【初中数学】三角形内角和定理第4课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用1三角形内角和定理第4课时

多边形的外角和素养目标1.探索多边形的外角和，进一步发展学生简单推理的意识及能力．2.会用多边形的内角和公式解决相关问题．重点：多边形外角和定理的探索和应用．难点：灵活运用公式解决简单的实际问题．导入新课如图,小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时,跑步方向改变的角是哪些角?这节课我们就来探究与这个问题有关的知识.新知探究活动一:明确多边形外角及外角和的定义问题:如图,小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.(1)小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时,跑步方向改变的角是哪些角?在图上标出这些角.如图,跑步方向改变的角是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.(2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角的总和是多少度?说说你的理由,并与同伴进行交流.12345新知探究(2)∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°,∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=180°×5=900°.∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.∴跑步方向改变的角的总和是360°.新知探究如图,延长边CB至点D.像∠ABD这样,在多边形的顶点处,多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,就是多边形的外角.每个顶点只取一个外角,这个外角与相邻的内角是什么关系?互为邻补角,和为180°.新知探究活动:请在你自己画的四边形、五边形上,每个顶点画出一个外角并进行标注.同桌互相检查:是否每个顶点只画了一个外角?外角与内角是否相邻?新知探究四边形、五边形各有几个外角?n边形有几个外角?四边形有4个外角,五边形有5个外角,n边形有n个外角.你能否给外角下一个定义?多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角.如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是五边形ABCDE的外角.你知道n边形有几个外角吗?如图，∠6也是五边形ABCDE的外角,所以n边形有2n个外角.6在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.如图，五边形ABCDE的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.新知探究活动二:探究三角形、四边形的外角和（操作猜想）问题:三角形和四边形的外角和分别是多少?活动:以小组为单位探究三角形、四边形的外角和.选择度量法和剪拼法.三角形、四边形的外角和均为360°.新知探究三角形、四边形的外角和均为360°,那么五边形、六边形、八边形呢?会不会所有多边形的外角和都是360°?活动:以小组为单位进行探究,分析五边形、六边形、八边形的外角和.五边形、六边形、八边形的外角和也都是360°.新知探究活动三:证明三角形、四边形的外角和（逻辑证明）问题:你能证明三角形、四边形的外角和分别是360°吗?三角形的内角和是180°,且每个外角与内角互为邻补角(和为180°),能不能用这两个知识证明三角形的外角和是360°?新知探究如图,设△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C的对应外角分别为∠1,∠2,∠3,则∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B,∠3=180°-∠C.求和得∠1+∠2+∠3=3×180°-(∠A+∠B+∠C)=540°-180°=360°.新知探究你能否模仿三角形的外角和证明过程,证明四边形的外角和?如图,设四边形ABCD的四个内角∠A,∠B,∠C,∠D的对应外角分别为∠1,∠2,∠3,∠4,则∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B,∠3=180°-∠C,∠4=180°-∠D.求和得∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-(∠A+∠B+∠C+∠D)=720°-360°=360°.新知探究五边形、六边形、八边形的外角和,你能证明吗?这种证明方法的关键是什么?将外角和转化为n个邻补角的总和减去内角和的形式,用已知的内角和公式推导未知的外角和,这是转化思想的应用.新知探究活动四:推广到n边形的外角和，总结核心结论问题:n边形的外角和是多少?三角形、四边形、五边形、六边形、八边形的外角和都是360°,那么n边形(n≥3)的外角和呢?是不是也是360°?请大家类比前面的证明方法,尝试推导.猜想：n边形的外角和都是360°.理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是互补的角，它们的和是180°，∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°，又∵n边形的内角和为(n-2)×180°，∴n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°．定理多边形的外角和等于360°.注意：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.新知探究问题:n边形的外角和是多少?多边形的外角和定理:多边形的外角和等于360°.无论n是3,4,5,还是100,n边形的外角和恒为360°,这与多边形的内角和(随n的增大而增大)完全不同.例如,九边形的外角和是360°,十边形的外角和也是360°.新知探究辨析以下说法或结论:①多边形的外角和是所有外角的和.()正解:每个顶点只取一个外角,不是所有外角.②多边形的边数越多,外角和越大.()正解:多边形的外角和恒为360°,与边数无关.××例1一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形?解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得(n-2)·180°=3×360°.解得n=8.所以，这个多边形是八边形.新知探究

活动五:运用新知，例题讲解研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法?

思考·交流转化方法，即将一个多边形转化为多个三角形，由三角形的内角和求多边形的内角和.多边形的外角与和它相邻的内角构成平角，由平角和与内角和求出外角和.跟踪练习

正六边形一个外角的度数为（

B

）A.30°B.60°C.120°D.150°[变式]若正n边形的一个外角的度数是36°，则n＝

⁠.B10

CA.4

B.5

C.6

D.7

课堂练习2.教材例题变式

[2025遂宁中考]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(

)AA.10

B.11

C.12

D.13

3.教材习题变式

若一个多边形的边数增加1，则这个多边形的内角和与外角和增加的度数之和是(

)A

DA.56米

B.64米

C.80米

D.72米

5.

已知一个多边形的每个内角都比相邻的外角大120°，求这

个多边形的边数.解：由题意，知这个多边形的每个内角均相等.设这个多边形的每个外角的度数为x，则每个内角的度数为x＋120°.根据题意，得x＋x＋120°＝180