山西省大同市2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题（原卷+解析）

2025-2026学年第一学期期末检测高二数学试题（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.圆与圆的位置关系是（）A内切 B.相交 C.外切 D.外离2.已知向量，若共面，则（）A.2 B.3 C.4 D.63.已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（）A3 B.5 C.7 D.94.椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.5.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）A.2 B.0或 C.0或2 D.6.在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（）A.11 B.12 C.13 D.147.如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（）A. B. C. D.8.下列说法中，正确的是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线l方向向量为，平面的法向量为，则C.已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则D.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为5 B.的最大值为C.圆心到直线的距离最大为4 D.直线与圆相切时，10.在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（）A.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面所成角的余弦值为11.已知函数，则（）A.必有两个极值点B.存在实数使得C.点是曲线的对称中心D.若曲线有两条过点切线，则或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，若，则的值为__________．13.已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线的焦点，，则的最小值为__________.14.已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的标准方程；（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.16.等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；（2）求数列的前16项的和．17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角正弦值.18.已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点.（1）求双曲线C标准方程；（2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由．19.已知函数．（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．2025-2026学年第一学期期末检测高二数学试题（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.圆与圆的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.外离【答案】B【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距和两圆半径的数量关系，得到两圆相交.【详解】的圆心为，半径为2，的圆心为，半径为3，由于，，故两圆相交.故选：B2.已知向量，若共面，则（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根据空间向量共面定理结合线性运算的坐标运算计算即可.【详解】因为，三个向量共面，所以存在唯一实数对，使得，所以，所以，解得.故选：B.3.已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（）A.3 B.5 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径.【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为2，所以到圆心的距离为，所以在圆外，故的最大值为.故选：C.4.椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，椭圆上存在点，使得，而，故根据，可转化为含的不等式即可求解.【详解】由题意，椭圆上存在点，使得，而，，显然，所以即可，得，解得.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率，属于难题.5.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）A.2 B.0或 C.0或2 D.【答案】B【解析】【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可.【详解】设直线与曲线的切点为，由，则，则，即切点，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或．故选：B6.在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】A【解析】【分析】由题意得，，，结合等差数列下标和的性质及等差数列的前项和公式即可求解.【详解】因为为等差数列，前项和有最大值，若，则，即，所以，，，即，则，即，，即，所以当时，的最大值为11.故选：A.7.如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明三棱锥的外接球球心为的中点，再建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，从而求得点到平面的距离，利用勾股定理求得截面圆的半径，从而得截面圆的面积.【详解】如图1，分别取的中点为，的中点为，则，，连接，因为底面为直角梯形，，，，所以四边形为正方形，，因为平面，，所以平面，平面，所以，所以，而平面，平面，则，所以，又为的中点，所以，所以点到三棱锥各个顶点的距离均为，故为三棱锥的外接球球心，如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系，因为平面，平面，则，与底面所成的角为，则为等腰直角三角形，，则，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，可取，因为，所以点到平面的距离，设截面圆的半径为，则，所以截面圆的面积为.故选：A.8.下列说法中，正确的是（）A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则D.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30°【答案】B【解析】【分析】根据对称规则可判断A错误，利用向量共线的条件可得，可得B正确，由共面定理可知C错误，再由线面角定义可得D错误.【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误；对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，则，故B正确；对于C.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则，解得，故C错误；对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为，故D错误.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A.的最大值为5 B.的最大值为C.圆心到直线的距离最大为4 D.直线与圆相切时，【答案】BD【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解.【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点，所以的最大值，故A错误；B：如图所示，当直线斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，故B正确；C：圆心到直线的距离，当时，，当时，，故C错误；D：直线，即，过定点，代入圆的方程得，则定点在圆外.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2，即，解得，故D正确.故选：BD10.在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（）A.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面所成角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法证明线面关系即可判断选项；用向量法分别表示向量，以及求出平面的法向量，代入异面直线所成的角的向量公式可判断选项，代入直线与平面所成角的余弦公式即可判定选项.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.对于A，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A正确.对于B，因为，，所以，所以DP，EC不垂直，故B错误.对于C，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C正确.对于D，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则（）A.必有两个极值点B.存在实数使得C.点是曲线的对称中心D.若曲线有两条过点的切线，则或【答案】BCD【解析】【分析】求出函数的导函数，即可判断A；令，令，结合零点存在性定理判断B；由判断C；设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，再令，利用导数说明函数的单调性，依题意要使有两个解，一个极值一定为0，即可求出的值.【详解】对于A，因为，当时，有两个不相等实数根，所以有两个极值点，当时，恒成立，所以无极值点，故A错误；对于B，，令，则，令，，当时，根据函数零点存在定理，存在实数使得，故B正确；对于C，由，知的图象关于中心对称，所以点是曲线的对称中心，故C正确；对于D，过的切线的切点为，切线斜率为，则切线方程为，把点代入可得，化简可得，令，则，令可得或，在和上大于零，所以在和上单调递增，在上小于零，所以在单调递减，要使有两个解，一个极值一定为0，若函数在极值点时的函数值，可得，若函数在极值点时的函数值，可得，所以若曲线有两条过点切线，则或，故D正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等差数列中，若，则的值为__________．【答案】40【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由可得，故，则，故答案为：4013.已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线焦点，，则的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】求出抛物线的焦点及准线方程，作出图形，结合抛物线的定义求出最小值.【详解】抛物线焦点，准线方程为，如图，过作准线的垂线，交准线于，过作准线的垂线，交准线于，则，当共线时取等号，所以的最小值为5.故选：514.已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】由题意可知，、为方程的两根，列出韦达定理，将不等式变形为关于实数的不等式，即可解得实数的最小值.【详解】函数定义域为，且，因为函数有两个极值点、，则，可得，由题意可知，、为方程的两根，由韦达定理可得，所以，，解得，所以，，因此，实数的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的标准方程；（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程；（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案.【小问1详解】设，则，故，化简整理得，故曲线的标准方程为；【小问2详解】曲线是以为圆心，1为半径的圆，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求，当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即，圆心到的距离，解得，故切线方程，即，综上，过点且与曲线相切的直线方程为或.16.等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；（2）求数列的前16项的和．【答案】（1），当取得最小值时，；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可；（2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题可得：，即，解得，，所以；由，可得，解得，因为，所以时，取得最小值时，；【小问2详解】由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数，故；故数列的前16项的和.17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接交于，连接，由于是的中点、是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于平面平面，所以平面；【小问2详解】依题意，底面是矩形