2025 年大学数学（高等数学）期末试卷

2025年大学数学（高等数学）期末试卷

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、单项选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填在括号内）1.函数$f(x)=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定义域是（）A.$(1,+\infty)$B.$(1,2)\cup(2,+\infty)$C.$[1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(2,+\infty)$2.当$x\to0$时，下列无穷小量中与$x$等价的是（）A.$\sinx-x$B.$e^x-1$C.$\ln(1+x^2)$D.$1-\cosx$3.设函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=（）$A.$f^\prime(x_0)$B.$2f^\prime(x_0)$C.$0$D.$f^\prime(2x_0)$4.曲线$y=x^3-3x^2+1$的拐点是（）A.$(0,1)$B.$(1,-1)$C.$(2,-3)$D.$(3,1)$5.已知函数$f(x)$的一个原函数是$e^{-x}$，则$\intf^\prime(x)dx=（）$A.$e^{-x}+C$B.$-e^{-x}+C$C.$e^{-x}$D.$-e^{-x}$6.设$D$是由$x=0$，$x=1$，$y=0$，$y=1$所围成的区域，则$\iint_Dxydxdy=（）$A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{8}$D.$\frac{1}{16}$7.级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$是（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定8.向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec{b}=(2,-1,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=（）$A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$9.直线$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}$与平面$x+y+z=3$的关系是（）A.平行B.垂直C.在平面内D.相交但不垂直10.函数$z=x^2+y^2$在点$(1,2)$处沿向量$\vec{l}=(1,1)$方向的方向导数为（）A.$2\sqrt{2}$B.$3\sqrt{2}$C.$4\sqrt{2}$D.$5\sqrt{2}$二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）1.已知$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=9$，则$a=$______。2.函数$y=x^3-3x$在区间$[0,2]$上的最大值是______。3.设$f(x)$连续，且$\int_0^{x^2}f(t)dt=x^3$，则$f(4)=$______。4.交换二次积分的次序：$\int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy=$______。5.已知向量$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec{b}=(0,1,1)$，则以$\vec{a}$，$\vec{b}$为邻边的平行四边形的面积为______。三、计算题（总共5题，每题10分，请写出详细的计算过程）1.求极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-x\cosx}{x^3}$。2.已知函数$y=y(x)$由方程$e^y+xy=e$所确定，求$y^\prime(0)$。3.计算$\int\frac{x+1}{x^2+2x+2}dx$。4.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)dxdy$，其中$D$是由$x^2+y^2\leq4$所围成的区域。5.求幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}x^n$的收敛区间及和函数。四、解答题（总共2题，每题10分，请给出必要的文字说明和解题步骤）1.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$。证明：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^\prime(\xi)+f^2(\xi)=0$。2.已知曲线$y=f(x)$过点$(0,\frac{1}{2})$，且其上任一点$(x,y)$处的切线斜率为$x\ln(1+x^2)$，求$f(x)$。五、证明题（10分，请写出详细的证明过程）设$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：在$(0,1)$内存在不同的两点$\xi_1$，$\xi_2$，使得$\frac{1}{f^\prime(\xi_1)}+\frac{1}{f^\prime(\xi_2)}=2$。答案：一、单项选择题1.B2.B3.B4.B5.B6.C7.A8.B9.D10.B二、填空题1.$\ln3$2.$2$3.$\frac{3}{2}$4.$\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx$5.$\sqrt{3}$三、计算题1.利用洛必达法则，分子分母分别求导两次可得极限为$\frac{1}{3}$。2.对方程两边求导，代入$x=0$，$y=1$可得$y^\prime(0)=-\frac{1}{e}$。3.令$u=x^2+2x+2$，则原式可化为$\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2+2x+2}$，积分后得$\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+2)+\frac{1}{2}\arctan(x+1)+C$。4.利用极坐标变换，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，积分区域变为$0\leqr\leq2$，$0\leq\theta\leq2\pi$，计算可得结果为$4\pi$。5.先求收敛半径$R=1$，再判断端点处的敛散性得收敛区间为$(-1,1)$。设$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}x^n$，通过变形和已知幂级数公式可求得和函数$S(x)=\frac{x}{(1-x)^2}+\frac{1}{x}\ln(1-x)$，$x\in(-1,0)\cup(0,1)$，$S(0)=0$。四、解答题1.构造函数$F(x)=e^xf(x)$，利用罗尔定理证明存在$\xi$使得$F^\prime(\xi)=0$，即$f^\prime(\xi)+f^2(\xi)=0$。2.