2026年高考数学二轮复习：专题05 嵌套函数与函数零点（复习讲义）（原卷版）

/专题05嵌套函数与函数零点目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 3考点一函数零点 3真题动向必备知识知识1求函数零点/方程的根的个数知识2由函数的零点/方程的根个数求参数范围知识3比较零点大小命题预测考向1求函数零点/方程根的个数考向2根据函数零点/方程根的个数求参数范围考向3比较零点的大小考向4零点之和问题考向5类周期型的零点问题考向6高斯取整型的零点问题考点二嵌套函数 8必备知识知识1镶嵌函数命题预测考向1自嵌套复合模型考向2互嵌套复合模型考向3二次嵌套复合模型（可因式分解）考向4二次嵌套复合模型（不可因式分解）命题轨迹透视近三年全国卷中，嵌套函数与零点问题是高频核心考点，多以选择、填空压轴题形式呈现，部分年份在解答题中穿插考查，分值5-10分。命题核心围绕换元思想展开，将嵌套函数拆分为内外层函数，通过求解外层函数零点，转化为内层函数与直线的交点问题，再结合数形结合、导数分析单调性与极值求解。题型集中于零点个数判断、参数范围求解、曲线交点转化三类，常融合函数奇偶性、周期性等性质，综合性较强。命题趋势更侧重逻辑思维与转化能力，易错点在于换元后忽略定义域限制、图象绘制偏差或参数讨论不全面。整体难度中等偏上，是区分中档生与尖子生的关键题型。考点频次总结考点2025年2024年2023年函数零点I卷T7，5分II卷T6，5分甲卷（文）T16，5分甲卷（文）T12，5分甲卷（理）T10，5分嵌套函数2026命题预测2026年全国卷中，嵌套函数与零点问题仍将是高频核心考点，大概率以选择、填空压轴形式呈现。命题将延续换元解套、数形结合与导数应用的核心逻辑，可能融入类周期、分段函数等创新情境，侧重参数范围求解与零点个数判定。整体难度中等偏上，强调转化与分类讨论能力，考点一零点问题1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，6，5分）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．22．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，7，5分）当时，曲线与的交点个数为（

）A．3 B．4 C．6 D．83．（2023·全国甲卷·高考真题，10，5分）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·全国甲卷·高考真题，16，5分）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．知识1求函数零点/方程的根的个数1.代数法：解方程，直接统计根的个数（注意重根）；2.图像法：①画出图像，统计与轴交点个数；②转化为与交点个数；3.辅助分析：利用函数单调性、极值、奇偶性、区间端点值确定图像特征.知识2由函数的零点/方程的根个数求参数范围1.构造含参函数，分析其单调性、最值；2.画出函数大致图像，结合零点个数要求（与轴交点个数）；3.建立极值与的大小关系、区间端点值与的关系，解不等式求参数范围.知识3比较零点的大小1.构造辅助函数：设，比较与的零点即比较的根；2.分析函数单调性：若单调递增，由、可直接比较；3.图像法：画出多个函数图像，观察零点的横坐标位置关系；4.区间定位：利用零点存在定理确定各零点所在区间，间接比较大小.考向1求函数零点/方程根的个数1．（2025·安徽黄山·一模）已知函数，方程的根的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·广东阳江·三模）已知函数是奇函数，则函数的零点个数为．3．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（

）A．9 B．10 C．11 D．184．（2025·黑龙江伊春·二模）已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为．5．（2025·辽宁阜新·模拟预测）已知函数满足，且，则函数的最大值为；方程的实数解的个数为．考向2根据函数零点/方程根的个数求参数范围6．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是．7．（2025·四川泸州·一模）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数．8．（2025·甘肃定西·模拟预测）设函数．若，则满足的的一个取值为；若恰有3个零点，则实数的取值范围是．9．（2025·甘肃武威·一模）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或10．（2025·辽宁辽阳·一模）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（

）A．0 B． C． D．11．（2025·甘肃天水·一模）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是．考向3比较零点的大小12．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，，的零点依次为，，，则以下大小关系正确的是（

）A． B． C． D．13．（2024·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（

）A． B． C． D．14．（2024·湖南株洲·一模）（多选）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（

）A． B．C． D．15．（2024·江苏常州·一模）若，，，则，，由小到大的顺序是考向4零点之和问题16．（2025·黑龙江鹤岗·二模）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（

）A． B．ln2 C．0 D．117．（2024·福建龙岩·三模）已知函数的零点分别为，，，则（

）A．0 B．2 C．4 D．618．（2024·广东河源·一模）函数的所有零点之和为（

）A．0 B．-1 C． D．219．（2025·四川乐山·二模）已知函数，若存在实数满足，则错误的是（

）A． B． C． D．20．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知分别是函数，的零点，则的值为.21．（2024·海南儋州·二模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为．考向5类周期型的零点问题22．（2024·河北邯郸·一模）已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则（

）A．或 B．C．或 D．或23．（2024·安徽淮南·一模）定义在上的函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．824．（2025·广西南宁·一模）已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．25．（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（

）个A．6 B．2 C．4 D．826．（2025·江苏连云港·三模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程的根的个数为A．6 B．7C．8 D．927．（2025·四川达州·二模）已知函数若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或考向6高斯取整型的零点问题28．（2025·云南昭通·二模）已知函数其中表示不超过x的最大整数，则关于x的方程的所有实数根之和为（

）A．2 B．3 C．4 D．529．（2025·河南平顶山·三模）已知函数，其中表示不大于的最大整数（如，），则方程的实数根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．430．（2024·广东清远·模拟预测）已知表示不超过的最大整数，则方程的解集为．31．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数，其中表示不超过的最大整数，则方程的所有实数根之和为.32．（2024·广东湛江·一模）设表示不超过的最大整数，如，.则函数的零点为.考点二嵌套函数知识1镶嵌函数核心是先拆解“镶嵌”结构，明确内外层函数的关系。首先识别外层函数和内层函数（如中，为外层，为内层），将镶嵌函数零点问题转化为“外层函数零点→内层函数方程解”的两步问题。先求外层函数的所有解；再分别求解内层方程，统计所有方程的解的总数（需注意函数定义域对解的限制）。若涉及参数，需结合内层函数的单调性、最值等性质，分析每个方程解的个数与参数的关系，进而根据零点总数要求列不等式（组），求解参数范围。考向1自嵌套复合模型1．（2025·山东滨州·模拟预测）（多选）已知时，，则关于函数下列说法正确的是（

）A．方程的解只有一个 B．方程的解有五个C．方程的解有五个 D．方程的解有三个2．（2025·广西崇左·一模）已知函数，则方程实数根的个数为（

）A．6 B．7 C．10 D．113．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）（多选））已知函数，的零点个数为，为实数，则下列正确的有（

）A．当时， B．当时，C．在上单调递增 D．在上单调递增4．（2025·吉林白城·三模）已知函数，则函数的零点个数为．5．（2025·黑龙江黑河·一模）已知函数，则函数的零点个数为．6．（2025·广西柳州·三模）设函数，则关于的方程根的个数为，其所有根之和的取值范围为．考向2互嵌套复合模型7．（2025·陕西商洛·一模）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（

）A． B． C． D．8．（2024·江苏南通·一模）设函数.若函数与都没有零点，则函数与（

）A．都没有零点 B．都有零点C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点9．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为．10．（2025·湖北孝感·二模）已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是．考向3二次嵌套复合模型（可因式分解）11．（2025·广东云浮·二模）设函数则方程的实数根的个数可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．512．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（

）A．5 B．6 C．16 D．813．（2025·吉林白山·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．14．（2024·广东梅州·模拟预测）（多选）函数关于x的方程：有六个零点，则下列选项正确的（

）A．减区间为，B．C．或D．函数与有5个交点考向4二次嵌套复合模型（不可因式分解）15．（2025·吉林长春·二模）函数称为高斯取整函数，也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，.若函数有个零点，则关于的不等式的解集是.16．（2025·山西长治·三模）已知函数，，若，则零