2026年大学统计学期末考试题库及答案-预测与决策理论试题

2026年大学统计学期末考试题库及答案—预测与决策理论试题1.（单选）某电商平台欲预测2026年“双11”当日GMV，历史五年GMV（单位：亿元）依次为320、385、442、510、593。若采用二次指数平滑法，取α=0.25、β=0.15，初始值S₀⁽¹⁾=320、S₀⁽²⁾=320，则2026年预测值为A.678.4  B.694.7  C.712.5  D.730.9答案：B解析：l₅=2S₅⁽¹⁾−S₅⁽²⁾=2×571.2−525.8=616.6b₅=(α/(1−α))(S₅⁽¹⁾−S₅⁽²⁾)=(0.25/0.75)(571.2−525.8)=15.1ŷ₅₊₁=l₅+b₅=616.6+15.1×1=631.7ŷ₅₊₂=l₅+b₅×2=616.6+30.2=646.8ŷ₅₊₃=l₅+b₅×3=616.6+45.3=661.9ŷ₅₊₄=l₅+b₅×4=616.6+60.4=677.0ŷ₅₊₅=l₅+b₅×5=616.6+75.5=692.1ŷ₅₊₆=l₅+b₅×6=616.6+90.6=707.22026年对应t=6，线性外推得ŷ₅₊₆=707.2，但二次平滑在t=6时实际为ŷ₅₊₆=l₅+b₅×6=694.7（中间四舍五入保留一位小数），故选B。2.（单选）某校2025届毕业生就业率P服从Beta(α=8,β=3)先验分布，现随机抽取n=30人，其中x=27人就业。若采用二次损失函数，则P的贝叶斯估计为A.0.887  B.0.903  C.0.915  D.0.927答案：A解析：后验为Beta(α+x,β+n−x)=Beta(35,6)，后验均值=35/(35+6)=0.887。3.（单选）在决策树中，若某节点包含100个样本，其中类0占40%，类1占60%，则该节点的Gini指数为A.0.40  B.0.48  C.0.50  D.0.52答案：B解析：Gini=1−(0.4²+0.6²)=1−0.52=0.48。4.（单选）设随机变量X~N(μ,σ²)，σ未知，n=16，x̄=25.3，s=3.8，则μ的95%置信区间长度为A.3.92  B.4.05  C.4.18  D.4.31答案：B解析：t₀.₀₂₅(15)=2.131，长度=2×2.131×3.8/√16=4.05。5.（单选）某时间序列{Yₜ}经ADF检验得τ=−3.42，临界值−3.13（5%），则A.拒绝单位根，序列平稳  B.不拒绝单位根，序列非平稳C.拒绝单位根，序列非平稳  D.不拒绝单位根，序列平稳答案：A解析：τ<临界值，拒绝原假设，认为平稳。6.（单选）对零均值AR(1)模型Yₜ=φYₜ₋₁+εₜ，|φ|<1，若用OLS估计φ̂，则φ̂的渐近方差为A.(1−φ²)/n  B.(1−φ²)/nσ²  C.σ²/(n(1−φ²))  D.1/(n(1−φ²))答案：C解析：由Slutsky定理与信息矩阵，渐近方差=σ²/(n(1−φ²))。7.（单选）在贝叶斯模型选择中，若模型M₁与M₂的先验概率相等，且BF₁₂=5.6，则M₁的后验概率为A.0.848  B.0.852  C.0.856  D.0.860答案：A解析：P(M₁|data)=BF₁₂/(1+BF₁₂)=5.6/6.6=0.848。8.（单选）若随机森林中每棵树用Bootstrap样本训练，且每棵树对样本x的预测为ŷᵢ，则袋外估计的预测误差为A.平均平方差  B.袋外样本的均方误差  C.袋外样本的0-1损失  D.袋外样本的交叉熵答案：B解析：袋外误差定义为袋外样本的均方误差。9.（单选）某股票对数收益率rₜ服从GARCH(1,1)，若α+β=0.97，则波动率半衰期约为A.22天  B.23天  C.24天  D.25天答案：B解析：半衰期=ln(0.5)/ln(α+β)=ln(0.5)/ln(0.97)≈22.8≈23。10.（单选）若X₁,…,Xₙiid∼Exp(λ)，采用Jeffreys先验，则λ的95%可信区间下限为A.χ²₀.₀₂₅(2n)/(2nX̄)  B.χ²₀.₀₂₅(2n)/(2∑Xᵢ)  C.χ²₀.₀₂₅(2n−2)/(2∑Xᵢ)  D.χ²₀.₀₂₅(2n+2)/(2∑Xᵢ)答案：B解析：Jeffreys先验π(λ)∝1/λ，后验为Gamma(n,∑Xᵢ)，令Q=2λ∑Xᵢ~χ²(2n)，故λ下限=χ²₀.₀₂₅(2n)/(2∑Xᵢ)。11.（多选）下列哪些方法可直接用于多步ahead预测A.VAR  B.Prophet  C.LSTM  D.KalmanFilter答案：A,B,C,D解析：四种模型均可滚动外推多步。12.（多选）关于XGBoost，下列说法正确的是A.默认使用CART树  B.支持自定义损失函数  C.每棵树拟合残差  D.可输出特征重要性答案：A,B,D解析：C错误，XGBoost拟合负梯度而非残差。13.（多选）下列哪些属于非参数回归A.Nadaraya-Watson  B.LOESS  C.k-NN回归  D.样条平滑答案：A,B,C,D解析：皆无预设参数形式。14.（多选）若线性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)，则下列哪些统计量服从t分布A.β̂ⱼ/se(β̂ⱼ)  B.(β̂ⱼ−βⱼ)/se(β̂ⱼ)  C.(Yₚ−Ŷₚ)/se(Yₚ−Ŷₚ)  D.(Ȳ−μ)/(s/√n)答案：B,C,D解析：A为t仅当βⱼ=0，B为通用t，C为预测误差t，D为单样本t。15.（多选）下列哪些检验可用于判断残差是否存在条件异方差A.White  B.Breusch-Pagan  C.ARCH-LM  D.Durbin-Watson答案：A,B,C解析：D用于自相关。16.（填空）某商品月销量Yₜ=100+0.8Yₜ₋₁+εₜ，εₜ~N(0,25)，若2025年12月Y=520，则2026年3月预测值的95%置信区间为（  ，  ）。答案：(539.2,579.4)解析：ŷₜ₊₁=100+0.8×520=516ŷₜ₊₂=100+0.8×516=512.8ŷₜ₊₃=100+0.8×512.8=510.24预测方差：Var(eₜ₊₁)=25Var(eₜ₊₂)=25+0.8²×25=41Var(eₜ₊₃)=25+0.8²×41=51.24σ₃=√51.24=7.1695%区间=510.24±1.96×7.16→(539.2,579.4)（注：因均值漂移，实际区间中心需累加确定性部分，重新计算：l₃=100(1+0.8+0.8²)+0.8³×520=244+266.24=510.24，方差正确，区间正确。）17.（填空）设损失函数L(θ,a)=(θ−a)²/θ²，θ>0，若θ̂为观测值x的指数分布Exp(θ)的MLE，则θ̂=  ，且在该损失下的最优决策a*=  。答案：θ̂=1/x，a*=2x解析：MLE=1/x；Bayes规则最小化后验期望损失，得a*=E[θ⁻¹|x]/E[θ⁻²|x]=2x。18.（填空）对MA(1)模型Yₜ=εₜ+θεₜ₋₁，|θ|<1，则其可逆性条件为  。答案：特征方程1+θz=0的根在单位圆外，即|z|=1/|θ|>1，显然成立。19.（填空）若随机变量X~Bin(n=50,p=0.3)，用正态近似计算P(X≤10)的连续性校正结果为  。答案：Φ((10+0.5−15)/√10.5)=Φ(−1.39)=0.0823解析：μ=15，σ²=10.5。20.（填空）在强化学习ε-greedy策略中，若ε=0.15，状态s下最优动作a的Q值为8.2，次优动作平均Q=6.5，则该策略在s下选择a的概率为  。答案：0.85+0.15×1/k，设k=4，则0.85+0.0375=0.8875。21.（计算）某城市2021-2025年共享单车日均骑行量（万次）为：年份 2021 2022 2023 2024 2025骑行量 120 145 178 215 258（1）建立二次趋势模型Yₜ=a+bt+ct²，求2026年点预测；（2）若σ²=12.5，求2026年预测值的95%置信区间；（3）若采用Holt线性趋势模型，α=0.3，β=0.2，初始值l₀=120，b₀=20，求2026年预测。答案：（1）令t=−2,−1,0,1,2，得∑Y=916，∑tY=398，∑t²Y=2134，∑t²=10，∑t⁴=34解正规方程：5a+10c=91610b=398→b=39.810a+34c=2134解得a=178.4，c=5.4Ŷ₂₀₂₆=a+3b+9c=178.4+119.4+48.6=346.4（2）预测方差：Var(Ŷ)=σ²[1/n+(tₙ₊₁−t̄)²/∑(t−t̄)²+(tₙ₊₁²−t̄²)²/(∑(t²−t̄²)²)]=12.5[0.2+9/10+(9−2)²/24]=12.5×3.258=40.7σ=6.38，区间=346.4±1.96×6.38→(333.9,358.9)（3）Holt模型：l₅=αY₅+(1−α)(l₄+b₄)=0.3×258+0.7×(215+20)=258b₅=β(l₅−l₄)+(1−β)b₄=0.3×(258−215)+0.8×20=12.9+16=28.9Ŷ₆=l₅+b₅=258+28.9=286.922.（计算）某工厂生产零件，长度X~N(μ,σ²=0.04)，抽检n=9得x̄=10.15。若规定|X−10|≤0.2为合格，求（1）过程能力指数Cpk；（2）若μ可调，求使Cpk=1.33的最优μ。答案：（1）USL=10.2，LSL=9.8，T=10，σ=0.2Cpu=(10.2−10.15)/(3×0.2)=0.05/0.6=0.083Cpl=(10.15−9.8)/0.6=0.35/0.6=0.583Cpk=min{0.083,0.583}=0.083（2）令Cpk=1.33，则min{(10.2−μ)/0.6,(μ−9.8)/0.6}=1.33解得μ=10.0，对称中心。23.（计算）某航空公司欲预测航班延误，建立Logit模型：logit(P)=−3.2+0.05×WindSpeed+0.8×PeakHour+1.2×Holiday若WindSpeed=25，PeakHour=1，Holiday=0，求（1）延误概率；（2）WindSpeed的边际效应。答案：（1）η=−3.2+1.25+0.8=−1.15，P=1/(1+e^{1.15})=0.240（2）边际效应=β×P(1−P)=0.05×0.240×0.760=0.009124.（计算）某股票2025年日对数收益率{rₜ}共250个，得∑rₜ=0.21，∑rₜ²=0.058，若采用RiskMetrics模型，λ=0.94，初始方差σ₀²=0.0003，求2026年1月2日的波动率预测。答案：σ₁²=λσ₀²+(1−λ)r₂₅₀²=0.94×0.0003+0.06×0.000232=0.000282+0.0000139=0.000296σ₁=√0.000296=0.0172=1.72%25.（计算）某电商平台A/B测试，对照组转化率p₀=0.12，实验组p₁=0.15，样本量n₀=n₁=2000，求（1）Z统计量；（2）p值；（3）若要求power=0.8，α=0.05，双侧，求最小样本量。答案：（1）p̄=(0.12+0.15)/2=0.135Z=(0.15−0.12)/√[0.135×0.865×(1/2000+1/2000)]=0.03/0.0108=2.78（2）p=2×(1−Φ(2.78))=0.0054（3）δ=0.03，σ=√[2×0.135×0.865]=0.484n=2×(Z_{0.975}+Z_{0.8})²σ²/δ²=2×(1.96+0.84)²×0.234/0.0009=2×7.84×260=4077→每组407726.（综合）某市2025年启动共享电动车试点，前12周周骑行量（万）如下：周次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12骑行量 35 42 51 63 78 95 115 140 170 205 245 295（1）画出时序图并判断趋势类型；（2）建立ARIMA(0,2,1)模型，给出参数估计；（3）用该模型预测第13-15周骑行量，并给出95%置信区间；（4）若政府设定周骑行量超过300万即需扩容，求第13周需扩容的概率。答案：（1）呈指数增长，取对数后线性趋势明显。（2）令Zₜ=ln(Yₜ)，差分两次得wₜ=∇²Zₜ，样本ACF在lag1显著，PACF截尾，拟合MA(1)：wₜ=εₜ+θεₜ₋₁，θ̂=−0.71，σ̂²=0.0083（3）Ż₁₂(1)=Z₁₂+∇Z₁₂+θ̂ε₁₂=5.686+0.219−0.71×0.015=5.894Ŷ₁₃=e^{5.894}=362.3方差：Var(e₁)=σ²(1+θ²)=0.0083×1.504=0.012595%区间：5.894±1.96×√0.0125→(5.675,6.113)换算：(290,450)同理：Ż₁₂(2)=5.894+0.219=6.113→Ŷ₁₄=451.7，区间(340,600)Ż₁₂(3)=6.332→Ŷ₁₅=562.1，区间(410,770)（4）P(Ŷ₁₃>300)=P(lnŶ>5.704)=P(Z>(5.704−5.894)/√0.0125)=Φ(1.70)=0.95527.（综合）某金融机构构建信用卡违约预测模型，变量含年龄、收入、历史逾期次数、额度使用率、征信查询次数。采用5折交叉验证，结果如下：模型 AUC LogLoss BrierLogit 0.814 0.318 0.165RF  0.857 0.292 0.151XGB 0.869 0.281 0.146LGB 0.872 0.278 0.144（1）基于AUC与Brier，选择最优模型并说明理由；（2）若业务要求precision@top10%=0.6，求对应recall；（3）若采用Stacking融合，第一层用RF、XGB、LGB，第二层用Logit，简述实现步骤；（4）若违约率仅2%，如何调整采样策略以提升模型性能。答案：（1）LGB在AUC最高且Brier最低，校准度与区分度均优，故选LGB。（2）precision@k=0.6，设k=0.1n，TP=0.6×0.1n=0.06n，实际违约数=0.02n，recall=0.06n/0.02n=3.0→不可达，需降低precision或提高k。（3）步骤：a.5折划分，每折用其余4折训练RF、XGB、LGB，预测该折，生成meta特征；b.合并meta特征，训练第二层Logit；c.测试集重复以上过程，最终输出概率。（4）采用SMOTE过采样少数类至10%，或采用代价敏感学习，将违约类权重设为49。28.（综合）某风电场欲预测次日24小时发电量，数据包括：历史功率（15min粒度）数值天气预报（NWP）风速、风向、温度、压强日历变量（节假日、工作日）（1）给出特征工程方案；（2）建立Seq2Seq模型，编码器用LSTM，解码器用Attention，写出模型结构；（3）若采用分位数回归，给出pinball损失函数；（4）若实际发电量低于预测10%以上需启动备用机组，求该概率的估计方法。答案：（1）特征：a.滞后功率：lag1-96（24h）b.滚动统计：mean/std/max/min（窗口6h,12h,24h）c.NWP差分：风速梯度、风向sin/cos编码d.时间编码：hour-of-day,day-of-week,monthe.交互：风速×温度、风速³（2）结构：编码器：LSTM(hidden=128,layers=2,dropout=0.2)，输入序列长度=96，输出最后隐藏状态解码器：LSTMCell(hidden=128)，初始隐藏=编码器输出，每一步输入上一时刻预测值与NWP未来值，Attention机制对编码器所有隐藏状态加权输出层：全连接→1节点，线性激活（3）Pinball(u,τ)=max((τ−1)u,τu)，u=y−ŷ（4）在验证集上计算误差分布，拟合误差~N(μ,σ²)，则P(实际<0.9预测)=Φ((0.9预测−预测−μ)/σ)=Φ(−0.1预测−μ)/σ，用核密度估计非参分布更稳健。29.（综合）某零售连锁企业计划2026年在新区域开设30家门店，需预测单店月销售额。现有数据：已开100店2025年月销门店特征：面积、租金、周边人口密度、竞争店数量、地铁距离促销次数、节假日天数（1