【初中数学】等腰三角形第3课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用2等腰三角形第3课时

等边三角形的判定和含30°角的

直角三角形的性质素养目标1.学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题．2.理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．3.通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力．重点：等边三角形的判定．难点：等边三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用．导入新课问题:等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.上节课我们学习了等腰三角形的判定方法,那如何判定一个三角形是等边三角形呢?一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?这节课我们就来探究这些问题.新知探究活动一:探究等边三角形的判定定理问题:如何判定一个三角形是等边三角形?活动:小组讨论,回顾等边三角形的定义,并尝试从“边”和“角”的角度提出等边三角形的判定方法的猜想.猜想1,三边相等的三角形是等边三角形;猜想2,三个角都相等的三角形是等边三角形;猜想3,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.定义新知探究(1)证明:三个角都相等的三角形是等边三角形.已知:如图,∠A=∠B=∠C.求证:△ABC是等边三角形.证明:∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.∴△ABC是等边三角形.定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.新知探究(2)证明:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,且有一个角等于60°.求证:△ABC是等边三角形.新知探究

几何语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形定理三个角都相等的三角形是等边三角形。定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)∴△ABC是等边三角形等边三角形的判定等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳：等腰三角形等边三角形边角三条边都相等的三角形是等边三角形两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形两条边相等的三角形是等腰三角形有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.证明等边三角形的思路：三角形等边三角形等腰三角形有一个角等于60°等腰三角形的判定思路1：三边相等思路2：三角相等例1如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB//CD，求证：△OCD是等边三角形.证明：∵∠A=60°,OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠B=60°.∵AB//CD，∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，∴∠COD=60°，∴∠D=∠C=∠COD，∴△OCD是等边三角形.

在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条件后，仍不能判

定△ABC为等边三角形的是（

C

）A.

AB＝ACB.

∠A＝∠BC.

AD⊥BCD.

∠B＝∠CC跟踪练习（教材P23习题T13变式）如图，△ABC是等边三角形，

DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC.

求证：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等边三角形.新知探究活动二:探究含30°角的直角三角形的性质问题1:用两个完全相同的含30°角的三角尺,你能拼成怎样的三角形?能拼成一个等边三角形吗?如图,两个完全相同的含30°角的三角尺,能拼成一个等腰三角形,也可以拼成一个等边三角形.新知探究问题2:在上述拼接过程中,你得到了什么结论?在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?30°角的对边等于三角尺斜边的一半.你能证明你的结论吗?新知探究

新知探究

新知探究

ABCD活动三:运用新知，深化理解

ABCD∴∠ADC=90°.

（教材P18“尝试·思考”变式）一个含30°角的直角三角尺

ABC如图1所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一

个如图2所示的等边三角形.若BC＝6，则AB的长为（

C

）A.3B.

6

C.12D.9C跟踪练习（教材P20随堂练习T2变式）如图，在△ABC中，∠ACB＝

90°，∠A＝30°，CD⊥AB.

若AB＝4，求△ACD的周长.

D

课堂练习

C图

1图

2

BA.6米

B.9米

C.12米

D.15米

B

5.

（教材P23习题T13变式）如图，△ABC是等边三角形，

DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC.

求证：△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等边三角形.6.

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，

AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F.

（1）求证：△AEF是等边三角形；解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABF＝30°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠AEF＝∠BED＝90°－∠CBF＝60°.∵∠AFB＝90°－∠ABF＝60°，∴∠AFE＝∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三角形.6.

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，

AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F.

（2）若AF＝2，求AD的长.

课堂总结1.本节课我们学到了哪些判