专题05 利用导函数研究恒成立问题 (典型例题+题型归类练)（解析版）

专题05利用导函数研究恒成立问题(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③求最值.二、典型例题例题1．（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求实数的取值范围.第（2）问解题思路在恒成立，将代入：变量分离法：因为，，构造函数，问题等价于研究，求最小值：，令，得或（舍去）.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.从而得到，所以，即实数的取值范围为.【答案】(1)(2)(1)由已知得，令，得.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.故.(2)，即，因为，所以在上恒成立.令，则，令，得或（舍去）.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.故，所以，即实数的取值范围为.例题2．（2022·重庆·三模）已知（e为自然对数的底数，）.(1)对任意，证明：的图象在点处的切线始终过定点；(2)若恒成立，求实数的取值范围.第（2）问解题思路在恒成立，将代入变量分离法：对恒成立.构造，问题等价于研究，求最小值：将变形：.不妨设.因为，所以在上单增，当时，；当时，，故在存在唯一零点，记.因为.令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以.所以.而，所以，所以.当且仅当即时等号成立，即，从而得到，所以，解得：，即实数的取值范围为.【答案】(1)证明见解析；(2).(1)因为，所以，，所以.所以的图象在点处的切线为经过定点.即的图象在点处的切线始终过定点.(2)因为恒成立，即为对恒成立.记，只需..不妨设.因为，所以在上单增，当时，；当时，，故在存在唯一零点，记.因为.令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增，所以.所以.而，所以，所以.当且仅当即时等号成立，即，所以.解得：，即实数a的取值范围为.题型归类练1．（2022·陕西省丹凤中学高二阶段练习（文））设函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对恒成立，求实数a的取值范围；【答案】(1)(2)(1)由，得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即(2)由对恒成立，得对恒成立，令，，则，令，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，即，所以，即实数a的取值范围为2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知函数.(1)求函数的最小值；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)(1)的定义域为，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以，即函数的最小值为1.(2)因为恒成立，即恒成立，所以，因为，所以恒成立，设，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以，所以.所以，实数的取值范围为．3．（2022·陕西汉中·高二期末（文））已知函数（e是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是．(1)求a，b的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，；(2)(1)，∵曲线在点处的切线方程是，∴，，∴，，解得，．(2)由（1）得，，由，得，∵，∴可化为恒成立，令，则，当时，；当时，．∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴，即实数m的取值范围为．4．（2022·四川甘孜·高二期末（文））已知函数​(1)求函数​在点​处的切线方程;(2)是否存在实数​，都有​恒成立，若存在求出实数​的最小值，若不存在说明理由.【答案】(1)(2)(1)，，又，在点处的切线为，即.(2)定义域为，可化为，令，则在上恒成立；，令，则，在上单调递减，又，，，使得，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，，，，，，，的最小值为.5．（2022·山东东营·高二期末）已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.(1)求切线的方程；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：函数的定义域为，，由题意知，，所以，故，所以，切点坐标为故切线的方程为．(2)解：由（1）知，，所以，可化为：，即在上恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，故当时，在上恒成立，所以实数的取值范围是.6．（2022·四川内江·模拟预测（文））已知函数，(1)讨论的单调性；(2)若不等式对任意恒成立，求的最大值．【答案】(1)单调性见解析；(2)(1)解：，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)依题意得：对任意恒成立，等价于恒成立.令，则，则当时，，当时，，又，在上单调递减，在上单调递增，，，即的最大值为.7．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)极小值是，无极大值.(2)(1)当时，，的定