国家开放大学电大专科《统计学原理》期末试题及答案

国家开放大学电大专科《统计学原理》期末试题及答案1.（单选）某市统计局欲了解居民网购支出情况，从全市80万户家庭中按“社区—楼栋—住户”三阶段抽样，共抽取1200户。该抽样方式属于A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.多阶段抽样答案：D解析：三阶段抽样先抽社区、再抽楼栋、最后抽住户，属于典型的多阶段抽样，可大幅降低现场调查成本。2.（单选）若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)约等于A.0.5000B.0.6826C.0.9544D.0.9973答案：B解析：正态分布68.26%的观测值落在均值±1σ区间内，为经典经验法则。3.（单选）某车间生产螺丝，标准差要求小于0.15mm。现抽取25件测得样本标准差0.18mm，在α=0.05下检验方差是否显著增大，应使用的检验统计量为A.ZB.tC.χ²D.F答案：C解析：单个正态总体方差检验用χ²统计量，公式χ²=(n－1)S²/σ₀²。4.（单选）在简单线性回归y=β₀+β₁x+ε中，若判定系数R²=0.81，则相关系数r为A.0.81B.0.90C.±0.90D.无法确定答案：C解析：R²=r²，故r=±√0.81=±0.90，符号与回归系数β₁相同。5.（单选）某超市2022年1月销售额120万元，12月销售额180万元，若采用几何平均法计算月平均增长率，结果为A.3.5%B.3.8%C.4.1%D.4.5%答案：B解析：几何平均增长率=[(180/120)^(1/11)－1]×100%≈3.8%。6.（单选）若事件A、B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)为A.0.12B.0.48C.0.70D.0.12答案：C解析：互斥事件并的概率等于概率之和0.3+0.4=0.7。7.（单选）在假设检验中，若减小显著性水平α，则A.Ⅰ型错误概率减小，Ⅱ型错误概率也减小B.Ⅰ型错误概率减小，Ⅱ型错误概率增大C.Ⅰ型错误概率增大，Ⅱ型错误概率减小D.两类错误概率均不变答案：B解析：α减小，拒绝域缩小，Ⅰ型错误概率下降，但接受域扩大导致β增大。8.（单选）某指数由三个指标加权算术平均得到，若其中一项指标值上升10%，权重30%，则总指数约上升A.3%B.10%C.30%D.无法确定答案：A解析：总指数变动≈权重×个体变动=0.3×10%=3%。9.（单选）在时间序列乘法模型Y=T×S×C×I中，若采用移动平均法测定季节指数，首要目的是消除A.长期趋势B.季节变动C.循环变动D.不规则变动答案：A解析：移动平均可平滑掉季节与不规则成分，保留趋势与循环，再用原序列除以移动平均即可分离季节。10.（单选）若随机变量X服从参数λ=3的泊松分布，则E(X²)为A.3B.6C.9D.12答案：D解析：泊松分布E(X)=λ，Var(X)=λ，E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=3+9=12。11.（多选）下列属于描述统计方法的有A.直方图B.箱线图C.假设检验D.相关系数E.聚类分析答案：ABD解析：描述统计侧重整理、展示与概括数据，C、E属推断统计或多元统计。12.（多选）关于样本均值的抽样分布，下列说法正确的有A.中心极限定理要求总体必须正态B.样本量越大，抽样分布越接近正态C.抽样分布均值等于总体均值D.抽样分布标准差为σ/√nE.抽样分布方差随n增大而增大答案：BCD解析：中心极限定理不要求总体正态；抽样分布方差σ²/n随n增大而减小。13.（多选）在建立回归模型时，若出现多重共线性，可能导致A.回归系数估计方差膨胀B.t检验失效C.判定系数R²极低D.系数符号与理论相反E.残差平方和增大答案：ABD解析：多重共线性使信息重叠，系数估计不稳定，但R²仍可很高，残差平方和不会因此增大。14.（多选）下列属于时间序列长期趋势测定方法的有A.线性趋势方程B.指数平滑C.季节指数D.移动平均E.抛物线趋势方程答案：ABE解析：移动平均主要用于平滑，季节指数测季节变动，非趋势本身。15.（多选）关于置信区间，正确的有A.置信水平越高，区间越宽B.样本量越大，区间越窄C.总体方差未知时，小样本需用t分布D.区间一旦构造，参数落入概率为95%E.置信区间可用来进行双侧假设检验答案：ABCE解析：D错误，参数固定，落入概率为0或1，置信水平描述的是构造方法的可靠性。16.（判断）标准差越大，表明数据越集中。答案：错解析：标准差衡量离散程度，越大越分散。17.（判断）若两变量相关系数为0，说明二者无任何关系。答案：错解析：仅说明无线性相关，可能存在非线性关系。18.（判断）在指数编制中，拉氏指数使用基期数量加权，帕氏指数使用报告期数量加权。答案：对解析：拉氏公式∑p₁q₀/∑p₀q₀，帕氏公式∑p₁q₁/∑p₀q₁。19.（判断）泊松分布的均值与方差相等。答案：对解析：泊松分布参数λ既是均值也是方差。20.（判断）若p值小于α，则拒绝原假设，且原假设必定错误。答案：错解析：拒绝仅表明样本证据充分，仍存在α概率犯Ⅰ型错误。21.（填空）若总体容量N=1000，样本容量n=100，采用不重复抽样，则样本均值的标准误修正系数为________。答案：√[(N－n)/(N－1)]=√(900/999)≈0.949解析：有限总体修正系数用于缩小标准误。22.（填空）某班40名学生统计学成绩平均78分，标准差6分，若将每人成绩加5分，则新方差为________。答案：36解析：加减常数不改变方差，仍6²=36。23.（填空）若随机变量X~B(n=10,p=0.4)，则P(X=4)的精确值为________。答案：C(10,4)×0.4⁴×0.6⁶=210×0.0256×0.046656≈0.2508解析：二项分布概率公式直接计算。24.（填空）某商品2020—2022年销售量环比增长速度分别为5%、8%、10%，则定基增长速度为________。答案：(1.05×1.08×1.10－1)×100%=24.74%解析：环比转定基用连乘。25.（填空）在单因素方差分析中，组间自由度为3，总自由度为29，则组内自由度为________。答案：26解析：df总=df组间+df组内。26.（简答）简述中心极限定理的核心内容及其在统计推断中的作用。答案：中心极限定理指出，从任意总体中抽取容量为n的随机样本，当n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其均值等于总体均值μ，方差为σ²/n。该定理奠定了大样本推断的理论基础，使得无论总体分布如何，只要样本量足够，即可使用正态近似构造置信区间、进行假设检验，从而极大拓展了统计方法的适用范围。27.（简答）说明判定系数R²与调整后R²的区别及何时使用后者。答案：R²=SSR/SST，反映因变量变异中被模型解释的比例，但随自变量增加而虚假上升；调整后R²引入自由度惩罚，公式1－[(1－R²)(n－1)/(n－p－1)]，其中p为自变量个数。当比较嵌套模型或变量数目不同模型时，应使用调整后R²，以避免过拟合导致的评价偏差。28.（简答）给出时间序列循环变动与季节变动的差异，并各举一例。答案：季节变动指一年内重复出现的规律性波动，周期固定为12个月或4季度，如空调销量夏季高峰；循环变动指数年以上的周期性起伏，周期长度不固定，如宏观经济萧条—复苏—繁荣—衰退的库兹涅茨周期。29.（简答）阐述p值的定义，并说明如何根据p值与显著性水平α做出决策。答案：p值是在原假设成立前提下，获得当前样本或更极端结果的概率。若p≤α，表明小概率事件发生，拒绝原假设；若p>α，证据不足，不拒绝原假设。该决策规则控制Ⅰ型错误概率不超过α。30.（简答）列举三种常用的离散程度测度指标，并比较其适用场景。答案：极差，适用于快速粗略描述，易受极端值影响；四分位差，适用于存在极端值或分布偏斜的次序数据；标准差，适用于数值型数据，数学性质优良，可与均值配合进行正态推断。31.（计算）某高校调查学生月生活费，随机抽取64名同学，得样本均值1600元，标准差320元。（1）求该校学生平均月生活费的95%置信区间；（2）若希望估计误差不超过50元，在相同置信水平下至少需抽取多少名学生？答案：（1）σ未知但n=64>30，可用正态近似，z₀.₀₂₅=1.96标准误=320/√64=40区间=1600±1.96×40=[1521.6,1678.4]元（2）允许误差E=50，n=(z²σ²)/E²=1.96²×320²/50²≈157.35，向上取整158名。32.（计算）某生产线规定产品重量标准差不超过5g。现抽取21件，测得样本方差38.5g²。（1）在α=0.05下检验方差是否显著超标；（2）计算检验的p值并解释。答案：（1）H₀:σ²≤25，H₁:σ²>25χ²=(n－1)S²/σ₀²=20×38.5/25=30.8查表χ²₀.₀₅,20=31.41，30.8<31.41，不拒绝H₀，尚不能认为方差显著超标。（2）p=P(χ²₂₀≥30.8)≈0.057，表示若总体方差确为25g²，获得样本方差38.5g²或更大的概率约为5.7%，略高于5%，故不拒绝。33.（计算）为比较两种肥料对小麦产量的影响，随机选择10块地，每块地均一分为二，随机施用A、B肥料，得配对产量（kg）：A：28312930322731333029B：30333032342932353131在α=0.05下检验两种肥料平均产量是否有差异。答案：计算差值d：－2,－2,－1,－2,－2,－2,－1,－2,－1,－2d̄=－1.7，Sd=0.483t=|d̄|/(Sd/√n)=1.7/(0.483/√10)=11.13查t₀.₀₂₅,9=2.262，11.13>2.262，拒绝H₀，两种肥料平均产量差异显著，B肥效更高。34.（计算）某电商平台2022年各季度销售额如下（百万元）：Q1Q2Q3Q4260300350390（1）用最小二乘法拟合线性趋势方程；（2）预测2023年Q1销售额。答案：令t=1,2,3,4对应四季∑t=10，∑y=1300，∑t²=30，∑ty=3440b=[n∑ty－∑t∑y]/[n∑t²－(∑t)²]=[4×3440－10×1300]/[4×30－100]=760/20=38a=ȳ－bt̄=325－38×2.5=230方程ŷ=230+38t2023Q1对应t=5，ŷ=230+38×5=420（百万元）35.（综合）某市交通部门欲评估限行政策对PM2.5浓度的影响，收集2021年限行前45天与2022年限行后42天的日均PM2.5数据，得：限行前：x̄₁=78μg/m³，s₁=18μg/m³限赛后：x̄₂=65μg/m³，s₂=15μg/m³（1）检验限行是否显著降低PM2.5，α=0.01；（2）求平均降低量的99%置信区间；（3）结合结果撰写不超过80字政策建议。答案：（1）H₀:μ₁－μ₂≤0，H₁:μ₁－μ₂>0合并方差sp²=[(n₁－1)s₁²+(n₂－1)s₂²]/(n₁+n₂－2)=(44×324+41×225)/85=279.35t=(78－65)/√[sp²(1/n₁+1/n₂)]=13/√[279.35×(1/45+1/42)]=13/3.55=3.66查t₀.₀₁,85≈2.37，3.66>2.37，拒绝H₀，限行显著降低浓度。（2）差值标准误=3.55，t₀.₀₀₅,85≈2.64区间=13±2.64×3.55=[3.6,22.4]μg/m³（3）数据显示限行使日均PM2.5降低13μg/m³，降幅99%置信下限3.6μg/m³，建议持续执行并优化配套公交。36.（综合）某连锁便利店收集2022年24个月的销售额y（万元）、促销支出x₁（万元）、门店数x₂（个）数据，拟合多元回归结果如下：ŷ=12.3+2.15x₁+0.68x₂，n=24，R²=0.87，调整R²=0.85，F=71.3，Sig.F=0.000系数表：估计值标准误tSig.Intercept12.33.13.970.001x₁2.150.268.270.000x₂0.680.213.240.004（1）写出回归方程并解释斜率经济含义；（2）检验模型整体显著性；（3）若2023年1月促销支出8万元，门店数45个，预测销售额并给出95%近似预测区间（提示：Sy=2.4）。答案：（1）ŷ=12.3+2.15x₁+0.68x₂，促销支出每增加1万元，月销售额平均增加2.15万元；门店数每增加1个，月销售额平均增加0.68万元。（2）F=71.3，p<0.001，模型整体显著。（3）ŷ₀=12.3+2.15×8+0.68×45=12.3+17.2+30.6=60.1万元近似区间=60.1±t₀.₀₂₅,21×Sy×√[1+1/n]=60.1±2.08×2.4×1.02=60.1±5.1=[55.0,65.2]万元。37.（综合）某企业2018—2022年利润总额（亿元）分别为20、24、28、33、39。（1）用指数曲线y=abᵗ拟合，求参数a、b；（2）计算2023年利润预测值；（3）求平均年增长率。答案：对模型两边取对数lny=lna+tlnb，令t=1,2,3,4,5∑t=15，∑lny=16.308，∑t²=55，∑tlny=50.456n=5，解得lnb=[n∑tlny－∑t∑lny]/[n∑t²－(∑t)²]=[5×50.456－15×16.308]/[5×55－225]=1.148/50=0.02296b=e^0.02296≈1.0232lna=ȳ－t̄lnb=3.2616－3×0.02296=3.1927a=e^3.1927≈24.36方程ŷ=24.36×1.0232ᵗ2023年t=6，ŷ=24.36×1.0232⁶≈28.0亿元平均年增长率=b－1=2.32%。38.（案例分析）阅读背景：某高校2022届毕业生6000人，其中女生3600人，男生2400人。教务处随机抽取300份毕业论文，发现女生论文210篇，男生90篇；重复抽检100份女生论文，查重率平均12.4%，标准差3.6%；男生100篇平均14.1%，标准差4.2%。问题：（1）检验女生与男生查重率总体均值是否存在显著差异，α=0.05；（2）计算女生总体平均查重率的95%置信区间；（3）指出抽样方案可能存在的偏差并提出改进建议。答案：（1）H₀:μ₁=μ₂，H₁:μ₁≠μ₂sp²=[99×3.6²+99×4.2²]/198=(1283.04+1746.36)/198=15.3t=(12.4－14.1)/√[15.3×(1/100+1/100)]=－1.7/0.553=－3.07|t|=3.07>t₀.₀₂₅,198=1.97，拒绝H₀，女生查重率显著低于男生。（2）标准误=3.6/√100=0.36区间=12.4±1.96×0.36=[11.7%,13.1%]（3）样本按性别比例分层，但仅抽100篇男生，层内样本偏小；改进：按性别比例分层抽样，每层样本量与层规模成比例，并采用PPS抽样提高精度。39.