对数函数知识点总结 (二)

对数函数

（一）对数

1.对数的概念:一般地,如果/=N（4>0,4工1）,那么数X叫做以G为唇N的对数，记作：X=log.N

（〃一底数，N—真数，log.N一对数式）

说明：①注意底数的限制。>0,且

②a"=N。log。N=x；

③注意对数的书写格式.

两个重要对数：

①常用对数：以10为底的对数lgN；

②自然对数；以无理数e=2.71828•一为底的对数的对数InN.

（二）对数的运算性质

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么:

①log“（M•N）=log“M+logaN：

②bg“7og“N：

③log”M"=nlog“M（nGR）.

注意：换底公式

log4b=b（。>0,且awl；c>0,且col；b>0）.

log一

利用换底公式推导下面的结论

⑴logZ>n=—logab;（2）log”b=—1—.

“mlog’,。

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数y=lcgax（a>0,且awl）叫做对数函数，其中x是

自变量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y=21og,x,y=logs|都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

②对数函数对底数的限制：（a>0,

2、对数函数的性质：

a>l0<a<l

-

■

1

01Q

定义域x>0定义域x>0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都函数图象都过定点

过定点（1,0）（1,0）

对数函数-例题解析

例L求卜•列函数的定义域:

2

(1)y=log"/；(2))，=log“(4-N)：(3)y=log<;(9-x).

解：(1)由小可得人工0,.•.函数y=bgax2的定义域是｛Mx。。｝；

(2)由4-x>0得x<4,，函数)，=log/4-x)的定义域是｛x|x<4｝；

⑶由9一胃〉()得-3vxv3,・•・函数)，=叫0(9-/)的定义域是何-3C<3｝.例2.求函

数y=(E)-2和函数y=(g)+2。<0)的反函数。

(1丫

解：(1)-=y+2・••广(x)=log](x+2)(x>-2)：

5

(I________5

<2)-j=y-2：./■,i»=-^log^(x-2)(2<x<-).

例4.比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4,log28.5；(2)log031.8,log0J2.7；(3)log“5.1,log(J5.9.

解：(D对数函数y=log2K在(0,+8)上是增函数,于是Iog23.4<log28.5；

(2)对数函数y=logo3「在(。,+8)上是减函数，于是10go.3L8>logoj2.7：

(3)当时，对数函数y=log”x在(0,+8)上是增函数，于是log”5.1<log05.9,

当o<avl时，对数函数y=log。X在(0,+8)上是减函数,于是log。5.1>log.5.9.

例5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log67,log?6；(2)log,/r,log?0.8；

09

(3)1.1,10gli0.9,log。70.8；(4)log.3,log63,log73.

解:(1)Vlog67>log66=1,log76<log77=1,log67>log76；

(2)Vlog5n>log31=0,log20.8<log21=0,log5n>log20.8.

09

(3)Vl.l>1.1°=1,logL10.9<log,j1=0,0=log071<log070.8<log070.7=1,

1.1°9>10go；0.8>10g)]0.9.

(4)0<log35<log36<log.",log53>log63>log73.

例7.求下列函数的值域：

22

(1)y=log2(x+3)：(2)y=log2(3-x)：(3)y=log^/x-4x+7)(4>0且〃/1).

解：(1)令，=x+3,则y=log2l，Vr>0,：.yeR,即函数值域为R.

(2)令f=3-则0vY3,/.y<log,3,即函数值域为(-oojog23].

(3)令-4工+7=*-2了+323,当时，y210g“3,即值域为[log,3,+8),

当0<avl时，y<log,3,即值域为(-oo,log“3].

例8.判断函数/(X)=log2(+]-X)的奇偶性。

2

解：：&+1>X恒成立，故/(.X)的定义域为(-8,+oc),f(-x)=log2(Vx+1+X)

n,~~___

1A+2

=-log2■,——=-log,,——=-log2y/x+\-x=-/(x),所以，/(X)为奇函数。

\jx2+1+x(\Jx2+V)2-x2

例9.求函数)，=21og](V—3x+2)的单调区间。

3I33

解：令〃=/一3工+2=（工-5）2-1在［5，+00）上递增，在（TO,］］上递减，

又TX?—3x+2>0,x>2idex<1,

故〃=/-3x+2在（2,+8）上递增，在（一8,1）上递减，又<y=21og］〃为减函数,

所以，函数），=2唾］（丁一3x+2）在（2,*c）上递增，在（一8,1）上递减。

3

例L0.若函数y=-log式V-ax-a）在区间（一8,1-e）上是增函数，。的取值范围。

解：令”=冢汇）=/一3一。，:函数y=-log2〃为减函数,

；・M=g（X）=V一好一。在区间（-8/-JJ）上递减,且满足〃>0,

g(l-G)“

2-2y/3<a<2,

所以，。的取值范围为［2-2后,2］.

（2）求函数y=/q----：（a>0,且a#1）的定义域.

Vi-log/x+a）

（3）已知函数f（x）的定义域是［0,1］,求函数y=niog1（3—x）］的定义

、

3x-2x-l

--；W0

2x-1

2x-1

3x-21-2

解(1)由>0=>(3x-2)(2x-l)>0=>-xV不或x>-n

2x-lX0xW；

7<x<1

122

x<孑或x>-=>-VxW1

x#5

2

・•・所求定义域为{x「VxWl}

J

解(2)V1-loga(x+a)>0,loga(x+a)<1.

当a>l时，OVx+aVa,•••函数的定义域为(-a,0).

当OVaVl时，x+a>a,・•.函数的定义域为(0,4-~).

解(3)一的0的定义域为[0,1],•••函数丫="1(g(3—x)]有意义,

3

必须满足OWlog](3—x)Wl,即log]iWlog](3—x)Wlog]；,...gw?一

3333jj

oo

xWl,・・・2WxW§.故函数y=l[k)gi(3-x)]的定义域为[2,-].

10'

【例2】已知函数丫=不看，试求它的反函数，以及反函数的定义域和值域.

x

解已知函数的定义域为R,=10'由丫=为107得

(l-y)10x=y,.*.10x=-^->0=>0<y<l,即为函数的值域.

i-y

由10'==得X=lg4,即反函数己(刈=修白.

1-y1-y1-x

反函数的定义域为(0,1),值域为y£R.

【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间.

(l)y=lg(—x)(2)y=log2lx+l|(3)y=|log((x—1)|,(4)y=log2(l—x).

解（Dy=lg（—x）的图像与y=lgx的图像关于y轴对称，如图2.8—3所示，单调减区间

是（…，0）.

解（2）先作出函数y=log2lx|的图像，再把它的图像向左立移1个单位就得y=log2lx+

1|的图像如图如8—4所示.

单调递减区间是（-8,-1）.单调递增区间是（-1,十8）.

解（3）把y=log|X的图像向右平移1个单位得至Ijy=log।（x—1）的图像，保留其在x轴及x轴上方

22

部分不变，把X轴下方的图像以X粕为

对称轴翻折到X轴上方，就得到y二|log|（x—l）|的图像.如图2.8-5所示

单调减区间是（一1,2].单调增区间是[2,+8）.

解（4）；•函数y=log2（-x）的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称，故可先作

y=log2（-x）的图像，再把y=log2（—x）的图像向右平移1个单位得到y=log2（l—x）的图像.如

图2.8—6所不.

单调递减区间是（一8,1）.

图2.8-6图2.8-7

【例4】图2.8—7分别是四个对数函数，①y=logaX②y=logbx③y=logcX④y=logdx的图像，那

么a、b、c、d的大小关系是[]

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.b>a>d>cI）.b>c>a>d

解选C,根据同类函数图像的比较，任取一个x>l的值，易得b>a>l>d>c.

【例5】已知Ioga3>logb3,试确定a和b的大小关系.

解法一令y]=logaX，y2=logbx，••TogaX>logb3,即取x=3时,yj>y2，所以它们的

图像，可能有如下三种情况：

(1)^loga3>logb3>0B^,由图像2.8-8,取x=3,可得b>a>L

(2)当0>loga3>logb3时，由图像2.8—9,得OVaVbVl.

(3)当Ioga3>0>】ogb3时,由图像2.8-10,得a>l>b>0.

ab

【例6】®a2>b>a>l,则loga；;、logb-、logba、logab的大小顺序是:

ba

abab

解Va2>b>a>l,AO<-<1,->LAlog-<0,log->

babba

0,0<logba<1,log;ib>1.由a?>b>a>1得a>R>1；.logb°VlogbaV

aa

wab

1,故得：log“T<logb-VlogbaVlog“b.

ba

【例8】已知函数f(x)=log“(x+Jl+x?)(a>0,且aWl),判断其奇偶性.

解法一己知函数的定义域为R,则一x£R

2

f(—X)=loga(71+X—x)

(Jl+x2-X)(A/|+X2+x)

=嘀—TTT——

1+x2-x2

=嘀r---—

V1+X+X

=k)gaR---T-

Vl+xz+x

2

=-loga(Vl+x+x)=-f(x)

(x)是奇函数.

解法二已知函数的定义域为R

由f(x)+f(—x)=log“(VI+x2+x)+log(，l+X2-x)

22

=loga[(Vl+x+x)(Vl+x-x)]

=logal=0

Af(x)=-f(x),即f(x)为奇函数.

单元测试

一、选择题(每小题5分，共50分).

1.对数式logo_2(5-a)=〃中，实数a的取值范围是)

A.(-»,5)B.(2,5)C.(2,+00)D.(2,3)U(3,5)

2.如果lgx=lga+31gb—51gc,那么)

3ab「abD.x=a+b3-c3

A.x=a+3b—cB.x=----C.X=­r

5c

设函数y=lg(x2-5x)的定义域为M,

3.函数y=lg(x-5)+lgx的定义域为N,则()

A.MUN=RB.M=NC.MoND.McN

4.若a>0,b>0,ab>l>log)a=1n2,则1cgab与logj。的关系是()

22

A.logab<log,aB.logab=fog,a

C.logab>logjaD.logabWlog]a

若困数Iog2(kx2+4kx+3)的定义域为R,则k的取值范围是

5.()

A-B.C.°-4D.

6.下列函数图象正确的是)

ABCD

7.已知函数g(x)=/*)---!—,其中log2f(x)=2x,xGR,贝ijg(x：()

fW

A.是奇函数又是减函数B.是偶函数又是增函数

C.是奇函数又是增函数D.是偶函数又是减函数

9.如果y=log2a-ix在(0,+8)内是减函数，则a的取值范围是()

A.Ia|>1B.Ia|<2C.a<-V2I).1<|^<V2

10.下列关系式中，成立的是()

B.bg,0g)>%4

A.log34>logj10

(1]D.log,10>Iog34>^

C.log34>log110>^—

二、填空题：(每小题6分，共24分).

11.函数)，=JogJ2—/)的定义域是一，值域是

方程log(2x+l)log(2x+1+2)=2的解为.

12.22

13.将函数)，=2、的图象向左平移一个单位，得到图象G,再将G向上平移一个单位得到图象C2,作出

皂关于直线y=x对称的图象C”则C3的解析式为.

14.函数y=log1(/+4x—12)的单调递增区间是.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).

r4-1

15.(12分)已知函数/(X)=log2-——+log2(x-l)+log2(p-x).

x-\

(1)求函数f(x)的定义域：(2)求函数f(x)的值域.

16.(12分)设x,y,z£lf,且3、=4丫=62.

(1)求证:-...-=—;(2)比较3x.4y.6z的大小.

zx2y

17.(12分)设函数/(幻=电。+)/+1)

(1)确定函数f(x)的定义域:

(2)判断函数f(x)的奇偶性：

（3）证明函数f（x）在其定义域二是单调增函数:

（4）求函数f（x）的反函数.

18.现有某种细胞100个，其中有占总数,的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种

2

规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：1g3=0.477,1g2=0.301:.

20.（14分）已求函数y=loga（x-x2）（a>o,〃w]）的单调区间

必修1数学章节测试（7）—第二单元（对数函数）

一、DCCABBDBDA

二、11.（-V2—l]u[1,^2）,[0,+co）；12.0；13.y=log2（x—1）—1：14.（—oo,—2）：

三、

15.解：（1）函数的定义域为（1,p）.

⑵当p>3时，f（x）的值域为（-8,210g2（p+l）—2）；

当lVp«3时,f(x)的值域为(-8,i+log2(p+l)).

16.解：(6设3'=4丫=62=匕Vx>0,y>0,z>0,At>l,lgt>0,

困,Z=如

x=log3/=

lg3lg4lg6

/.I_l=^_lg3=lg2=_lg4_=_!_

zxlg/lg/lg/21g/2y

(2)3x<4y<6z.

17.解：（1）由卜+42+1>0得x£R,定义域为R.（2）是奇函数.（3）设xi，X2ER,且xi〈x2,

Ix2+1>0

则〃K)-g=忙令"X+V77T,

X2+yjx2+1

则/］一=(A-l++1)-。2+Jx：+1)•

=(A|-X2)+Qx；+1-Jx；+1)

(X,-X)(X+.¥,)

-2i

(Xj-x2)+

Jr；+1+1

Vxi—x2<0,Jx；+i+*>0,4x；+1+x2>0,Jx：+i+Qx；+1>0,

Ati—12<0,.*.0<11<12»»*•0<—<1♦

r2

Af（xj）—f（X2）<lgl=o,即f（XI）<f（X2），•'•函数f（X）在R上是单调增函数.

（4）反函数为丫=空二l（xWR）.

210“

18.解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，

1小时后，细胞总数为■LxlOO+」xlOOx2=3xlOO；

222

2小时后，细胞总数为L3xlOO+L?xlOOx2=2xlOO：

22224

3小时后，细胞总数为_Lx2xlOO+，x2x|OOx2=NxlOO：

24248

4小时后，细胞总数为_Lx0xl3O+L*xlOOx2=刈xlOO；

282816

可见，细胞总数y与时间K（小时）之间的函数关系为：），=ioox（£pxeN，