人教版八年级数学上册知识点总结归纳

人教版八年级数学上册知识点总结归纳同学们，八年级上册的数学学习之旅即将开启。这一学期，我们将接触到一些新的数学概念和方法，也会对一些已有的知识进行深化和拓展。这份总结旨在帮助大家梳理本学期的核心知识点，希望能为你们的学习提供一份清晰的脉络和实用的指引。请记住，数学的学习不仅仅是记住公式和定理，更重要的是理解其背后的逻辑，并能灵活运用于解决实际问题。一、全等三角形本章是平面几何的入门与深化，全等三角形的概念和判定是后续学习几何证明的重要基础。1.1全等形与全等三角形*全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。强调“完全重合”，即形状和大小都相同。*全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。*表示方法：全等符号为“≌”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，例如△ABC≌△DEF，表示点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点。1.2全等三角形的性质*全等三角形的对应边相等。*全等三角形的对应角相等。*由全等三角形的定义还可推知，全等三角形的周长相等、面积相等，对应边上的中线、高线、对应角的平分线也分别相等。1.3三角形全等的判定这是本章的核心内容，必须熟练掌握并灵活运用。*边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。*边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（注意：这里的角必须是两边的夹角，“SSA”不能判定两个三角形一定全等。）*角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（由ASA可推导得出）*斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（这是直角三角形特有的判定方法，不适用于一般三角形。）1.4角的平分线的性质*性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。*判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（这两个定理是互逆的，常用于证明线段相等或点的位置。）学习建议：证明三角形全等时，要仔细分析已知条件，选择合适的判定方法。书写证明过程时，要注意对应顶点的字母写在对应位置上，逻辑清晰，论据充分。二、轴对称轴对称是一种重要的图形变换，在生活中有着广泛的应用，同时也是研究等腰三角形等特殊图形性质的重要工具。2.1轴对称图形与轴对称*轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。（一个图形自身的特性）*轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。（两个图形之间的关系）*轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*关于某条直线对称的两个图形是全等形。2.2作轴对称图形*会作一个图形关于某条直线对称的图形。（关键是作出图形上关键点的对称点，然后连接。）*用坐标表示轴对称：在平面直角坐标系中，点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)；关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。（可拓展思考关于直线y=x或y=-x对称的点的坐标特征。）2.3等腰三角形*定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*判定：*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。*等边三角形（特殊的等腰三角形）：*定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。*性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。*判定：*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。学习建议：轴对称的概念比较抽象，要多结合具体图形和生活实例来理解。等腰三角形的“三线合一”性质非常重要，在证明线段相等、角相等、垂直关系时经常用到。三、整式的乘除与因式分解本章是代数式运算的深化，整式的乘除法是进一步学习分式、方程、函数等知识的基础，而因式分解则是代数式恒等变形的重要手段。3.1整式的乘法*同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n都是正整数)。（底数不变，指数相加）*幂的乘方：(am)n=amn(m,n都是正整数)。（底数不变，指数相乘）*积的乘方：(ab)n=anbn(n是正整数)。（积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）*单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。*单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即m(a+b+c)=ma+mb+mc。*多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。3.2乘法公式*平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。（两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。）*完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。（两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。）（要理解公式的结构特征，并能灵活运用公式进行计算和变形，注意公式的逆用。）3.3整式的除法*同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n)。（底数不变，指数相减）*零指数幂：a⁰=1(a≠0)。*负整数指数幂：a-p=1/ap(a≠0,p是正整数)。*单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。*多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。3.4因式分解*定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。（因式分解与整式乘法是互逆变形。）*提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。（关键是找出各项的最大公因式）*公式法：*利用平方差公式分解因式：a²-b²=(a+b)(a-b)。*利用完全平方公式分解因式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²。（在运用公式法分解因式时，要先看是否有公因式可提，再考虑是否符合公式的形式。）*十字相乘法（补充内容，部分教材可能作为拓展）：对于二次三项式x²+(p+q)x+pq，可以分解为(x+p)(x+q)。学习建议：幂的运算性质是整式乘除的基础，务必熟练掌握。乘法公式的结构特点要牢记，灵活运用。因式分解时，要树立“一提二套”的意识，即先考虑提公因式，再考虑运用公式。分解要彻底。四、分式分式是不同于整式的另一类有理式，分式的概念、性质及运算与分数有许多相似之处，但也有其特殊性。4.1分式的概念*定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。*分式有意义的条件：分母不等于零（B≠0）。*分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零（A=0且B≠0）。4.2分式的基本性质*分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。即A/B=(A·C)/(B·C)，A/B=(A÷C)/(B÷C)(C≠0)。*分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。（约分的结果是最简分式或整式）*分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。（通分的关键是确定最简公分母）4.3分式的运算*分式的乘除：*乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即(A/B)·(C/D)=(A·C)/(B·D)。*除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即(A/B)÷(C/D)=(A/B)·(D/C)=(A·D)/(B·C)。*分式的乘方：(A/B)n=An/Bn(n为正整数)。*分式的加减：*同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。即A/C±B/C=(A±B)/C。*异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。即A/B±C/D=AD/BD±BC/BD=(AD±BC)/BD。*整数指数幂：正整数指数幂的运算性质对于整数指数幂仍然适用。（可复习同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方等性质）4.4分式方程*定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。*解分式方程的步骤：1.去分母：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。2.解这个整式方程。3.验根：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根（是增根），原分式方程无解。（验根是解分式方程必不可少的步骤！）*分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基本相同，但要注意检验，既要检验所求的解是否是所列分式方程的解，也要检验是否符合实际意义。学习建议：理解分式的概念，特别是分式有意义和值为零的条件。分式的运算与分数的运算类似，可以类比学习，但要注意分式中字母的取值限制。解分式方程时，一定要记得验根，这是避免