2026中考数学【核心知识速记手册】

初中数学必备公式1模块一数与式实数(含二次根式)1.相反数:实数a的相反数是—a.特别地,0的相反数是0.3.倒数:非零实数a的倒数是.特别地,±1的倒数是其本身.24.科学记数法表示形式a×10n1≤a<10n的确定1.当原数的绝对值≥10时,n是正整数,n等于原数的整数位数减1;2.当0<原数的绝对值<1时,n是负整数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数(包括小数点前的0)5.比较两个实数大小的常用方法(1)比较被开方数:如果两个数的根指数相同,我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小.(2)数轴比较法:根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数,结合图形(3)法则比较法:根据“正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小”进行比较.(4)作差比较法:当a—b>0时,a>b;当a—b=0时,a=b;当a—b<0时,a<b.(5)作商比较法:已知a,b为正数,若,则a>b;若,则a=b;若则a<b.(6)倒数比较法:已知a,b为正数,若则a<b.(7)平方比较法:已知a,b为正数,若a2>b2,则a>b.6.二次根式的运算及估值二次根式的运算1.加减运算:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并;3.除法运算a≥0,b>0)二次根式的估值2.找出与平方后所得数字相邻的两个能开得尽方的整数,如4和9;4.确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间,如2<、<3温馨提示牢记常见的无理数的近似值:3整式分式名称运算法则公式同底数幂的乘法底数不变,指数相加.an=am+n(m,n都是正整数)同底数幂的除法底数不变,指数相减am÷an=am—n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)幂的乘方底数不变,指数相乘(am)n=amn(m,n都是正整数)积的乘方把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘(ab)n=anbn(n是正整数)乘法公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差(a+b)(a—b)=a2—b2完全平方公式:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍(a±b)2=a2±2ab+b24提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)注意:因式分解要分解彻底公式法逆用平方差公式:a2—b2=(a+b)(a—b);逆用完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2分组分解法ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)十字相乘法r2+(a+b)r+ab=(r+a)(r+b)3.分式的乘方运算(n是正整数).4.通过面积法推导平方差公式如图1所示,阴影部分的面积为a2—b2,如图2所示,阴影部分的面积为(a+b)(a—b),所以可以得到(a+b)(a—b)=a2—b2.平方差公式的结构特点:等号左边是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;等号右边是一个二项式,这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数的项的平方差.5.通过面积法推导完全平方公式①如图1所示,因为边长为a+b的正方形的面积为(a+b)2,它的面积还可以看成是两个小正方形的面积与两个长方形的面积的和,即a2+2ab+b2,所以可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2.②如图2所示,因为边长为a—b的小正方形的面积为(a—b)2,它的面积还可以看成是大正方形的面积减去两个小长方形的面积,即a2—ab—b(a—b)=a2—2ab+b2,所以可以得到(a—b)2=a2—2ab+b2.完全平方公式的结构特点:等号左边是两个数的和(或差)的平方,等号右边是一个二次三项式,即这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.5模块二方程(组)与不等式(组)-次方程(组)分式方程-元二次方程一元二次方程及其应用一般形式:ar2+br+c=0(a≠0).求根公式r=(b2—4ac≥0)根的判别式Δ=b2—4ac>0⇋一元二次方程有两个不等的实数根;Δ=b2—4ac=0⇋一元二次方程有两个相等的实数根;Δ=b2—4ac<0⇋一元二次方程无实数根根与系数的关系若r1,r2是关于r的一元二次方程ar2+br+c=0(a≠0)的两个根,则r1+r2=—,r1r2=实际应用一元二次方程的实际应用一般会涉及增长(或下降)率问题:设a为原来的量,若m为平均增长率,2为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)2=b;若m为平均下降率,2为下降次数,b为下降后的量,则a(1—m)2=b6不等式(组)-、知识结构不等式的性质1如果a>b,那么a±c>b±c不等式的性质2如果a>b,c>0,那么ac>bc(或>不等式的性质3如果a>b,c<0,那么ac<bc(或<对称性如果a>b,那么b<a传递性如果a>b,b>c,那么a>c2.不等式组的解法及解集表示解法先分别求出各个不等式的解集,再求出这些解集的公共部分解集的类型及表示类型(a>b)在数轴上表示解集(r≥a,〈(r>b同大取大r≥a(r<a,〈(r≤b同小取小r≤b(r≤a,〈(r≥b大小小大取中间b≤r≤a(r>a,〈(r<b大大小小取不了无解温馨提示:在数轴上表示解集时,要注意“<”和“>”在数轴上表示为空心圆圈,“≤”和“≥”在数轴上表示为实心圆点.7-、知识结构模块三函数平面直角坐标系及函数初步(1)关于r轴对称:横坐标相同,纵坐标互为相反数,即点(a,b)关于r轴对称的点的坐标是(a,—b);(2)关于y轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标相同,即点(a,b)关于y轴对称的点的坐标是(—a,b);(3)关于坐标原点对称:横、纵坐标互为相反数,即点(a,b)关于原点对称的点的坐标是(—a,—b).2.图形变换与坐标特征已知图形上任意一点A(a,b).图形变换对应点的坐标对应点的坐标特征变换(k>0)向上平移k个单位长度A1(a,b+k)横坐标不变,纵坐标加k向下平移k个单位长度A2(a,b—k)横坐标不变,纵坐标减k向右平移k个单位长度A3(a+k,b)纵坐标不变,横坐标加k向左平移k个单位长度A4(a—k,b)纵坐标不变,横坐标减k对称变换关于r轴对称A5(a,—b)横坐标不变,纵坐标与原坐标互为相反数关于y轴对称A6(—a,b)纵坐标不变,横坐标与原坐标互为相反数温馨提示:当图形的平移方向与坐标轴不平行时,可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移.8-次函数y=kr+b(k,b为常数,k≠0)k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0所在象限性质当k>0时,y随r的增大而增大当k<0时,y随r的增大而减小2.一次函数解析式的确定方法待定系数法一般步骤1.设:设一次函数的解析式为y=kr+b(k≠0);2.代:找出一次函数图象上的两点A(r1,y1),B(r2,y2),将坐标分别代入一次(y1=kr1+b,函数的解析式,得到方程组〈(y2=kr2+b;3.解:解方程组可得k,b的值;4.写:将k,b的值代入y=kr+b中即可3.一次函数图象的平移平移前的函数解析式平移方式(m>0)平移后的函数解析式y=kr+b(k≠0)向左平移m个单位长度y=k(r+m)+b左加右减向右平移m个单位长度y=k(r—m)+b向上平移m个单位长度y=kr+b+m上加下减常数项向下平移m个单位长度y=kr+b—m9反比例函数反比例函数y=(k为常数,k≠0)k的符号k>0k<0所在象限增减性在每一个象限内,y随r的增大而减小在每一个象限内,y随r的增大而增大图象特征1.关于直线y=±r成轴对称,关于原点O成中心对称;2.图象无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交,即r≠0,y≠0与k的几何意义有关的图形面积S△AOP=S矩形OAPB=|k|S△APPI=2|k|(点PI,P关于原点对称)二次函数的图象与性质二次函数的实际应用二次函数与几何图形综合题二次函数y=ar2+br+c(a,b,c是常数,a≠0)a的符号a>0a<0开口方向对称轴r=—r=—顶点坐标))增减性当r<—时,y随r的增大而减小; 当r>—时,y随r当r<—时,y随r的增大而增大; 当r>—时,y随r最值时,y取最小值,y最小值=当r=—时,y取最大值,y最大值=2.二次函数图象与a,b,c的关系aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴a,b同号对称轴在y轴左侧a,b异号对称轴在y轴右侧cc=0过原点c>0与y轴交于正半轴c<0与y轴交于负半轴bacb2—4ac=0与r轴有唯一的交点(顶点)b2—4ac>0与r轴有两个交点b2—4ac<0与r轴无交点3.二次函数图象的平移平移前的函数解析式平移方式(m>0)平移后的函数解析式y=a(r—h)2+k(a≠0)向左平移m个单位长度y=a(r—h+m)2+k左加右减向右平移m个单位长度y=a(r—h—m)2+k向上平移m个单位长度y=a(r—h)2+k+m上加下减常数项向下平移m个单位长度y=a(r—h)2+k—m温馨提示:若二次函数的图象仅上下平移,则不需要转化为顶点式,在等式右边直接加上(向上平移)或减去(向下平移)相应数值即可.模块四三角形线段、角、相交线与平行线平行线的判定与性质的区别条件结论作用判定同位角相等两直线平行由角的数量关系确定直线的位置关系内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行性质两直线平行同位角相等由直线的位置关系得到角的数量关系两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补温馨提示:从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.三角形全等三角形-、知识结构线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段三角形的一个内角的平分线与它所对的边相交,这个角的顶点与交点之间的线段续表线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线图形语言作图语言过点A作AD丄BC于点D取边BC的中点D,连接AD作上BAC的平分线AD,交BC于点D标示图形符号语言①AD是△ABC的高;②AD是△ABC的边BC上的高;③AD丄BC于点D;④上ADC=90。,上ADB=90。(或上ADC=上ADB=①AD是△ABC的中线;②AD是△ABC的边BC上的中线;③BD=DC=BC;④D是边BC的中点①AD是△ABC的角平分线;②AD平分上BAC,交BC于点D;③上1=上2=上BAC推理语言“AD是△ABC的高,:AD丄BC(或上ADB=“AD是△ABC的中线, :BD=DC=BC2“AD平分上BAC, :上1=上2=上BAC用途举例①线段垂直;②角度相等①线段相等;②面积相等角度相等重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点三角形的三条中线交于三角形内一点三角形的三条角平分线交于三角形内一点2.判断两个三角形全等的思路(一直角边一斜边—HL(已知两边〈找夹角—SAS(找另一边—SSS(边为角的对边—找任一角—AAS已知一边一角〈(找夹角的另一边—SAS(边为角的邻边〈找夹边的另一角—ASA(找边的对角—AAS(找夹边—ASA(找任一角的对边—AAS图形的相似相似三角形周长的比等于相似比.AIBIBICICIAI如图,若△ABC0△AIBICI,AB=BC=AIBIBICICIAI则k.推论:相似多边形周长的比等于相似比.2.相似三角形面积比的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方.如图,若△ABC0△AIBICIk,分别作出△ABC与△AIBICI的高AD和AIDI,则3.相似三角形对应线段比的性质(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应线段的比等于相似比;(3)相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.锐角三角函数/A的正弦/A的对边asinA=/A的对边a斜边c/A的余弦/A的邻边bcosA=/A的邻边b斜边c/A的正切/A的对边atanA=/A的对边a/A的邻边b2.特殊角的三角函数值锐角A锐角三角函数sinA 22222 2tanA31模块五四边形多边形与平行四边形特殊的平行四边形1.多边形的性质多边形(n≥3)内角和定理n边形的内角和等于(n—2)×180。外角和定理n边形的外角和等于360。正多边形正n边形的每个内角等于外角正n边形的每个外角等于2.平行四边形与特殊平行四边形的性质平行四边形矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行,四条边都相等对边平行,四条边都相等角互补四个角都是直角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线互相平分且相等两条对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角两条对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角对称性中心对称图形既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴既是中心对称图形,也是轴对称图形,有4条对称轴3.平行四边形与特殊平行四边形的判定模块六圆圆的基本性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧满分技法如图,根据圆的对称性,有以下五个结论:^^^^①AC=BC;②AD=DB;③AE=BE;④AB丄CD;⑤CD是ΘO的直径2.圆周角定理及其推论定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图,/A=/BOC推论同弧或等弧所对的圆周角相等.如图,/A=/D.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90。的圆周角所对的弦是直径.如图,/ACB=90。+AB是ΘO的直径3.扇形的相关计算公式圆的周长:C=2πrr为圆(或扇形)的半径,n。为弧所对的圆心角的度数,l为扇形的弧长扇形的弧长:l=圆的面积:S=πr2nπr2扇形的面积:S扇形=360=2lr模块七图形的变化尺规作图1.过一点P作已知直线的垂线(1)点P在直线上.①以点P为圆心,任意长为半径画弧,分别交直线l于A,B两点;②分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点M;③画直线MP.直线MP即为所求垂线(如图).(2)点P在直线外.①以点P为圆心,大于点P到直线l的距离为半径画弧,分别交直线l于A,B两点;②分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于点N;③画直线PN.直线PN即为所求垂线(如图).2.作已知角的平分线已知:/AOB.求作:/AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;②分别以点C,D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧在/AOB的内部相交于点E;③画射线OE.射线OE即为/AOB的平分线(如图).投影与视图常见几何体的三视图几何体直观图主视图左视图俯视图正三棱柱正四棱柱正六棱柱续表几何体直观图主视图左视图俯视图正三棱锥正四棱锥正六棱锥图形的对称、平移、旋转与位似网格作图名称作图方法对称作出原图形的关键点关于对称轴(或对称中心)的对称点,依次连接平移按平移方向和平移距离,平移原图形各关键点,得到关键点的对应点,依次连接旋转连接原图形各关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到关键点的对应点,依次连接位似作出原图形中的关键点关于位似中心的对应点,依次连接模块八统计与概率统计概率名称确定方法特点应用