动量定理的妙用~高考物理试题解析

高考试题以及高考模拟试题，尤其是其中的压轴题始终是广大师生想解答却又不容易解答的题目，特别是近几年的物理压轴题，更是广大物理老师长时间思考琢磨的热点问题，今天我们再来讨论两道有关洛伦兹力的压轴题：第一题：（这道题会是最难的高考题吗？）2023年6月浙江高考普通高中学业水平选择性考试物理第20题：20、利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度及其在磁场中的运动时间t；

（2）若B2=2B1，求能到达处的离子的最小速度（3）若且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在～范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。

参考答案：

分析与解答：

（1）离子不进人区域Ⅱ的最大圆弧轨迹应该与区域Ⅰ的下边界相切，画出图来即可先求出最大半径，再根据洛伦兹力提供向心力即可求出最大速度；离子不进入区域Ⅱ的最大圆周轨迹如下图所示：

由于离子在磁场区域Ⅰ中运动的圆弧轨迹的圆心角为120°，即rad，所以运动时间为：

（2）方法一：离子在磁场区域Ⅰ中运动的圆弧轨迹半径r1′应满足：

离子在进入磁场区域Ⅱ中运动的圆弧轨迹半径r2应满足：

而B2=2B1

则可得：

r2=0.5r1′

要使离子能到达处，就应使离子在磁场区域的Ⅱ中运动的半径最小的圆弧轨迹与直线相切，如下图所示：离子进入磁场区域Ⅰ时速度方向与磁场边界的夹角为60°，设离子进入磁场区域Ⅱ时速度方向与磁场边界的夹角为θ，则在上图中根据数学知识可得：

方法二：

离子进入磁场区域Ⅰ时速度方向与磁场边界即x轴的夹角为60°，当B2=2B1时，能够到达处的离子的最小速度为，离子在磁场中只受洛伦兹力，以最小速度运动的离子到达处时速度方向应该沿x轴正方向。设洛伦兹力的冲量在x轴上的分量为Ix，Ix是跟y轴方向的分速度对应的，按照动量定理可得：

（3）离子进入磁场区域Ⅰ时速度方向与磁场边界即x轴的夹角为60°，当（非匀强磁场）时，能够进入第四象限的离子的速度要足够大才行，设最小速度为，离子在磁场中只受洛伦兹力，以最小速度运动的离子到达x轴时速度方向将沿x轴正方向。而洛伦兹力在x轴方向上的冲量与y轴方向上的分速度对应，所以离子穿过磁场区域Ⅰ的过程中在x轴方向上的冲量为：I1x=qB1L

离子进入磁场区域Ⅱ中并运动到x轴洛伦兹力在x轴方向上的冲量为：I2x=0.5qB1L

（严格的说，洛伦兹力在x轴方向上的冲量只能根据积分求出，所以本题第3问明显超出了高中物理教学的要求和范围，不应该这样命制高考试题！这道高考题是不是最难的呢？）根据动量定理可得：

可见，只要离子的速度超过即可穿过磁场进入第四象限。由于离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，则进入第四象限的离子数与总离子数之比η为：

第二题：2024届高三八省八校第一次学业质量评价（T8联考）物理试卷第14题（这道题应该是根据上边浙江高考题改编的）14．如图所示，在Oxy平面的第一象限内有一过原点的无限长挡板，挡板与x轴成60°角放置。挡板上方有无限长、边界平行于挡板的区域Ⅰ和Ⅱ，分别存在磁感应强度大小为B0和2B0的匀强磁场，方向均垂直纸面向里，磁场边界与y轴分别交于y=2h和y=4h处。在y=3h处有一离子源射出平行x轴、方向与x轴正向相同、质量为m、电荷量为q的正离子。不计正离子的重力以及离子间的相互作用，并忽略磁场的边缘效应。（1）若没有离子进入区域Ⅰ，求离子初速度最大值；（2）若离子经磁场偏转后垂直y轴离开第一象限，求离子初速度的最大值（3）若离子经磁场偏转后恰好能打到挡板上，求离子初速度

参考答案：

分析与解答：（1）方法一：伦伦兹力提供向心力如上图所示，离子在区域Ⅱ中做匀速圆周运动，圆心在y轴上，离子不进入区域Ⅰ，速度最大、半径最大的离子的圆弧轨迹与Ⅰ、Ⅱ间边界相切，从射入点到切点的圆弧对应的圆心角为60°，由数学知识可知，此时圆弧半径为r1=h。洛伦兹力提供向心力：

方法二：运用动量定理离子进入磁场区域Ⅱ时速度方向与Ⅰ、Ⅱ间边界线夹角为60°，初速度为最大值的离子运动到Ⅰ、Ⅱ间边界线时的速度方向应该沿着边界线，平行边界线方向的冲量与垂直边界线的分速度对应，由动量定理可得：

（2）若要离子经磁场偏转后垂直y轴离开第一象限，那就得只在区域Ⅱ中做圆周运动，而且运动轨迹只能是半圆，最大半径为rm=0.5h。根据洛伦兹力提供向心力，可求出离子初速度的最大值为：

（3）方法一：伦伦兹力提供向心力若要使离子经磁场偏转后恰好能打到挡板上，离子就得经磁场区域Ⅱ的偏转后再进入区域Ⅰ偏转，并且要恰好运动到挡板，也就是离子运动到挡板时速度的方向沿着挡板，当然圆弧轨迹也就与挡板相切，如下图所示：

设离子在磁场区域Ⅱ的圆弧轨迹半径为r1′，在磁场区域Ⅰ的圆弧轨迹半径为r2，在磁场区域Ⅱ的圆弧轨迹对应的圆心角为θ，则离子在磁场区域Ⅰ的圆弧轨迹对应的圆心角为60°﹣θ。由数学知识可得：

方法二：运用动量定理离子进入磁场区域Ⅱ时速度方向与Ⅰ、Ⅱ间边界线夹角为60°，离子经磁场偏转后恰好能打到挡板上，离子就得经磁场区域Ⅱ