【初中数学】角平分线第1课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用5角平分线第1课时角平分线的性质和判定素养目标1.复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理．2.能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．3.通过探索角平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．教学重难点重点：角平分线的性质与判定的证明及运用．难点：灵活应用角平分线的性质和判定解决问题．导入新课思路一:【生活侦探】问题:警方发现一个可疑信号源,它到两条公路的距离始终保持相等.如果你是侦探,你能在地图上圈出这个信号源所有可能的位置吗?导入新课思路二:【魔术折纸】请拿出一张彩纸,任意画一个角,然后把它对折,让角的两条边完全重合.这条折痕就是角平分线.现在,在折痕上任选一点,给它做个“标记”,然后通过这个点分别向两边“引垂线”.猜一猜,这两条垂线段有什么关系?用直尺量一量,验证一下吧!这两条垂线段相等.新知探究任务一:操作探究，发现与证明角平分线的性质问题:角平分线有什么性质呢?猜想:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.要证明PD=PE,可以转化为证明什么?需证明两个三角形全等.新知探究已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的性质：应用所具备的条件：①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离。定理的作用：证明线段相等OABPDE定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为E，F，∴PE=PF角平分线的性质：OABPDE如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.

若

AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝

⁠.[变式]如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝96

cm2，AB＝20

cm，AC

＝12

cm，则DE的长为

⁠.1

6

cm

跟踪练习新知探究任务二:逆向思考，探究与证明角平分线的判定角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.问题:你能写出上面这个定理的逆命题吗?尝试·思考定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。逆命题它是真命题吗？角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。假命题在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。如何证明？任务二:逆向思考，探究与证明角平分线的判定新知探究已知:如图,点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE.求证:OP平分∠AOB.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,∴∠ODP=∠OEP=90°.∵PD=PE,OP=OP,∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。角平分线的判定：应用所具备的条件：①位置关系：点在角的内部；②数量关系：该点到角的两边距离相等。定理的作用：判断点是否在角平分线上OABPDE定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。角平分线的判定：OABPDE几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上例

如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长．ABCDEF

任务三:例题讲解解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，ABCDEF∴AD平分∠BAC.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°.在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，

1.

在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示

的方式摆放，较短的直角边分别在AB，BC上，较长的直角边

的顶点重合于点P，连接BP并延长，交AC于点D，则下列结

论不一定正确的是（

D

）DA.

BP平分∠ABCB.

AD＝CDC.

BD垂直平分ACD.

AB＝AC跟踪练习2.

如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AB，

DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.

求证：AD是△ABC

的角平分线.证明：∵D是边BC的中点，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD是△ABC的角平分线.新知探究任务四:对比辨析，构建知识体系问题:角平分线的性质定理与判定定理有什么异同?新知探究课堂总结1.我们今天学习了关于角平分线的哪两个重要定理?2.我们是怎样发现并证明这两个定理的?其中蕴含了什么重要的数学思想?3.使用这两个定理的关键分别是什么?它们有什么区别?

BA.8

B.6

C.5

D.4

课堂练习

D

4.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分

∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.

若DE＝1，则

BC的长为（

A

）A.2＋

B.

＋

C.2＋

D.3A

7.

如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分

∠ADC.

（1）求证：AM平分∠DAB；解：（1）证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E.

∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME.

∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME.

又∵∠B＝90°，∴AM平分∠DAB.

（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系，