十堰市2026届高三上学期元月调研考试数学试题（解析版）

第1页/共1页十堰市2026年高三年级元月调研考试数学本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算求解即得.【详解】由，得.故选：C2.已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（）A.6 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义可得，代入方程可得，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，因为，即，且，所以.故选：B.3.印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（）A.4.02 B.4.00 C.3.88 D.3.84【答案】A【解析】【分析】将给定的5个数据由小到大排列，利用第40%分位数的定义求解即得.【详解】5个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71，由，得这5个数据的40%分位数是.故选：A4.若向量，，记，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值.【详解】由题设，所以，所以.故选：A5.已知正数，满足，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】分析】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【详解】因为正数，满足，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故选：D.6.在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B.20 C.16 D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.【详解】因为，，所以.由正弦定理可知，，所以，，又，所以，所以.由余弦定理知，，所以，即.又，所以，所以.故选：D.7.已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令正四面体的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比.【详解】取正四面体各棱中点，如图，可得平面平面，且，作平面于点，交平面于，则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6，，，，而，因此球的半径，所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为.故选：C8.若函数有极值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解.【详解】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值，求导得，令，，求导得，而，令，得，当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值；当时，，由，得；由，得，函数在上递减，在上递增，则，设，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，则时，，此时函数，即无极值；当时，，且时，；时，，此时函数，即存在极值，所以的取值范围为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，若集合满足，则可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断.【详解】对于选项A：若，满足，符合题意，故A正确；对于选项B：若，则，不符合题意，故B错误；对于选项C：若，满足，符合题意，故C正确；对于选项D：因为，则，不符合题意，故D错误；故选：AC.10.若，则（）A.（）B.C.从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种D.从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种【答案】ACD【解析】【分析】分析可知，，进而列举.对于A：可知的最大值为，即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可.【详解】因为的展开式的通项为，，则，，可得依次为.对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确；对于选项B：，故B错误；对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项，所以不同的取法共有种，故C正确；对于选项D：因为，共有4组，若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种；检验可知，不同的取法共有种；综上所述：不同的取法共有种，故D正确；故选：ACD.11.已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（）A. B.C.，是奇函数 D.，满足【答案】ACD【解析】【分析】令，得到，由于的定义域与值域均为，令，得，则解析式为，逐个选项判断即可.【详解】令，则，由于的定义域与值域均为，则令，有，即；，A正确；，，B错误；，是奇函数，C正确；，，满足，D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，用，表示______.【答案】【解析】【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解.【详解】由，得，则；由，得，则，因此，所以.故答案为：13.已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得，将代入双曲线方程即可求出离心率.【详解】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为，由经过点，（），得点关于轴对称，即，则，于是，而，则，由点在双曲线上，得，即，整理得，因此，即，则，而，所以的离心率.故答案为：14.若函数有零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】换元令，可得在内有零点，分、和三种情况，结合绝对值的性质分析求解即可.【详解】令，可得在内有零点，（i）若，则，令，解得，不合题意；（ⅱ）若，则，令，解得，不合题意；（ⅲ）若，根据绝对值的性质可得，又因为，则，因为在内有零点，则，①当时，则，解得；②当时，则，解得；综上所述：实数取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和.（1）证明：是等比数列；（2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义推理得证.（2）由（1）的结论求出，进而求出并求出公差.【小问1详解】数列的前项和，当时，，即，而，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得，则，，所以等差数列公差.16.某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表：灌溉系统糖度达标糖度不达标合计型6238100型4555100合计10793200（1）根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联；（2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为：11.520.20.50.3使用传统土壤栽培时的分布列为：0.81.21.60.40.40.2从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率.附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】（1）有关联；（2）0.28.【解析】【分析】（1）利用给定列联表中数据求出的观测值，再与临界值比对即可得解.（2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.【小问1详解】零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联，根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.【小问2详解】令使用无土栽培单株番茄产量为，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为，抽到的2株番茄总产量为，则，则，所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28.17.如图，几何体为四棱锥和三棱锥的组合体.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，.（1）求证：；（2）若三棱锥的体积是四棱锥的体积的，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理可证平面，平面，即可得结果；（2）可证平面，根据体积关系可得，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】取的中点为，连接，因为，，则，，且，平面，可得平面，由平面，可得，又因为，，平面，所以平面，因为底面是正方形，则，且平面平面，平面平面，平面，可得平面，所以.【小问2详解】因为是正三角形，则，且平面平面，平面平面，平面，可得平面，由题意可知：，，又因为，则，解得，以为坐标原点，分别为轴，过点平行于直线的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆：（）的实轴长为，点在上.（1）求的离心率；（2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上；（3）已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.【答案】（1）（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据长轴长可得，代入点可得，进而可得离心率；（2）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，进而可得，联立直线方程可得，运算求解即可；（3）设，根据题意结合向量运算可得，代入椭圆方程可得，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：，即，椭圆方程为，代入点可得，解得，所以椭圆的离心率.【小问2详解】由（1）可知椭圆的方程为，，因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，设直线：，，联立方程，消去x可得，则，，可得，由题意可知：直线，直线，联立方程消去y可得，即，可得，所以点在定直线上.【小问3详解】设，且，则，且，，可得，即，代入椭圆方程可得，整理可得，又因为，，，可得，即，且，可得，即，所以（为定值）.19.已知函数（）.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：；（3）试讨论过点且与曲线（）相切的直线的条数.【答案】（1）（2）证明见详解（3）答案见详解【解析】【分析】（1）求导，分析可知在，上单调递增，参变分离结合恒成立问题运算求解；（2）构造函数，利用导数分析其单调性和最值，可得，即可证明结论；（3）求导，根据导数的几何意义分析过一点的切线，构造，可知切线的条数即为与的交点个数，利用导数的单调性和极值，结合图象分析求解即可.【小问1详解】因为在上连续不断，若在上单调递增，可知在，上单调递增，若，则，且，可得，即在上恒成立，且在上的最小值为0，可得；若，则，且，可得，即在上恒成立，且在上的最大值为，可得；综上所述：实数的取值范围为.【小问2详解】若，则，构造，则，因为，，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在内单调递减，则，即，且，可得，即.【小问3详解】因为，若，则，且，设切点坐标为，，切线斜率，则切线方程为，代入点可得，整理可得；若，则，且，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，代入点可得，整理可得；构造