【初中数学】一元一次不等式与一次函数第二课时教学课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

3.2一元一次不等式与一次函数北师大版八年级下册数学学习目标1.深入理解一元一次不等式与一次函数的内在联系，能从“数”和“形”两个角度阐述对应关系：从“数”的角度明确解一元一次不等式等价于求对应一次函数函数值满足特定条件（大于、小于或等于0）时自变量的取值范围；从“形”的角度掌握一次函数图象在x轴上方、下方或与x轴交点处对应的自变量取值范围即为相应不等式的解集。2.熟练掌握两种思维能力：既能通过列一元一次不等式求解一次函数相关问题，也能借助一次函数图象直观确定不等式的解集，实现“数”与“形”的灵活转化。（重点）3.能准确根据实际问题中的数量关系，建立两个一次函数模型，通过比较函数值的大小转化为一元一次不等式（或方程），求解并结合实际情境给出合理结论，解决决策类实际问题。（难点）复习引入

情景导入某学校为打造“书香校园”，准备购买一批图书，预算金额不超过2000元。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员卡，所购图书的总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡，所购图书的总价可打七折。你认为学校选哪个书店购书更合算？分析：本道题是在预算范围内选择一种最划算的购书方式，拆解本题中的数量.(1)这道题中涉及到哪些量？

图书原来的总价格（未知量），图书打折后的总价（未知量），办一张会员卡的价格（已知量）.(2)在甲店购买图书总价钱怎么计算？在乙店购买图书总价钱怎么算？甲店：购书总价钱=20元+图书原价×0.8乙店：购书总价钱=200+图书原价×0.7新课探究（3）如何设未知数解决问题？解：设图书原价为x元，打折后的总价为y元，则由题意得：y甲=20+0.8x；y乙=200+0.7x(4)画出图象可知：当图书原价x为1800元时，两家书店总花费y

都是1460元。当0＜x＜1800时，y甲＜y乙；当x＞1800时，y甲＞y乙。当y=2000时，x甲＜x乙，即相同预算下乙书店能买到更贵的图书。因此学校选乙书店购书更合算。Oxy500100015002000200015001000500(1800,1460)x甲x乙归纳总结如何用一元一次不等式与一次函数解决实际问题？实际问题写出两个函数表达式画出图像分析图像不等式解不等式解决问题一次函数建模思想例题展示某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计最少有10人，最多不超过25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？分析：本道题涉及不等关系和函数问题，利用一次函数与一元一次不等式的关系来解决问题。例题展示解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元。根据题意，得y1=200×0.75x，即y1

=150x；y2=200×0.8(x-1)，即y2

=160x-160。由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16；由y1>y2，得150x>160x-160，解得x<16；由y1<y2，得150x<160x-160，解得x>16。因为参加旅游的人数最少有10人，最多不超过25人所以，当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同当17≤

x

≤25时，选择甲旅行社费用较少当10≤

x

≤15时，选择乙旅行社费用较少例题分析

在本道题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式或一元一次方程，则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态。因此，可以从一次函数的角度，解决一元一次不等式或一元一次方程的问题，也可以利用一元一次不等式或一元一次方程，研究一次函数的相关问题。随堂练习1.某通讯公司推出两种手机套餐：套餐A每月月租费30元，每分钟通话费0.1元；套餐B无月租费，每分钟通话费0.2元。设每月通话时间为x分钟，当通话时间满足什么条件时，选择套餐A更划算？解：设通话时间为x元，套餐A的费用为y1,套餐B的费用为y2,由题意得：y₁=0.1x+30y₂=0.2x当y₁＜y₂时，0.1x+30＜0.2x解得：x＞300，选择套餐A更划算，答：当每月通话时间超过300分钟时，选择套餐A更划算。随堂练习2.活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案如下：甲：采购费用一律八折；乙：采购费用不超过400元时，不打折，超过400元时，超过部分打七折。（1）分别求甲、乙两家公司优惠后的采购费用y(单位：元)与优惠前的采购费用x(单位：元)之间的函数关系式；（2）如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱。解：(1)y甲=0.8x，y乙=x(0≤x≤400)，0.7x+120

(x＞400)。(2)①若x≤400，则易得

y甲<y乙。②若x>400，当y甲=y乙时，0.8x=0.7x+120，解得x=1200；当y甲<y乙时，0.8x<0.7x+120，解得x<1200；当y甲>y乙时，0.8x>0.7x+120，解得x>1200。所以，若此次采购优惠前的费用小于1200元，则选择甲公司更省钱；若此次采购优惠前的费用大于1200元，则选择乙公司更省钱；若此次采购优惠前的费用等于1200元，则两家公司的收费相同。随堂练习3.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲超市累计购物超过500元后，超出部分按9折优惠；乙超市累计购物超过300元后，超出部分按9.5折优惠。设顾客累计购物金额为x元（x＞0）（1）分别求甲、乙两家超市优惠后的费用y(单位：元)与购物金额x(单位：元)之间的函数关系式；（2）如果你是顾客，请通过计算说明选择哪家超市更省钱。随堂练习解：（1）y甲=500+0.9（x-500）；y乙=300+0.95(x-300)(2)当300＜x≤500时，甲超市无优惠（费用y甲=x）y乙=300+0.95(x-300)=0.95x+15，此时y甲-y乙=x-(0.95x+15)=0.05x-15∵0＜0.05x-15≤10∴y甲≥y乙，甲超市不划算当x＞500时，y甲=500+0.9(x-500)=0.9x+50，y乙=0.95x+15，由y甲

＜y乙，得：0.9x+50＜0.95x+15，解得x＞700所以当x＞700时，选择甲超市更划算.课堂小结实际问题写出两个函数表达式画出图像分析图像不等式解不等式解决问题思维训练甲、乙两人同时从A地出发，前往B地，甲的行驶速度随时间变化的函数为y₁=10t（y₁为行驶路程，单位：km；t为行驶时间，单位：h），乙的行驶路程y₂（km）与行驶时间t（h）的函数关系为：当0≤t≤1时，y₂=15t；当t＞1时，y₂=15+8(t-1)。（1）分别求出乙在t＞1时的路程函数解析式，以及甲、乙行驶1.5h时的路程；（2）出发后多长时间，甲、乙两人行驶的路程相等？（3）出发后多长时间，甲在乙的前方？多长时间时，乙在甲的前方？思维训练（1）①

乙在t＞1时的解析式：y₂=15+8(t-1)=8t+7；②

甲行驶1.5h的路程：y₁=10×1.5=15（km）③

乙行驶1.5h的路程（t=1.5＞1）：y₂=8×1.5+7=19（km）（2）求路程相等的时间：分情况讨论：①

当0≤t≤1时，令10t=15t，解得t=0，即出发时路程相等②

当t＞1时，令10t=8t+7，解得t=3.5（h）综上，出发后0h（起点）和3.5h时，甲、乙路程相等思维训练（3）判断甲、乙的位置关系：①

当0＜t＜3.5时，取t=1，y₁=10，y₂=15，y₂＞y₁；取t=2，y