对数函数知识点总结

对数函数

（一）对数

1.对数的概念:一般地，如果优=N（"O,”1）,则数x叫做

以。为底的对数，记作：（—底数，—真数，

*♦♦Nx=log,NaNlog“N

-对数式）

说明：注意底数的限制"0,且g1;

ax=N=log“N=x;

注意对数的书写格式.

两个重要对数：

常用对数：以10为底的对数IgN;

自然对数：以无理数”2.71828…为底的对数的对数InN.

（二）对数的运算性质

如果。>0,且"1,M>0,N>0,则：

log〃（M•N）=log“M+log〃N;

M

loga/=bg“M—logqN;

bg“M"=nlogaM（w€/?）.

注意：换底公式

log,b

(a>0,且awl;

log,”

c>0,且cwl;Z?>0).

利用换底公式推导下面的结论

⑴*心篦力；⑵log小康

（二）对数函数

1、对数函数的概念:函数y=log.x（a>0,且"1）叫做对数函

数，其中工是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，

注意辨别。如：），=2kgx,£都不是对数函数，而只能称

y=Iogs5

其为对数型函数.

对数函数对底数的限制：a>0,且"1）.

上递增减

函

数

图

象

都函数图象

过都过定点

定

(1,0)

点

1

L

O)

对数函数•例题解析

例L求下列函数的定义域：

2

(1)y=logwx;(2)>'=log/4-x);(3)y=log“(9-/)・

解：(1)由『>0得力0,・,・函数y=的定义域是{小工0};

(2)由4-x>0得工<4,・，.函数y=loga(4-x)的定义域是

{小<4};

(3)由9--->0得-3Vx<3,J函数y=log.(9-Y)的定义域

是{x|-3<x<3}.例2.求函数y=([)-2和函数y=(g+2(x<0)的

反函数。

解：(1)-=y+2・••尸(x)=log](x+2)(x>-2);

\5J5

/1、L+]J5

(2)匕=y-2/./'1(x)=-/logi(x-2)(2<x<-).

例4.比较下列各组数中两个值的大小:

(1)log23.4，log28.5;(2)log031.8，log,,32.7;(3)log“5.1,

log“5.9.

解：(1)对数函数)，=log2.x在(0,+8)上是增函数，于是

log?3.4<log,8.5;

(2)对数函数y=log03x在(0,+8)上是减函数，于是

log031.8>log032.7;

(3)当时，对数函数y=log.x在(0,+8)上是增函数，于是

log„5.1<log,5.9,

当ova<1时，对数函数y=log.x在(0,+oc)上是减函数，于是

loga5.1>logfl5.9.

例5.比较下列比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log67,log76;(2)log37T,Iog2().8;

(3)1.1°3log,,D.9,log070.8;(4)logs3,log63,

log73.

解：(1)*.*log67>log66=1,log76<log77=1,/.log67>log76;

(2)*/log,乃>log51=0,log20.8<log,1=(),log37t>log?0.8.

O9

(3)*.*1.1>1.1°=1,log,,0.9<log,(1-0,

0=log071<log070.8<log070.7=1,

09

/.l.l>log()70.8>log110.9.

(4)*.*0<log35<log36<log37,/.

Iog53>iog63>log73・

例7.求下列函数的值域：

22

(1)y=log2(x+3);(2)y=log,(3-x);(3)y=lcgrt(x-4x+7)(a>()且

a^\).

解：(1)令，=x+3,则y=log2，,*//>0,/•yeR9即函数值

域为R.

(2)令r=3-F则o<Y3,Aj<log23,即函数值域为

(-a>,log,3J.

>22

(3)4r=x-4x+7=(x-2)+3>3,当时，y>IogH3,

即值域为[log”3,+8),

当0<。<1时，y<logu3,即值域为(flogj].

例8.判断函数J(x)-log?(y/x24-1-A)的奇偶性。

解：*/6+1X恒成立，故f(x)的定义域为(-00,4<O),

f(-x)=log2(&+1+X)

rj.~~____

2

log?I,-=Tog2/：+7、=-10g2xlx+\-X=-f(x),所

Vx+1+x(\jx~+\y-x~

以，/(x)为奇函数。

例9.求函数y=21ogG2_3x+2)的单调区间。

解：令〃=f_3/+2=(工-3)2」在巨+00)上递增，在(-00,3］上递

2422

减，

又丁x2-3x+2>(),I.x>2或工<1,

故”=大2一3%+2在(2,+8)上递增，在(-8,1)上递减，又;

y=21og|“为减函数,

3

所以，函数y=2log,，—3x+2)在(2,+oo)上递增，在(~oo,1)上递减。

3

例10.若函数、=-唾2*2一分一〃)在区间(一30,1—6)上是增函数,

〃的取值范围。

解：令〃=g(x)=./-ov-a,,函数y=-log2”为减函数，

.•・〃=g(x)=x2一⑪一。在区间(一8/一途)上递减，且满足〃

->1-^曰「

-2,解得2-2限a«2，

8(1-6)20

所以，♦的取值范围为［2-2月,2］.

解(2)・.・1—(x+a)>0,A(x+a)<l.

当a>l时，OVx+aVa,・,•函数的定义域为(-a,0).

当OVaVl时，x+a>a,・,•函数的定义域为(0,+^).

【例2】已知函数丫=言记，试求它的反函数，以及反函数的定义域和值域•

反函数的定义域为(0,1),值域为y£R.

【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间.

（1）（—X）（2）2+1I（3）y=|log,（x-l）|,（4）y=log2（l-x）.

2

解（1）（一X）的身像与的图像关于y轴对称，如图2.8-3

所示，单调减区间是（一8,0）.

解（2）先作出函数2的图像，再把它的图像向左平移1个

单位就得y=2+l的图像如图2.8—4所示.

单调递减区间是（一8,-1）.单调递增区间是（-1,+-）.

解（3）把y=bg|X的图像向右平移1个单位得到y=log1（x-l）的图像，保留

22

其在X轴及X轴上方部分不变，把X轴下方的图像以X釉为

对称轴翻折到X轴上方，就得到y=|k）g|（x—1）|的图像.如图2.8-5所示

单调减区间是（一1,2].单调增区间是[2,+8）.

解（4）・・•函数2（—X）的图像与函数2X的图像关于y轴对

称，故可先作2（—x）的图像，再把y=2（—x）的图像向右平移1

个单位得到2（1—x）的图像.如图2.8—6所示.

单调递减区间是（一8,1）.

【例4】图2.8—7分别是四个对数函数，①②③④的图

像，则a、b、c、d的大小关系是[]

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.b>a>d>cD.b>c>a>d

解选C,根据同类函数图像的比较，任取一个x>l的值,

易得b>a>l>d>c.

【例5】已知3>3,试确定a和b的大小关系.

解法一令yh)2V>3,即取x=3时，yi>y2,所以它

们的图像，可能有如下三种情况:

(1)当3>3>0时，由图像2.8-8,取3,可得b>a>L

(2)当0>3>3时,由图像2.8-9,得OVaVbVL

(3)当3>0>3时，由图像2.8-10,得a>l>b>0.

【例6】^a2>b>a>l,则logU、心跳匚、logba、log般的大小顺序

,ba

是：・

【例8】已知函数f(x)=log<x+J1+X?)(a>0,且a*l),判断其奇偶

性.

解法一已知函数的定义域为R,则一x£R

・・・f(x)是奇函数.

解法二已知函数的定义域为R

1=0

Af(x)=-f(x),即f(x)为奇函数.

单元测试

一、选择题(每小题5分，共50分).

1.对数式1呜.2(5-。)=6中，实数a的取值范围是

()

A.(-ao,5)B.(2,5)C.(2,+oo)D.(2,3)U(3,5)

2.如果3—5,贝J

()

A.3b-cB.x~C.x=^-D.3

5cc5

一13

3.设函数(x2—5x)的定义域为M,函数(x—5)的定义域为N,

则()

A.MUB.C.nD.c

4.若a>0,b>0,>1,log1«2,则与log/的关系是

22

()

A•Vlog]aB.log]a

C.>log]aD.Wlog]

5.若函数2(2+43)的定义域为R,则k的取值范围是

()

A.’0制B.0,()C.D.(y,0]U([,+oo)

6.下列函数图象正确的是

()

ABC

7.已知函数g*)=/(力-二工，其中2f(x)=2x,J则g(x)

/(-V)

()

A.是奇函数又是减函数B.是偶函数又是增函数

C.是奇函数又是增函数D.是偶函数又是减函数

9.如果%—lx在(0,+8)内是减函数，则a的取值范围是

()

A.IaI>1B.IaI<2C.a<-V2D.1<|«|<V2

10.下列关系式中，成立的是

)

if

A.log,4>>logi10B.lOg110>

5J3

C.log54>log,D.log110>log54>—

Ik

二、填空题：(每小题6分，共24分).

11.函数)，=’%(23)的定义域是,值域是.

12.方程2(21)2(21+2)=2的解为.

13.将函数)，=2,的图象向左平移一个单位，得到图象G,再

将G向上平移一个单位得到图象G,作出G关于直线对称的图

象C3,则C3的解析式为.

14.函数log।+4汇-⑵的单调递增区间是.

2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共

76分).

15.(12分)已知函数/(x)=k)g,£^+log,(x-l)+k)g,(p-x).

-x-1

(1)求函数f(X)的定义域；(2)求函数f(x)的值域.

16.(12分)设x,v、z£,且346Z.

(1)求证：，」=上；(2)比较3x,4y,6z的大小.

zx2y

17.(12分)设函数/⑶=lg(x+&+1)

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数;

(4)求函数f(x)的反函数.

18.现有某种细胞100个，其中有占总数!的细胞每小时分裂

一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过

多少小时，细胞总数可以超过血。个？(参考数据：

1g3=0.477,1g2=0.301).

20.(14分)已求函数)，=啮。-，)(00"])的单调区间.

必修1数学章节测试(7)—第二单元(对数函数)

、

二、11.(-V2-1]U[1,V2),[0,-BX);12.0;

13.y=log2(.r-l)-l;14.(-co-2);

三、

15.解：(1)函数的定义域为(1,p).

⑵当p>3时,f(x)的值域为(—8,22(1)-2)；

当l<p<3时，f(x)的值域为(一8,12⑴).

16.解：(1)设346.Vx>0,y>0,z>0,At>l,>0,

・・・，_，=殴_骰=幽=妇=_1.

zxIg，Igrlg/2lgr2y

(2)3x〈4yV6z.

17.解：(1)由卜+J?内得x£R,定义域为R.(2)是奇函

x2+1>0

数.(3)设xl，X2《R,且X]VX2,

则川=「户偿・令，

x2+J芍+1

则/,-t2=(内+Jx：+1)-(x2+"甘+1).

一(A|—A,)+(Jx；+1_Jx；+1)

(*--G)(X|+w)

(X]-x)+

2Jx：+1+Jx；+1

二(芭-x2+1+Jx；+1+%]+,v2

Jx：+1+&+1

•x1x20,JK；+1+A-I>o,Jx；十i十“a>o，,玉~十।十J十1>o,

.\tl—12<0,/.0<tl<t2，.*.0<^-<l,

t?

・・・f(xl)-f(x2)<l=0,即f(xl)<f(x2),・•.函数f(x)

在R上是单调增函数.

(4)反函数为"W(e).

210v

18.解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的

细胞总数，

1小时后，细胞总数为LlOO+LlOOxZuNxlOO；

222

2小时后,细胞总数为LX3X1OO+，X3X1OOX2=2X1OO；

22224

3小时后,细胞总数为\，100+」然［00乂2=0乂100；

24248

4小时后,细胞总数为4%［00+口2100乂2=肛乂［00；

282816