【初中数学】三角形内角和定理第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用1三角形内角和定理第2课时三角形内角和定理的推论学习目标1．理解掌握三角形的外角的概念，掌握外角的两个定理．2．综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行证明和计算．▲重点三角形外角的两个定理．▲难点灵活运用三角形外角的性质、定理解决问题．导入新课问题:在这些三角形结构中,除了我们之前学过的内角,你还能发现哪些特殊的角?比如,屋顶钢架中,三角形的一条边延长后与另一条边形成的角,它和三角形的内角有什么关系呢?这样的角是三角形的外角,本节课我们就来探讨与三角形的外角相关的内容.新知探究环节一:认识三角形的外角问题:什么是三角形的外角呢?三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角,叫作三角形的外角.如图,就是△ABC的一个外角.外角的一条边是该内角的一边外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线外角的顶点是该内角的顶点新知探究你能在图中画出△ABC的其他外角吗?一个三角形有多少个外角?一个三角形有6个外角.新知探究如图,延长AC到点E,∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?∠ACD与∠BCE有什么关系?∠BCE是△ABC的一个外角;∠DCE不是△ABC的一个外角;∠ACD与∠BCE是对顶角,相等.新知探究在三角形的每个顶点处有多少个外角?每个顶点处的外角有什么关系?在三角形的每个顶点处相对应的外角都有2个,且这2个角为对顶角,相等.新知探究三角形的外角应具备的条件:①角的顶点是三角形的顶点;②角的一边是三角形的一边;③另一边是三角形中一边的延长线.跟踪练习

如图，△ACD的外角是（

C

）A.

∠EADB.

∠BACC.

∠ACBD.

∠CAEC新知探究环节二:探究三角形内角和定理的推论问题:如图,∠1与△ABC的内角有什么关系?∠1=∠2+∠3你能证明你的结论吗?∠1和哪个角组成平角?这个角在三角形中是什么角?三角形的三个内角的和是多少?新知探究已知:∠1是△ABC的一个外角,且∠1与∠4是邻补角.求证:∠1=∠2+∠3.证明:∵∠1与∠4是邻补角,∴∠1+∠4=180°.又∵在△ABC中,∠4+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理),∴∠1=∠2+∠3.推论1——三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.跟踪练习

如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，则∠ACD＝（

B

）A.110°B.100°C.55°D.45°B新知探究推论1——三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.由这个结论,你们还能推出∠1与∠2,∠1与∠3的大小关系吗?∵∠1=∠2+∠3,∴∠1>∠2,∠1>∠3.推论2——三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.跟踪练习

如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是（

B

）A.

∠A＞∠1＞∠2B.

∠2＞∠1＞∠AC.

∠A＞∠2＞∠1D.

∠2＞∠A＞∠1B新知探究环节三:三角形内角和定理推论的应用例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD

//

BC。例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD

//

BC。BAEDC证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，∴∠C=∠EAC。∵AD平分∠EAC，∴∠DAC=∠EAC。∴∠DAC=∠C。∴AD

//

BC。还有其他证法吗？例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。

求证：AD//

BC。BAEDC证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C，∴∠B=∠EAC。∵AD平分∠EAC，∴∠DAE=∠EAC。∴∠DAE=∠B。∴AD

//

BC。例2已知：如图，P是△ABC

内一点，连接PB，PC。求证：∠BPC>∠A。D证明：如图，延长BP，交AC于点D。∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），∴∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。∴∠BPC＞∠A。还有其他证法吗？有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点D，∵∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD，∴∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD，即∠BPC>∠BAC.BACPD例2

已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC.求证：∠BPC>∠A.角度模型飞镖型：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD8字型：∠A+∠B=∠C+∠D1.如图，下列关于外角的说法正确的是(

)D

（1）顶点是三角形的顶点；（2）一条边是三角形内角的一边；（3）另一条边是该内角另一边的反向延长线。课堂练习

D

B

A

C

6.

如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分

∠ABC交AC于点D，E为线段BD上的任一点，连接CE.

（1）求∠BDC的度数；

（2）求证：∠BEC＞∠A.

解：（2）证明：因为∠BDC为△ABD的外角，所以∠BDC＞∠A.

同理可得，∠BEC＞∠BDC，所以∠BEC＞∠A.

6.

如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD平分

∠ABC交AC于点D，E为线段BD上的任一点，连接CE.

7.阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题。