6.4.2 向量在物理中的应用举例 （讲义）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

6.4.2向量在物理中的应用举例课标要求会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.素养要求通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题，发展数学建模及数学运算素养.1.问题向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移等，它与物理学中的力学、运动学有着紧密的联系.回答下列问题：(1)如何求力F1和F2的合力？(2)如何求解力的做功问题？提示(1)利用三角形法则或平行四边形法则求F1＋F2.(2)利用公式W＝F·s＝|F||s|cosθ求解.2.填空向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等.(2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.温馨提醒向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象.3.做一做作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________.答案(－3，－4)解析由题意知，F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2＝－(F1＋F2)＝(－3，－4).题型一有关力的问题例1设平面上作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，|F1|＝1N，|F2|＝2N，F1和F2的夹角为eq\f(2π,3).求：(1)F3的大小；(2)〈F3，F2〉的大小.解(1)因为F1，F2，F3三个力处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq\r(（F1＋F2）2)＝eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2)＝eq\r(1＋4＋2×1×2·cos\f(2π,3))＝eq\r(3)(N).(2)如图，以三力的作用点O为坐标原点，F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.将向量F1，F3正交分解.设∠MOC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，由受力平衡知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|F3|cosθ＋|F1|cos\f(π,3)＝|F2|，,|F3|sinθ＝|F1|cos\f(π,6)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|F3|cosθ＝|F2|－|F1|cos\f(π,3)，,|F3|sinθ＝|F1|cos\f(π,6).))将|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝eq\r(3)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)cosθ＝2－\f(1,2)，,\r(3)sinθ＝\f(\r(3),2).))又因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6)，所以〈F3，F2〉＝π－eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6).思维升华平面向量在物理中的力学应用广泛，用向量处理这些问题时，根据题意把物理向量用有向线段表示，利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.本例第(2)问中建立平面直角坐标系，把向量作正交分解，这种方法在力学中应用非常广泛.训练1一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为北偏东60°；|F3|＝6N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功.解如图所示，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝(1，eq\r(3))，F2＝(2eq\r(3)，2)，F3＝(－3，3eq\r(3))，∴F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2，2＋4eq\r(3)).又位移s＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))，∴合力F所做的功W＝F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(2＋4eq\r(3))×4eq\r(2)＝4eq\r(2)×6eq\r(3)＝24eq\r(6)(J).∴合力F所做的功为24eq\r(6)J.题型二有关速度的问题例2奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20km/h.若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度大小与方向.解如图，建立平面直角坐标系(x轴的正方向为东，y轴的正方向为北).风力的方向为北偏东30°，速度大小|v1|＝20km/h，水流的方向为正东，速度大小|v2|＝20km/h，帆船行驶的速度为v，方向为北偏东90°－α，则v＝v1＋v2.由题意可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，10eq\r(3))，向量v2＝(20，0)，则帆船行驶的速度v＝v1＋v2＝(10，10eq\r(3))＋(20，0)＝(30，10eq\r(3))，∴|v|＝eq\r(302＋（10\r(3)）2)＝20eq\r(3)(km/h).∴tanα＝eq\f(10\r(3),30)＝eq\f(\r(3),3).∵α为锐角，∴α＝30°.∴帆船向北偏东60°方向行驶，速度大小为20eq\r(3)km/h.思维升华利用向量法解决速度问题的关键是要能根据题意画出示意图，同时要注意速度的方向.训练2河水自西向东流动的速度的大小为3km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度的大小为3eq\r(3)km/h，求小船的实际航行速度.解设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边作矩形OACB，连接eq\o(OC,\s\up6(→))，如图，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，且eq\o(OC,\s\up6(→))即为小船的实际航行速度.∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(a2＋b2)＝6(km/h)，tan∠AOC＝eq\f(3\r(3),3)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°，∴小船的实际航行速度大小为6km/h，按北偏东30°的方向航行.题型三与功有关的问题例3已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10m/s2)解如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J).将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J).即F和f所做的功分别为500eq\r(3)J和－22J.思维升华力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角).训练3一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)，则在这个过程中三个力的合力所做的功为________.答案－40解析∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，4)，∴F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三个力的合力做的功等于－40.[课堂小结]1.重要思想与方法(1)用向量解决物理问题的步骤：(2)在应用向量法解决物理问题的过程中应用转化与化归的思想方法.2.易错易混点提醒不能将物理问题转化为向量问题.一、基础达标1.人骑自行车的速度是ν1，风速为ν2，则逆风行驶的速度大小为()A.ν1－ν2 B.ν1＋ν2C.|ν1|－|ν2| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ν1,ν2)))答案C解析由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为ν1＋ν2，人的速度和风速方向相反，故选C.2.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A.6 B.2C.2eq\r(5) D.2eq\r(7)答案C解析由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2eq\r(5).3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A.30° B.60°C.90° D.120°答案D解析作eq\o(OA,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G(图略)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为()A.(－2，4) B.(－30，25)C.(10，－5) D.(5，－10)答案C解析设(－10，10)为A，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(x＋10，y－10)，由题意有eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5ν.即(x＋10，y－10)＝(20，－15)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，,y－10＝－15，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－5.))5.河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A.10m/s B.2eq\r(26)m/sC.4eq\r(6)m/s D.12m/s答案B解析由题意知|ν水|＝2m/s，|ν船|＝10m/s，作出示意图如图.∴|ν|＝eq\r(102＋22)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)(m/s).6.飞机以大小为300km/h的速度v斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度v1的大小是________km/h.答案150eq\r(3)解析如图所示，|v1|＝|v|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(km/h).7.一个物体在大小为10N的力F的作用下产生的位移s的大小为50m，且力F所做的功W＝250eq\r(2)J，则F与s的夹角等于______.答案eq\f(π,4)解析设F与s的夹角为θ，由W＝F·s，得250eq\r(2)＝10×50cosθ，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4).8.在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________km/h.答案4eq\r(5)解析用v0表示水流速度，v1表示船在与水流垂直的方向上的速度，则v0＋v1表示船实际航行的速度.因为|v0|＝4，|v1|＝8，所以|v0＋v1|＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).9.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使其由点A(20，15)移动到点B(7，0).(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up6(→)).＝F1·eq\o(AB,\s\up6(→))＋F2·eq\o(AB,\s\up6(→))＝W1＋W2＝－99－3＝－102.所以合力F对质点所做的功为－102.10.在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))表示水流的速度，eq\o(AD,\s\up6(→))表示渡船在静水中的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))表示渡船实际垂直过江的速度.因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝12.5，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.二、能力提升11.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为()A.40N B.10eq\r(2)NC.20eq\r(2)N D.eq\r(10)N答案B解析对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20N时，可知这两个力的大小都是10eq\r(2)N；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10eq\r(2)N.12.一条河宽为8000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________h.答案0.5解析如图，ν实际＝ν船＋ν水＝ν1＋ν2，|ν1|＝20，|ν2|＝12，∴|ν实际|＝eq\r(|ν1|2－|ν2|2)＝eq\r(202－122)＝16(km/h).∴所需时间t＝eq\f(8,16)＝0.5(h).∴该船到达B处所需的时间为0.5h.13.如图所示，在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ(cosθ＝eq\f(\r(2),10)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))方向，距点O300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增