素养导向的探究式教学设计：有理数的乘法与除法（北师大版七年级上册）

素养导向的探究式教学设计：有理数的乘法与除法（北师大版七年级上册）一、教学内容分析  本节内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是学生在掌握了有理数的加减运算及绝对值概念后，对数系运算规律的又一次重大扩展。从知识技能图谱看，有理数的乘除运算不仅是算术运算向有理数域的完备延伸，构成了整个有理数运算体系的基石，更是后续学习有理数的乘方、运算律以及一元一次方程、函数等内容的逻辑前提，具有承上启下的枢纽作用。其认知要求超越识记，关键在于理解运算法则（特别是符号法则）的生成逻辑，并能在复杂情境中准确、灵活地应用。从过程方法路径审视，本节是渗透数学建模、归纳推理等学科思想方法的绝佳载体。教学应引导学生从具体实例（如相反数、连续变化）中抽象出一般规律，经历“观察猜想验证归纳”的完整探究过程，将生活情境或几何直观转化为数学符号表达，从而建构起对“负负得正”等核心规则的深刻理解，而非机械记忆。从素养价值渗透而言，有理数乘除运算的学习，直接指向数学核心素养中的运算能力与推理能力。通过对法则来龙去脉的探求，培养学生的逻辑思维严谨性；通过解决实际背景下的问题，发展模型观念；同时在探索“符号规则”的统一与和谐之美中，陶冶学生的理性精神与科学态度，实现知识学习与素养生长的同频共振。  基于“以学定教”原则，学情研判需立体化展开。学生已有基础包括：熟悉有理数的概念、数轴表示及加减运算法则，具备初步的绝对值知识和分类讨论意识。可能的认知障碍在于：其一，从加减法的“方向”直观思维，过渡到乘除法的“倍数”与“分配”的抽象思维存在跨度；其二，“负负得正”的法则与学生早期形成的“负数小于零”的直觉可能产生认知冲突，构成理解的难点。兴趣点则可能在于运算规则背后的现实解释（如速度、温度变化）或规律本身的简洁对称之美。为动态把握学情，教学中将嵌入多元形成性评价：例如，在法则归纳环节设置开放式提问“大家有没有发现，这里的计算和我们小学学的有什么不一样？”，通过学生的即时回答观察其观察与归纳水平；在练习环节采用“小组互评板演”方式，暴露典型错误思维。针对学情差异，教学调适策略如下：对于基础薄弱学生，提供“温度连续变化”、“往返运动”等直观模型作为理解“脚手架”，并强化“先定符号，再算绝对值”的程序性训练；对于思维活跃学生，则引导其探究法则的合理性证明（如用分配律推导），或挑战包含多重符号、分数、小数的混合运算，满足其深度探究的需求。二、教学目标  在知识层面，学生将经历从具体到抽象的归纳过程，不仅能够准确陈述有理数乘法与除法的运算法则（含符号法则与绝对值运算），理解除法作为乘法逆运算的本质统一性，还能辨析在混合运算中运算顺序的优先级，并能在实际问题中正确选用运算模型，构建起层次清晰、联系紧密的有理数乘除运算认知结构。  在能力层面，学生将发展严谨的数学推理与运算能力。具体表现为：能够从一组具有共性的算式中归纳、概括出普遍规律；能运用类比思想，将乘法法则迁移至除法运算；能在包含加、减、乘、除及括号的混合运算中，熟练、准确地进行多步骤计算；初步具备将简单实际问题（如盈亏、行程、比例问题）转化为有理数乘除运算算式并求解的能力。  在情感态度与价值观层面，通过探究“负负得正”等规则背后的数学合理性，学生将体会到数学规则并非凭空规定，而是源于逻辑自洽与现实需求，从而培养崇尚理性、求真务实的科学态度。在小组合作探究中，学会倾听他人见解，敢于提出自己的猜想，并共同验证，形成良好的合作交流氛围。  在科学思维目标上，本节课重点发展学生的归纳思维与模型思想。通过设置序列化的探究任务，引导学生从有限特例中发现共性，提出关于符号和绝对值运算规则的猜想，并尝试用数学语言进行表述与验证，体验数学研究的基本路径。同时，通过情境建模，强化从现实世界到数学符号的抽象过程。  在评价与元认知目标层面，设计引导学生互相评价解题过程的环节，使其学会依据“符号确定是否正确”、“绝对值计算是否准确”、“步骤是否清晰”等标准进行评判。在课堂小结阶段，引导学生反思“我是如何理解并记住乘法符号法则的？”“在混合运算中，我最容易在哪个步骤出错？”，从而提升对自身学习策略的监控与调节能力。三、教学重点与难点  教学重点是有理数乘除法运算法则的理解与熟练应用。确立该重点的依据在于：从课程标准看，掌握有理数的基本运算是“数与代数”领域的核心要求，是后续代数式运算、方程求解的基石，属于必须掌握的“大概念”。从学业评价视角，有理数乘除运算及其混合运算是各类考试的必考基础，且常作为工具嵌入复杂问题中，其掌握的熟练度与准确度直接影响后续学习的信心与成效。  教学难点主要集中在两个方面：一是对乘法运算中“负负得正”规则的理解与内化；二是有理数乘除混合运算的顺序把握与准确计算。其预设依据源于学情分析：首先，“负负得正”与学生日常经验较难直接对应，认知跨度大，容易导致机械记忆而缺乏理解，常出现符号判断错误。其次，混合运算涉及运算顺序（先乘除后加减、有括号先算括号内）、符号确定、绝对值计算等多个注意点的同时协调，对学生的注意力分配、程序性记忆和工作记忆都是挑战，是作业和考试中错误率极高的节点。突破方向在于，为“负负得正”提供多种直观模型（如连续相反变化）辅助理解，并通过大量层次化、变式化的练习，形成正确的运算程序自动化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与课件：制作交互式课件，包含生活情境动画（如温度变化、汽车往返）、动态数轴演示、分步演示例题与课堂练习。1.2学习资料：设计并印制《分层探究学习任务单》，内含引导性问题、分层探究任务与课堂练习。1.3环境与板书：规划黑板版面，左侧预留用于法则归纳的板书区，中部为例题演示区，右侧为生成性内容或学生板演区。2.学生准备2.1知识预备：复习有理数的概念、绝对值及加减法法则。2.2学具：携带常规文具，鼓励使用不同颜色笔标注运算步骤中的符号与绝对值。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，让我们先来看一个生活中的小问题：气象预报说，某地的气温正以每小时下降2℃的速度变化。如果我们把现在的时刻记为0点，气温为0℃，那么3小时前的气温是多少？如何用数学式子来表示这个变化过程呢？”（引导学生思考：时间“3小时前”可用3表示，下降2℃可用2表示/℃，变化结果应是上升6℃？这引发了认知冲突）。2.提出核心问题与路径勾勒：从学生的讨论中提炼核心问题：“看来，涉及到负数与负数的‘相乘’，和我们以前的经验不太一样。有理数乘法到底怎么算？它的规则是什么？今天，我们就化身数学侦探，一起从一系列‘算例密码’中，自己找出有理数乘法和除法的运算法则。”简要说明路径：先通过特例探究乘法法则，再类比推理除法法则，最后挑战混合运算，解决实际问题。第二、新授环节任务一：从特例中探寻乘法符号的奥秘1.教师活动：教师在课件上出示一组有规律的乘法算式：3×2=6；3×(2)=6；(3)×2=6；(3)×(2)=？。首先引导学生观察前三个算式中，因数符号与积的符号之间的关系。提问：“观察这些式子，符号和绝对值的结果有什么规律？大胆说说你的发现。”接着，聚焦于最后一个未完成的算式，启发学生基于刚才发现的“符号规律”进行猜想：“根据你发现的‘密码’，猜一猜(3)×(2)应该等于多少？并说说你猜想的理由。”教师不急于评判，而是将学生的不同猜想记录下来。然后，提供现实模型辅助理解，如：“如果‘3’表示向前走的速度是每秒向后3米（即速度为3m/s），‘2秒’表示2秒前（即时间为2s），那么2秒前的位置比现在是向前了还是向后了？距离是多少？”引导学生通过模型验证猜想。2.学生活动：学生观察算式，独立思考并尝试用自己的语言描述规律（如“正数乘负数是负数”、“异号得负”等）。小组内交流各自的发现，并对(3)×(2)的结果进行猜想和辩论。结合教师提供的运动模型，尝试解释“负负得正”的直观意义，最终达成共识。3.即时评价标准：1.观察是否仔细，能否从具体算例中提取出关于符号的共性特征。2.猜想是否有依据，是否尝试用语言或模型进行解释。3.小组讨论时，能否倾听他人意见，并清晰地表达自己的观点。4.形成知识、思维、方法清单：  ★有理数乘法符号法则：“同号得正，异号得负”。这是乘法运算的先行步骤，必须首先确定。教学提示：可类比“朋友（同号）见面是高兴的（正），敌人（异号）见面是紧张的（负）”帮助记忆，但需强调其数学本质。  ★“负负得正”的初步理解：这是法则的难点与核心。通过生活模型（连续相反变化）赋予其意义，降低抽象性。强调这是逻辑推导与模型验证的共同结果，不是强制规定。  ▲归纳推理方法：从特殊到一般，是数学发现的重要方法。引导学生体验观察、比较、归纳、猜想、验证的完整过程。任务二：归纳完整的乘法运算法则1.教师活动：在学生明确符号法则后，教师引导学生关注算式的绝对值部分。提问：“解决了符号问题，积的数值部分（绝对值）又如何确定呢？看看我们这些例子，有没有简洁的规律？”待学生发现“把绝对值相乘”后，教师邀请学生尝试完整地口述有理数乘法法则。随后，教师进行规范板书：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。”并通过快速口答练习进行巩固，如：“(4)×6？符号？绝对值？结果？”“5×(7)呢？”“(1/2)×(4)？”2.学生活动：学生从算例中概括出绝对值部分的计算规律。尝试独立或合作，用准确、简练的数学语言将符号法则与绝对值法则整合，表述出完整的乘法法则。积极参与口答练习，熟练“先定符号，再算绝对值”的两步操作。3.即时评价标准：1.语言表述是否完整、准确、简洁。2.口答反应的速度与正确率，能否清晰展示思维步骤。4.形成知识、思维、方法清单：  ★有理数乘法法则完整表述：整合符号与绝对值操作，形成程序性知识。强调“任何数与0相乘得0”这一特例。  ▲数学语言的精确性：从生活化描述到规范化数学术语的转换，是数学交流能力的重要体现。  ★运算程序：“先定符号，后算绝对值”。这是保证运算正确率的关键操作流程，需反复强化。任务三：从乘法到除法的类比迁移1.教师活动：教师书写等式：(12)÷(3)=？，并提问：“除法是乘法的逆运算。既然我们知道(3)×4=12，那么(12)÷(3)应该等于多少？”引导学生利用逆运算关系求解。接着，出示几组类似的乘除互逆算式，如6×(2)=12与(12)÷6=?等。提问：“请根据乘除法的互逆关系，以及我们已经掌握的乘法法则，小组讨论一下，有理数的除法法则可能是什么？它和乘法法则有什么联系？”教师巡视指导，并选择小组代表分享结论。2.学生活动：学生利用逆运算关系填空，初步感知除法结果。小组合作，分析多组乘除对应关系，尝试推导除法运算中符号和绝对值的处理规则。通过对比，发现除法法则与乘法法则在“符号规则”上高度一致。3.即时评价标准：1.能否主动建立乘除法之间的互逆联系来解决问题。2.在小组讨论中，能否通过具体例子有效归纳出一般规律。3.归纳出的法则是否抓住了符号与绝对值两个核心要素。4.形成知识、思维、方法清单：  ★有理数除法法则：“除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数”。此法则将除法统一为乘法，是最本质和通用的方法。同时可归纳出“符号法则与乘法相同”。  ▲类比与转化思想：将未知的除法运算转化为已掌握的乘法运算，是数学中解决问题的强大策略。强调“倒数”概念在此转化中的桥梁作用。  ★运算的统一性：除法运算可以统一为乘法，这简化了运算体系，体现了数学的简洁美。提醒学生，遇到除法时，优先考虑转化为乘法进行计算。任务四：法则的简单应用与辨析1.教师活动：教师出示几道直接应用法则的计算题，如：(15)÷3；8×(0.125)；(4/5)×(10)。请学生上台板演，要求写出详细步骤（特别是符号判定）。针对板演，教师追问：“这一步你为什么先确定符号？”“这里除以一个分数，你是如何转化为乘法的？”同时，设计易错辨析题，如：“2÷1/2×4，下面的算法对吗？(2)÷(1/2×4)=(2)÷2=1”，引导学生讨论错误原因。2.学生活动：学生独立完成计算，部分学生进行板演，并面向同学讲解自己的思路。观察板演，参与辨析讨论，指出错误在于违反了“从左到右”的运算顺序，错误地先计算了后两项的乘积。3.即时评价标准：1.解题步骤是否规范、清晰，体现了“先定符号”等程序。2.在辨析环节，能否准确指出错误所在及违反的运算规则。4.形成知识、思维、方法清单：  ★运算的规范性：清晰的步骤是正确计算的保障，也是思维过程的展现。要求学生在初学阶段务必书写完整过程。  ★易错点警示——运算顺序：在乘除混合运算中，必须严格按照从左到右的顺序进行，不能随意“结合”。此处可类比加减混合运算。  ▲批判性思维：不盲从他人的计算过程，学会依据基本法则进行检验和判断。任务五：综合与混合运算初探1.教师活动：教师呈现稍复杂的算式，如：(6)×5÷(3)；或者带有简单括号的(48)÷[(12)÷(4)]。首先引导学生分析算式的结构：“这个算式中包含哪些运算？我们应该按照什么样的顺序进行？”明确运算顺序后，再分步引导学生完成计算。可以提示：“对于连续的乘除运算，我们可以怎样一次性确定整个式子的符号？有没有小技巧？”（引导思考：负因数的个数与最终结果符号的关系）。2.学生活动：学生识别运算类型和顺序，在教师引导下分步计算。尝试寻找简化符号判断的方法，例如在连续乘除中，可以先数负因数的个数（奇数个为负，偶数个为正），再计算绝对值。完成计算后，小组内交换检查。3.即时评价标准：1.能否正确识别运算顺序并坚持执行。2.能否灵活运用符号判断的小技巧简化计算过程。3.检查他人作业时是否认真、细致。4.形成知识、思维、方法清单：  ★混合运算顺序：先乘除，后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内。这是代数运算的“交通规则”，必须遵守。  ▲优化策略：多个有理数乘除时，通过统计负因数个数一次性确定符号，是提高运算效率和准确性的高级策略。  ★整体性思维：将算式视为一个整体，先规划运算路径（顺序），再执行具体操作，避免“走一步看一步”的局部思维。第三、当堂巩固训练  本环节设计分层变式练习，限时10分钟完成。  基础层（全体必做）：1.口答：快速确定下列各式结果的符号：(7)×8，15÷(5)，(2)×(3)×(1)。2.计算：(1)(9)×10(2)(1.2)÷(0.3)(3)0÷(5/8)。目标：直接巩固运算法则，确保基本技能过关。  综合层（多数学生完成）：3.计算：(1)(3)×(2/3)÷(1/2)(2)(5)×[(2)+3]。4.某水库水位每天下降4厘米，记作4厘米/天。3天前的水位比现在高还是低？高（或低）多少厘米？列式并计算。目标：在混合运算和新情境中综合应用法则，连接简单实际问题。  挑战层（学有余力选做）：5.探究：已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，|m|=2，求式子(a+b)/mcd×m的值。目标：整合相反数、倒数、绝对值等多个概念，进行条件求值，考查综合运用与分类讨论能力。  反馈机制：完成后，通过投影展示不同层次学生的典型解答（尤其是错误案例）。基础层采用集体核对方式；综合层和挑战层请学生讲解思路，教师侧重追问思维过程。组织同伴互评，重点依据“符号是否正确”、“步骤是否完整”、“答案是否准确”三个维度进行点评。第四、课堂小结  引导学生从三个维度进行自主总结与反思：1.知识整合：“请用一句话或一个框架图，梳理一下今天学到的关于有理数乘除运算的核心要点。”鼓励学生分享，教师补充完善板书的知识结构图（包含法则、顺序、思想方法）。2.方法提炼：“在探索法则的过程中，我们用到了哪些数学思想方法？（归纳、类比、建模、转化）哪一个给你留下的印象最深？”3.作业布置与延伸：“今天的作业是‘自助餐’式的：A套餐（基础巩固）是课本Pxx页练习题第1、2、3题；B套餐（能力提升）是完成《学习任务单》上的两道应用题和一道混合运算题；C套餐（挑战自我）是一个小探究：你能用不同的生活实例来解释‘(2)×(3)=6’吗？下节课我们请同学来展示。最后，留给大家一个‘预’字：我们已经学完了加减乘除，有理数的四则混合运算的舞台已经搭好，下次课看大家的精彩演出！”六、作业设计基础性作业（必做）：1.完成教材对应章节的课后练习第一、二大题，重点练习单一乘除运算和简单混合运算，确保每一步书写规范。2.整理课堂笔记，用彩色笔突出标出有理数乘法和除法的核心法则及运算顺序。拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.情境应用：某股票本周前四天的涨跌情况记录如下（正表示涨，负表示跌，单位：元）：+0.5,0.8,0.3,+1.2。若小王持有该股票1000股，其买入价为每股10元，请计算：(1)到第四天收盘时，每股股价是多少？(2)与买入价相比，他的总盈亏情况如何？（需列出含乘法和加法的算式）2.错题诊断：找出或自编一道在有理数乘除混合运算中容易出错的题目，分析其错误原因，并写出正确解答过程。探究性/创造性作业（选做）：1.数学写作：以“为什么‘负负得正’？”为题，写一篇简短的数学小短文。可以尝试从生活实例、数轴运动、运算逻辑（如利用分配律）等不同角度进行解释。2.设计游戏：设计一个包含有理数加、减、乘、除运算的“24点”游戏卡牌（可使用负数），并写出其中一组的解答过程，与同学分享。七、本节知识清单及拓展  ★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。认知提示：这是运算的根基，理解的关键在于“符号”和“绝对值”的分别处理。  ★有理数除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。认知提示：这是最本质、最通用的方法，将除法统一为乘法，简化了运算体系。  ★有理数除法法则（二，由乘法类比）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。认知提示：可作为快速判断符号的口诀，但其运算实现仍需常转化为乘法。  ★倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。认知提示：求倒数时，符号不变，将分子分母颠倒（整数可看作分母为1）。  ★运算顺序规则：先算乘除，后算加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号，先算括号内的。认知提示：这是数学的“语法”，违反顺序会导致结果错误。混合运算是错误高发区。  ★符号确定策略（连续乘除）：多个有理数连乘或乘除混合时，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。认知提示：这是一个高效技巧，可以先确定整个式子结果的符号，增强信心。  ▲“负负得正”的理解模型：  1.连续变化模型：若规定一个方向的变化为正，相反为负。连续两次相反方向的变化，最终效果等同于一次正向变化。  2.数轴运动模型：从原点出发，2表示每次向左移2单位。(3)×(2)可理解为“反向（时间倒流）移动3次，每次向左2单位”，结果相当于从原点向右移动了6单位。  ▲与加减法的本质区别：加减法侧重于“合并”与“移动”，具有强烈的方向性和组合性；乘除法则侧重于“缩放”与“等分”，体现的是倍数关系和分配关系。思维需实现转换。  ▲易错点集锦：  1.符号遗忘或错判：尤其在做多个运算时，只顾绝对值计算而忘记最初的符号法则。  2.运算顺序错误：常见于乘除混合时，错误地“先乘后除”或随意结合。  3.除法转乘法时倒数求错：特别是带分数、小数的情况，需先化为统一形式。  4.与0相关的运算：牢记“0除以任何非零数得0”，“0不能作除数”。  ▲学科思想方法提炼：本节核心体现了归纳推理（从特例到法则）、类比迁移（乘法到除法）、转化化归（除法化乘法，复杂化简单）、模型思想（用实际情境解释规则）等重要的数学思想方法。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析假设本课实施后，通过课堂观察、练习反馈和随机访谈，可以收集以下证据进行评估：在知识层面，绝大多数学生能准确复述乘除法法则，基础层练习题正确率预计可达85%以上，表明核心知识得以建构。能力层面，在综合层应用题解答中，约70%的学生能正确列式并计算，但部分学生在解释“为何这样列式”时仍显吃力，说明从情境到模型的抽象能力需持续培养。情感与思维层面，课堂探究环节学生参与度高，对“负负得正”的讨论展现出强烈的好奇心与求知欲，初步体验了数学发现的乐趣和理性思考的价值。  （二）核心教学环节有效性评估导入环节的生活情境成功制造了认知冲突，有效激发了学习内驱力，那句“3小时前气温反而更高？”的疑问迅速将学生带入探究状态。新授环节的五个任务构成了逻辑紧密的“脚手架”，任务一与任务二的衔接尤为关键——从猜想到模