆的定义可得，由即可求解.【详解】由，可得根据椭圆的定义，所以.故选：C7、B【解析】根据代入计算化简即可.【详解】故选：B.8、D【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，由题意得出的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论【详解】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，，、同理可得，所以，而，所以数列是等比数列，公比为，所以，，总利润为故选：D【点睛】思路点睛：本题考查数列的实际应用．解题方法是用数列表示月初进货款，得出递推关系，然后构造等比数列求解9、C【解析】线性规划问题，作出可行域后，根据几何意义求解【详解】作出可行域如图所示，，数形结合知过时取最小值故选：C10、D【解析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】由得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以，当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时，由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.11、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C12、A【解析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.【详解】设椭圆的标准方程为，，则有已知，两式相减得，即，，因为，解得故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，由点到直线的距离公式可得，即的最小值为3.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及抛物线的最值问题，其中解答中根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.14、或.【解析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.故答案为：或.【点睛】方法点睛：处理直线与圆位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.15、【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论【详解】在长方体中，连接，在长方体中，平面，所以对角线与平面所成的角为，对角线与平面所成的角为,对角线与平面所成的角为，显然，，，所以,，故答案为：16、【解析】推导出，从而，结合，，，能求出的长【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内，且所以,所以，，，的长故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】（1）根据已知条件设出直线方程及，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式，三点共线的性质即可求解；（2）根据已知条件得出，运用韦达定理和弦长公式，可得出直线的斜率；（3）根据（1）的结论及求根公式，求得点的坐标，结合的表达式，结合图形可知,由的范围和的取值即可证明.【小问1详解】由题意可知，抛物线的焦点为,设直线的方程为，则，消去，得，，，所以直线的方程为，由因为三点共线，所以，，同理，，,所以，所以.【小问2详解】因为P、Q是线段MN的三等分点，所以，，，又，，所以，所以，解得或（舍）所以直线AB的斜率为.【小问3详解】由（1）知，，得，所以，，又,,,,当时，,由图可知，,而只要，就有,所以当P、Q不是线段MN的三等分点时，以点Q为圆心、线段QO长为半径的圆Q不可能包围线段NP18、（1）在和上单调递增，在上单调递减.（2）答案见解析.【解析】（1）求解导函数，并求出的两根，得和的解集，从而得函数单调性；（2）由（1）得函数的单调性，从而得最小值，计算，再分类讨论与两种情况下的最大值.【小问1详解】函数定义域为，，时，或，因为，所以，时，或，时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，又因为，当时，，此时最小值为，最大值为；当时，，此时最小值为，最大值为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用19、（1）（2）【解析】（1）先根据母线与底面的夹角求出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式即可（2）利用三角形的中位线性质，先求出二面角，然后利用二面角与二面角的互补关系即可求得【小问1详解】根据母线SA与底面所成的角为，且底面圆的半径可得：则圆锥的侧面积为：【小问2详解】如图所示，过点作底面的垂线交于，连接，则为的中位线则有：，，易知，则，又直径AB与直径CD垂直，则则有：为二面角可得：又二面角与二面角互为补角，则二面角的余弦值为故二面角大小为20、（1）.（2）.【解析】（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.【小问1详解】解：设圆M的方程为，则圆心依题意得，解得.所以圆M的方程为.【小问2详解】解：设，，依题意得，得.点为圆M上的动点，得，化简得P的轨迹方程为.21、（1）证明见解析（2）【解析】(1)取中点连接，连接，证得四边形为平行四边形，，再证面，即可得到证明结果；（2）建立空间坐标系，求面和面的法向量，即可得到两个面的二面角的余弦值，进而得到二面角大小.【小问1详解】如上图，取中点连接，连接，均为线段中点，且，又G是的中点，且且四边形为平行四边形为等腰直角三角形，为斜边中点，面，面面又面.【小问2详解】建