【初中数学】等腰三角形第1课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用2等腰三角形第1课时

等腰三角形的性质素养目标1.探索并证明等腰三角形的性质．2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算．3.掌握等边三角形的性质，并能够利用性质解题．4.经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性．重点：1.探索并证明等腰三角形的性质．2.运用等腰三角形和等边三角形的性质进行证明和计算．难点：等腰三角形性质的证明．导入新课什么是等腰三角形?它有哪些特征?有两边相等的三角形是等腰三角形,它有两条边相等的特征.导入新课除了两边相等,等腰三角形还有哪些性质?比如,按照如图所示的折纸活动,你发现它的两个底角有什么关系?底边上的中线、高线、顶角的平分线之间又有什么关系?请同学们猜想一下.它的两个底角相等;三条线好像重合.这些都只是我们的猜想,我们的猜想对不对呢?如何用最严谨的数学逻辑来验证这些猜想?这就是今天要学习的内容.新知探究环节一:证明等腰三角形的性质——等边对等角问题:你能证明“等腰三角形的两个底角相等”这个猜想吗?已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.要证明两个角相等,我们学过哪些结论?全等三角形、平行线等,目前没有平行线,所以构造全等三角形是首选.新知探究已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.如何构造全等三角形?回想折纸的过程,那条折痕给了我们什么启示?折痕将等腰三角形分成了两部分.作法一:作底边BC的中线AD.作法二:作顶角∠A的平分线AD.作法三:作底边BC上的高AD.新知探究已知:如图,在△ABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C.证明:如图,取BC的中点D,连接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).用另外两种作辅助线的方法能否证明?为什么?新知探究定理:等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为“等边对等角”.符号语言:在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).新知探究环节二:探究等腰三角形的性质——三线合一在上面的证明中,得出△ABD≌△ACD,除了∠B=∠C,还能得到哪些结论?BD=CD,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.由此,你发现了什么?等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合.新知探究若已知AD是△ABC的顶角平分线,你能否用符号语言表达推出AD是底边上的高和中线的过程吗?若已知底边上的高或中线呢?①∵AB=AC,∠BAD=∠CAD(已知顶角平分线),AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SAS).∴AD⊥BC,BD=CD(即高、中线).新知探究若已知AD是△ABC的顶角平分线,你能否用符号语言表达推出AD是底边上的高和中线的过程吗?若已知底边上的高或中线呢?②∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD⊥BC(已知高),∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴BD=CD,∠BAD=∠CAD(即中线、顶角平分线).新知探究若已知AD是△ABC的顶角平分线,你能否用符号语言表达推出AD是底边上的高和中线的过程吗?若已知底边上的高或中线呢?③∵AB=AC,BD=CD(已知中线),AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD(即高、顶角平分线).等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.ABCD符号语言：在△ABC中，∵AB=AC，∠1=∠2(已知)，∴BD=CD，AD⊥BC(“三线合一”).或∵AB=AC，

BD=CD(已知)，∴∠1=∠2，AD⊥BC(“三线合一”).或∵AB=AC，

AD⊥BC(已知)，∴BD=CD，∠1=∠2(“三线合一”).12ABCD

已知等腰三角形的顶角的度数是30°，则它的底角的度数是

（

D

）A.60°B.65°C.70°D.75°[变式]（2024·湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，

则它的顶角的度数为

⁠.D100°

跟踪练习有关等腰三角形性质的一些结论(1)等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.

(2)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(3)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半.

新知探究环节三:探究等边三角形的性质等边三角形是特殊的等腰三角形,那么它除了具备等腰三角形的所有性质外,还有哪些特殊的性质呢?三个角都相等.如何证明这个猜想呢?能得出每个角等于多少度吗?利用“等边对等角”进行证明、推理:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=BC,

∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.再根据三角形内角和定理,得出每一个角等于60°.定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.新知探究等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合.BCA等腰三角形等边三角形边角三线合一对称性每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条)三个角都相等，且都是60°轴对称图形(3条对称轴)轴对称图形(1条对称轴)两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)两腰相等三条边都相等等边三角形与等腰三角形的性质归纳

如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，

∠1＝40°，则∠2的度数为（

C

）A.100°B.90°C.80°D.60°C跟踪练习

如图，在等边三角形ABC中，AD，BE是△ABC的两条中

线，则∠AOB的度数为

⁠.120°

D

课堂练习

B

C

D

5.

如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC延长线上一点，

E为CA延长线上一点，且AE＝DC，连接AD，BE.

求证：

BE＝AD.

证明：∵在等边三角形ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°.在△EAB和△DCA中，∵AE＝CD，∠EAB＝∠DCA，AB＝CA，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD.

课堂总结1.我们是怎样研究等腰三角形的性质的