北师大版九年级数学上册期末考试题（含答案）

第页北师大版九年级数学上册期末考试题（含答案）一．选择题（共6小题）（2025南山模拟）1．如图，将含30°的三角尺放在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴上，AC∥x轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数y=mx(m＞0)的图象经过A，M两点，反比例函数y=nx(n＞0)的图象经过点A．n＝3m B．n＝2m C．n=3m （2026南山模拟）2．如图，点A，B在反比例函数y=3x(x＞0)的图象上，点C在反比例函数y=1x(x＞0)的图象上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且A．2 B．22 C．4 D．（2026宝安模拟）3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，点H为射线BA延长线上一点，连接OH交AD于点E，若AH＝1，则OH的长度为（）A．52 B．262 C．27（2026罗湖模拟）4．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝4，FB＝2，则MG＝（）A．43 B．35 C．25（2025福田模拟）5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知AB＝5，CE＝1，则CF的长是（）A．23 B．34 C．35（2025光明模拟）6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，BD⊥x轴于点D，交线段OA于点C．若点C为线段OA的中点，△ABC的面积为3A．2 B．94 C．83二．填空题（共3小题）（2025罗湖模拟）7．如图，点P在y=4x上，点B在y=2x上．PB⊥x轴于点A，则△（2025罗湖模拟）8．在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），点D在反比例函数y=kx(k＜0)图象上，将正方形沿y轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该函数图象上，则a（2025福田模拟）9．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共4小题）（2025宝安模拟）10．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．（1）求第一批购入A、B两款头盔的数量；（2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加23，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A（2025罗湖模拟）11．阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的打“×”．（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．；（2）两个等腰三角形是共角三角形．．问题提出：小明在研究图1的时发现，因为点D，E分别在AB和AC上，所以△ADE和△ABC是共角三角形，并且还发现S△ADE证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，∵∠AGE＝∠AFC，又∵∠A＝∠A，∴△GAE～（①），∴EGCF∵S△ADE∴S△ADE即S△ADE延伸探究：如图3，已知∠BAC+∠DAE＝180°，请你参照小明的证明方法，求证：S△ADE结论应用：（1）如图4，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的点且满足2BG＝GC，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝6，AG＝5，AE＝2.5，▱ABCD的面积为60，则△AEF的面积是．（2）如图5，▱ABCD的面积为2，延长▱ABCD的各边，使BE＝AB，CF＝2BC，DG＝3CD，AH＝4AD，则四边形EFGH的面积为．（2025宝安模拟）12．【阅读理解】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2﹣4ac一定为完全平方数．现规定F(a，b，c)=4ac−b24a为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0的两根均为整数，其“快乐数”F(1，−3，−4)=4×1×(−4)−(−3)24×1=−254，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r＝0（p≠0）的“快乐数”F（p，q，r），且满足r•F（a，b，c）＝c•F（p，q，r），则称F（a，b（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m，n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出m，n的值．（2025南山模拟）13．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有；（只填写序号即可）①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案ABDBDD一．选择题（共6小题）1．如图，将含30°的三角尺放在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴上，AC∥x轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数y=mx(m＞0)的图象经过A，M两点，反比例函数y=nx(n＞0)的图象经过点A．n＝3m B．n＝2m C．n=3m 【分析】设B（b，0），C（b，c），则依题得BC＝c，AC=3c，由反比例函数y=mx（m＞0）的图象经过A，M两点得出等量关系，再用c表示出【解答】解：设B（b，0），C（b，c），则依题得BC＝c，AC=3∴A(b−3∵M为AB的中点，∴M(2b−∵反比例函数y=mx(m＞0)的图象经过A∴(b−3化简得b=3∴n=bc=3∴n＝3m．故选：A．【点评】本题考查反比例函数的图形与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．2．如图，点A，B在反比例函数y=3x(x＞0)的图象上，点C在反比例函数y=1x(x＞0)的图象上．若AC∥y轴，BC∥x轴，且A．2 B．22 C．4 D．【分析】设点C(t，1t)，则点B(3t，1t)，A(t，3t)，根据AC【解答】解：设点C(t，1t)，则点B(3t，由条件可知2t=2t，解得∴点C（1，1），∴点B（3，1），A（1，3），∴AC＝BC＝2，∵AC∥y轴，BC∥x轴，∴AC⊥BC，∴AB=A故选：B．【点评】此题考查了反比例函数和几何综合，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，点H为射线BA延长线上一点，连接OH交AD于点E，若AH＝1，则OH的长度为（）A．52 B．262 C．27【分析】由相似三角形的性质可求出OF，AF的长，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，过点O作OF⊥AB于F，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO，AD⊥AB，∴AD∥OF，∴△OBF∽△DBA，∴BODB∵AB＝3，AD＝4，∴OF＝2，AF=3∴HF=5∴HO=O故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，4．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝4，FB＝2，则MG＝（）A．43 B．35 C．25【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得AC=32，根据等腰直角三角形的性质EF＝AF＝4，求得EF＝AF＝4，进而求得AE=22，CE=2，证得△ADE∽△CME，根据相似三角形的性质得到CM=32=BM，证得△CDM≌△【解答】45：∵四边形ABCD是正方形，AF＝4，FB＝2，∴CD＝AD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，∠ACB＝45°，∴AC=AD2∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠ACB＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AF＝4，∴AE=AF2∴CE＝AC﹣AE＝22，∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，∴ADCM∴3CM∴CM＝3＝BM，在ΔCDM和ΔBGM中，∠DCM=∠GBM=90°，CM=BM∴△CDM≌△BGM（SAS），∴CD＝BG＝6，∴MG=BG2故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知AB＝5，CE＝1，则CF的长是（）A．23 B．34 C．35【分析】作OG∥CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE的长，由CF∥GO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．【解答】解：如图，作OG∥CD交BC于点G，∵四边形ABCD是菱形，且AB＝5，∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，∴BGCG∴BG＝CG=1∴GO=12CD∵CE＝1，∴GE＝CG+CE=52+∵CF∥GO，∴△ECF∽△EGO，∴CFGO∴CF=GO⋅CE∴CF的长为57故选：D．【点评】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象上，BD⊥x轴于点D，交线段OA于点C．若点C为线段OA的中点，△ABC的面积为3A．2 B．94 C．83【分析】作AE⊥x轴，根据k的几何意义得出S△BOD=S△AOE=12k，进而得出S△BCO＝S四边形ACDE，再证明△COD∽△AOE，根据相似三角形的性质得出S△OCDS△OAE=14，即可得出S△【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴，于点E，连接OB．可知S△BOD∴S△BCO＝S四边形ACDE．∵BD∥AE，∴△COD∽△AOE，∴OCOA∴S△OCD∴S△OCD∴S△OBC∵点C是OA的中点，∴S△ABC＝S△OBC，即32解得k＝4．故选：D．【点评】这是一道反比例函数与几何图形的综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数中k的几何意义，求三角形的面积等．过某一点作坐标轴的垂线构造直角三角形是解决此类问题的常用方法．二．填空题（共3小题）7．如图，点P在y=4x上，点B在y=2x上．PB⊥x轴于点A，则△【分析】根据反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=12×4=2，S△BOA=12×2=1，然后利用S△POB＝【解答】解：∵点P在y=4x上，点B在y=2x上．PB⊥∴S△POA=12×4=2，S△∴S△POB＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和8．在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），点D在反比例函数y=kx(k＜0)图象上，将正方形沿y轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该函数图象上，则a【分析】如图，作DE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，证明△ADE≌△BAO得到DE＝OA＝2，AE＝OB＝4，则D（﹣6，2），用同样方法可得C（﹣4，6），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝﹣12，再计算出自变量的值为﹣4所对应的函数值，然后确定平移的距离．【解答】解：如图，作DE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，∴∠AED＝90°＝∠CFB，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠AED＝∠BOA＝90°，∠CFB＝∠BOA＝90°，∴∠EAD+∠BAO＝90°，∠CBF+∠ABO＝90°，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BAO＝∠ADE，∠ABO＝∠BCF，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴△ADE≌△BAO（AAS），∴DE＝OA＝2，AE＝OB＝4，∴OE＝AE+AO＝4+2＝6，∴D（﹣6，2），∴△CBF≌△BAO（AAS），∴BF＝OA＝2，CF＝OB＝4，∴OF＝BF+BO＝2+4＝6，∴C（﹣4，6），∵点D（﹣6，2）在反比例函数y=k∴k＝﹣6×2＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y=−12∵C点的横坐标为﹣4，当x＝﹣4时，y=−12∴点C（﹣4，6）平移到点（﹣4，3）恰好落在该函数图象上，即点C（﹣4，6）向下平移3个单位，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题考查用待定系数法确定反比例函数关系式，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝9．如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为154【分析】先根据正方形的性质得到阴影部分是直角梯形，再证明△THE∽△AHB，△KHC∽△AHB，利用相似三角形的性质求得TE＝1，CK=52，进而求得GK=1【解答】解：如图，根据题意，EH＝2，EF＝CE＝CG＝GF＝3，AB＝BC＝5，∠TEH＝∠KCH＝∠ABH＝∠F＝∠FGC＝90°，CG∥EF，∴阴影部分是直角梯形，又∵∠THE＝∠KHC＝∠AHB，∴△THE∽△AHB，△KHC∽△AHB，∴TEAB=EH即TE5=2解得TE＝1，CK=5∴GK=CG−CK=3−52=12，FT∴S阴影故答案为：154【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质、利用相似三角形的性质求解是解答的关键．三．解答题（共4小题）10．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．（1）求第一批购入A、B两款头盔的数量；（2）12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加23，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A【分析】（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为（4x+300）个，根据共用去资金43500元，列出一元一次方程，解方程即可；（2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为（1500﹣50y）本，根据最终花费的总资金比第一批增加了9000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为（4x+300）个，由题意得：20（4x+300）+45x＝43500，解得：x＝300，∴4x+300＝4×300+300＝1500，答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；（2）设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为（1500﹣50y）本，根据题意得：（20+y）（1500﹣50y）+45×300×（1+2整理得：y2﹣10y＝0，解得：y1＝10，y2＝0（不符合题意，舍去），答：A款头盔的单价上涨了10元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．11．阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的打“×”．（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．对；（2）两个等腰三角形是共角三角形．错．问题提出：小明在研究图1的时发现，因为点D，E分别在AB和AC上，所以△ADE和△ABC是共角三角形，并且还发现S△ADE证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，∵∠AGE＝∠AFC，又∵∠A＝∠A，∴△GAE～（①△FAC），∴EGCF∵S△ADE∴S△ADE即S△ADE延伸探究：如图3，已知∠BAC+∠DAE＝180°，请你参照小明的证明方法，求证：S△ADE结论应用：（1）如图4，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的点且满足2BG＝GC，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝6，AG＝5，AE＝2.5，▱ABCD的面积为60，则△AEF的面积是157（2）如图5，▱ABCD的面积为2，延长▱ABCD的各边，使BE＝AB，CF＝2BC，DG＝3CD，AH＝4AD，则四边形EFGH的面积为36．【分析】阅读理解：根据题意即可判断即可；问题提出：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；延伸探究：过C作CH⊥AB于H，过D作DG⊥AE交EA的延长线于G，求得∠AGD＝∠AHC＝90°，根据相似三角形的性质得到ACAD=CH结论应用：（1）取AD的靠近A三等分点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，于是得到NG∥BF，S△ABG=16S▱ABCD=10（2）如图，连接AC、BD．由四边形ABCD的面积为2，得到S△ABC＝S△ADC＝S△BAD＝S△BCD＝1，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】阅读理解：（1）对（2）错；问题提出：证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，∵∠AGE＝∠AFC，又∵∠A＝∠A，∴△GAE～（①△FAC），∴EGCF∵S△ADE∴S△ADE即S△ADE故答案为：△FAC，AC；延伸探究：证明：过C作CH⊥AB于H，过D作DG⊥AE交EA的延长线于G，则∠AGD＝∠AHC＝90°，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠DAE+∠DAG＝180°，∴∠DAG＝∠CAH，∴△ADG∽△ACH，∴ACAD∵S△ABC∴S△ADE结论应用：（1）取AD的靠近A三等分点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，∴NG∥BF，S△ABG∵2AM＝DM，AE＝2.5，AG＝5，∴MN=23AF∴AF=3∴S△AEF∴S△AEF故答案为：157（2）如图，连接AC、BD．四边形ABCD的面积为2，S△ABC＝S△ADC＝S△BAD＝S△BCD＝1，使BE＝AB，CF＝2BC，DG＝3CD，AH＝4AD，由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得S△BEFS△ABC=BE⋅BFS△GCFS△BCD=CG⋅CFS△HDGS△ADC=DG⋅DHS△ABES△ADB=AH⋅AE∴S四边形EFGH＝S△BEF+S△GCF+S△DGH+S△AHE+SABCD＝3+8+15+8+2＝36，故答案为：36．【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．【阅读理解】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2﹣4ac一定为完全平方数．现规定F(a，b，c)=4ac−b24a为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”x2﹣3x﹣4＝0的两根均为整数，其“快乐数”F(1，−3，−4)=4×1×(−4)−(−3)24×1=−254，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r＝0（p≠0）的“快乐数”F（p，q，r），且满足r•F（a，b，c）＝c•F（p，q，r），则称F（a，b（1）“快乐方程”x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数”为﹣4；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且1＜m＜6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m，n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出m，n的值．【分析】（1）按照快乐数公式即可求解；（2）按照快乐数公式即可求解；（2）由x2﹣mx+m+1＝0，求出m的值，再由x2﹣（n+2）x+2n＝0，求出F[1，﹣（n+2），2n]=−(n−2)24，分m＝5、【解答】解：（1）方程：x2﹣2x﹣3＝0的“快乐数F（1，﹣2，﹣3）=4×1×(−3)−(−2故答案为：﹣4；（2）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0，Δ＝b2﹣4ac＝4m+13，∵1＜m＜6，即：17＜4m+13＜37，4m+13＝25或36，∴m＝3，m=23方程变为：x2﹣5x＝0，则F（1，﹣5，0）=−(−5故其“快乐数”数是−25（3）x2﹣mx+m+1＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4（m+1）＝（