导数的应用一教案

教学过程

第十一讲导数的应用（一）

适用学科数学适用年级高三（文）

课时时长（分

适用区域通用120

钟）

函数的单调性及导数；函数的极值及导数；函数的最大

学问点

（小）值及导数

1.理解函数单调性和导数的关系；能利用导数探讨函数的

单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超

过三次）・

教学目的

2.理解函数在某点获得极值的必要条件和充分条件；会用

导数求函数的极大值、微小值（其中多项式函数一般不超

过三次）.

教学重点利用导数求函数的极值•最值；含参数问题

教学难点利用导致求函数的极值，最值；含参数问题

一、学问讲解

考点/易错点1函数单调性及导数的关系

在某个区间（〃,力）内，假如（（幻＞0，那么函数y=/（x）在这个区间内

单调递增;

假如ruxo­那么函数），=/（x）在这个区间内单调递减。

留意：对于可导函数来说，在某个区间内/是），=/"）在这个

区间内为:曾函数的充分不必要条件。

考点/易错点2函数的极值及导数

若一“满意（（工0）=0,且在/的两侧/（X）的导数异号,则凡是一（））的

极值点，一禺）是极值，并且假如:*）在与两侧满意〃左正右负〃，

则X。是/（外的极大值点，/（/）是极大值；假如尸（x）在口两侧满意

〃左负右正",则/是/（X）的微小值点是微小值。

考点/易错点3函数的最值及导数

若/（X。）为单峰函数，即在定义域内只有一个极值点«则该点可转

化为最值

求最值步骤及定义：求函数），=/（©在E勿内的最值

①求函数＞=/（A）在阿勿内的极值

②将函数），=/。）的各极值及端点处的函数值/S）JS）比拟,其中

最大的为最大值，最小的为最小值

二、例题精析

【例题1】

【题干】函数/（X）的定义域为开区间（4。），导

yy=f'（x）

9

\八/\

\\/\\F/、b

3J

6

函数（（X）在（见〃）内的图象如图所不，则函数/（X）在（4,/?）内有微小值点

共有（）

A・1个B-2个C・3个D・4个

/（X）7板大微小Z

此时f（x）在（0,制三1）上单调递增，在

（伫五三,”土豆）是上单调递减，在（W、y）上单

222

调递增•

【例题3】

【题干】已知函数f*)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x♦R),其中〃wR

(I)当〃=0时•求曲线)=在点(1J⑴)处的切线的斜率；

(口)当〃工：时，求函数/*)的单调区间及极值•

【答案】(I)3e；

(n)当〃>2时,

3

/(X)在(-0,-2〃),(〃一2,y)内是增函数•在(一24〃-2)内是

减函数，/3)极大值为/(-2〃)=3叱-2"，微小值为

/(〃-2)=(4-3〃)/-2；

当〃<2时，

3

/(x)在(Yo,a-2),(-2a,+oo)内是增函数,在(〃-2,-2。)内是

减函数，/a)极大值为八。-2)=(4-3°)尸,微小值为

f(-2a)=3ae-2a；

【解析】(I)当a=0H寸，/(幻=/夕］/(()=(/+2©/,故f⑴=3e.

令/(幻=(),解儆=一2々，或1=。-2由。工1知,一2。工。一2.以二分

两种状况探讨•

(1)若a>2，则-2〃<a-2•当x改变时，/,(X),/⑶的

3

改变状况如下表:

X(-8,-2a)—2a(-2a,ci—2)a-2(a-2,+oo)

f'M+0—0+

极大微小.

f(x)/

值值

（2）若a<2.则一2a>a-2•当x改变时，,/。），/⑶的

3

改变状况如下表：

X(-co,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2小+8)

f'M+0—0+

极大微小

/

值值

【例题4】

【题干】已知函数/（工）=/+奴2+工+16GR。

（I）探讨函数/（X）的单调区间；

（n）设函数/⑴在区间卜■!，-；）内是减函数•求。的取值范围

【答案】（［）/1X）在［-0,士五三］，+'上单调递

增，

在（土叵卫公巨］上单调递减;（U）

33

7

—,4-00

4

【解析】(I),.，/(x)=x3+ar2+x+l「.・/。)=31+2依+1。

当/W3时,AW。，，f，(x)20'(x)在R上单调递

增；

当〃2>3时，f\x)=0*由3/+2依+1=0.

得两根为及2=—〃±n

-a+\ja2-3

可得/(x)在上单

调递增

在［菩旦普二］上单调递减。

一“一Y47V乙

(n)方法一：依据题意，由(工)得3、3

目/>3

解得心丁所以实数〃的取.值范围是

7

—,+00

4

方法二：函数在区间12,-4内是减函数，

I33)

所以导函数尸(x)=3d+2区+1W0在区间1上

恒成立•

广(-|)=3x(一|尸+2〃x(—|)+1W0

则得任

>2

/(-1]=3X(-1)+267X(-1)+1<0

\.JJJJ

所以实数。的取值范围是+8）。

【例题5】

【题干】已知函数=-a)x2-a(a+2)x+b(a,bwR),

（I）若函数/（x）的图象过原点•且在原点处的切线斜率

是-3•求的值；

（口）若函数/（x）在区间（-1,1）上不单调，求〃的取值范围•

•••

【答案】（I）b=0,〃=一3或。=1；

（口）—5<ci<—^6—<ci<\

22

【解析】（I）庄题意得/（%）=3度+2（1-〃）工一°（4+2）

/(0)=Z?=0

，解得〃=0,〃=_3或〃=1

/'(0)=—。(。+2)=—3

（n烟数/“）在区间（-1,1）不单调等价于函数/⑴在（-11）

上有极值，

等价于一（X）=0在（-M）上有不等的实根

方法一：①在（T』）上存在两个不相等的零点，

A=4(f/-l)2+I26z(f/+2)>0解得一1<〃<」或

/⑴>0

②在上存在一个不相等的零点，则依据零点存

在定理

有尸(一1)尸⑴<0，

即：[3+2(1-f/)-a(a+2)][3-2(1-a)-a(a+2)]<0

整于里彳导：(。+5)(。+1)(。一1尸<01负率*(导一5v〃<—1

③当/(-1)=0日寸fa=±\此时另一个零根为1或一!"

.•.当〃=-1时(-1,1)上存在一个零点-;；当/⑴=0时，

。=-5或1，

此时另一个零根为-5或-1，上不存在零点。

综上所述，-5<〃<二或」<〃<]

22

方法二：f(x)=[3x+3+2)](x-a)=0两个零根为

X=a,x2=

因为函数/a)在区间不单调，则“工一丁或

-1<6Z<1

。+2

。工-----

3

,a+2.

-1<-----<1

3

1二T，所以-5<〃一；或

ciw―—P.

解得2或■

-5<〃<1

-1<.<]

2

【例题6】

【题干】已知函数/(x)=xlnx•

(工)求/(x)的最小值；

(n)若对全部都有八幻之公一，务实数。的取值范围•

【答案】(I)-1；(□)(-00,1]

e

【解析】(I)的定义域为(0,+8)(x)的导数/")=l+lnx,

令/"(x)>。，解得；令f\x)<0,解得Ovxvl•

ee

从而/(X)在(0,j单调递减,在(J+8)单调递增.

所以，当X」时,八用获得最小值」•

ee

(n)解法一:令g(x)=/(jc)-(dx-i)1则

短(幻==]_〃+lnx，

①若，当x>lB寸,gr(x)=}-a+\nx>\-a>0,

故g(X)在(1,+8)上为增函数,所以，时»

^(X)>^(l)=I-<7>0-

a1

②若a>l，方程g，(x)=O的根为x0=e,

此时，若X£(l,x0),则g，(x)<0,故g(x)在该区间为

减函数•

所以X£(l,%)时，以幻<式1)=1一。<0，

即1，及题设/(x)Nor-l相冲突•

综上•满意条件的。的取值范围是(…山•

解法二：依题意•得/(幻2依-1在[1,+8)上恒成立•

即不等式〃(lnx+，对干X£[l,+8)恒成立•

X

Vg(x)=lnx+—，则g'(x)=』_-V=L1--1,

xxxxyx)

当x>l时,因为g<x)=41」]>0,

八X)

故g(x)是(1,+8)上的增函数,所以g(X)的最小值是

g⑴=1*

所以〃的取值范围是(-co,l],

【例题7】

【题干】已知函数f(x)=lnx,g(x)=q(a>0),设尸(x)=/(x)十g(x)•

x

(I)求函数FQ)的单调区间；

(n)若以函数)，=/。)(了£(0,3])图像上随意一点p(%,)，o)为切点

的切线的斜率攵(L恒成立,务实数〃的最小值；

2

【答案】(I)F(x)的单调递减区间为(O,〃)，单调递增区间为(。,包)；

【解析】(I)F(x)=f(x)+g(x)=Inx+—(x>0),

尸(x)4台守x>。)

,「a〉。,EfiF'(x)>0=>xe(d.+oo)，「.F(x)在(a.+co)上单

调递增。

由尸(x)<0nx£(0,a)，.(x)在(0,a)上单调递减。

「•尸(刈的单调递减区间为(OM)，单调递增区间为

(a,-Hx>)0

="%i—(0<43)a2

k=F'D天怛成立—.其+为)

莅2I27m>x

12

当/=1时+八。获得最大吗。

---2-工00

三、课堂运用

【根底】

1-函数f(x)=ex-x的单调递增区间是()

A,(-OO•1]B,[1,+8)C.(-8，0]

D-(0-十8)

【答案】D

【解析】vf(x)=ex-x>/.f(x)=ex-1•由f'(x)>0，得e、-1>0.

即x>0.

2•函数f(x)=-4x+4有()

284428

A•极大值w•微小值§B•极大值--■微小值w

428284

C­极大值鼻，微小值--z-D•极大值可，微小值--

【答案】D

1°,

【解析】.f(x)-4x+4•/.f/(x)=x2-4，令f(x)=O♦则x=±2.

当X£(-8,-2)时>f(x)>0;

当xR・2,2)时•f(x)<0;

当)<£(2，+8)时，f(x)>0.

284

.•••f(x)极大值二f(-2)=可，f(x)微小值=f(2)=-

3•已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示•则

f(x)的图象可能是()

【答案】D

【解析】当x<0时，由导函数f'(x)=ax2+bx+c<0，知相应的函

数f(x)在该区间上单调递减;当x>0时，由导函数f(x)

=ax2+bx+c的图象可知，导数在区间(0，X。内的值是

大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增•

4•函数f(x)=x3-3x2+2在区间［-1,1］上的最大值是•

【答案】2

【解析】由题意，得f'(x)=3x2-6x，令f，(x)=o，得x=0或x=

2(舍去)・由于f(-1)=-2*f(l)=0*f(0)=2，故f(x)在［-

1,1］上的最大值为2.

5•若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数，则m的

取值范围是-

「1)

【答案】+8

(解析】•/f(x)=x3+x2+mx+1*=3x2+2x+m.

1

又・・・f(x)在R上是单调函数•/.△=4-12m<0，即m>-

【稳固】

1•(2019・湖北卷10).已知函数g)=乂(1八-拥有两个极值点，

则实数a的取值范围是()

(1A

A•(-8，0)B•0--C•(0-1)

\')

D-(0•+8)

【答案】B

1——

［解析［f'(x)=lnx-ax+x--a=lnx-2ax+1•函数f(x)有两个

X

极值点等价于方程lnx-2ax+l=0有两个大于零的不相

等的实数根•令yi二Inx，y2=2ax-1，在同一坐标系中

作出这两个函数的图像，明显a<0时•两个函数图像只

有一个公共点，故a>0•此时当直线的斜率渐渐变大直到

直线y=2ax-l及曲线y=lnx相切时，两函数图像均有

1

两个不同的公共点(y*i=_•故曲线y=lnx上的点(x。t

X

1

InX。)处的切线方程是y-Inx=-(x-x),该直线过点

0X。0

(0,・1),则-1-Inxo=-1，解得xo=1，故过点(0，

1

-1)的曲线丫二皿乂的切线斜率是1，故为=1，即3=5,

1

所以a的取值范围是0，

13

2•(2019・重庆高考)设f(x)=alnx+/+中+1，其中aGR，

NXN

曲线y=f(x)在点(1，f(l))处的切线垂直于y轴・

Q)求a的值；

⑵求函数f(x)的极值•

【答案】⑴a=-1;(2)微小值f(l)=3

13a13

【解析】(J因f(x)=alnx+^~+m+l，故f'(x)=一-天+5.

NX乙X/X/

由于曲线y二f(x)在点(1，f⑴)处的切线垂直于y轴，故

该切线斜率为o.

13

得

-+-=O解a

即f(l)=0，从而a22

13

(2)由Q)知f(x)=-lnx+—+^x+l(x>0)•

1133x2-2x-1c1

fv\_-.......I—―--------------------_(3x+l)(x-1)

f(YX)--x-2x22-2x2----—

11

令f'(x)=0，解得Xi=1•x2=-，(因x2=-1不在定义

域内，舍去)・

当X£(O,1)时,f(x)<0•故f(x)在(0,1)上为减函数;

当xe(l>+8)时，f(x)>0,故f(x)在Q，+8)上为增

函数•

故f(x)在x=1处获得微小值f(l)=3.

3•设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满意f(l)=2a-f(2)=-

b-其中常数a，beR.

(1)求曲线y=f(x)在点Q，f(l))处的切线方程；

1

(2)设g(x)=1f(x)，求函数g(x)的极值•

【答案】(1)6x+2y-1=0;(2)微小值g(0)=-3•极大值g(3)

=15e-3

［解析］(l).f(x)=x3+ax2+bx+1*.e.f/(x)=3X2+2ax+b•

3

/⑴=3+3。+/?=2。a=--

则解得j2

f(2)=\2-^-4a+b=-b

b=-3.

°3°5

/.f(x)=x3-p<2-3x+l./.f(l)=--*f(1)=-3.

(5、

.,.y=f(x)在(1，f(l))处的切线方程为y--z=-3(x

\勺

-1),即6x+2y-1=0.

(2)由⑴知g(x)=(3x2-3x-3)e-*，.・g(x)=(-3x2+9x)e

-X9

令g'(x)=0，即(-3x2+9x)e-x=0,得x=0或x=3，

当xe(-oo•0)时，g'(x)<0，故9仪)在(-oo，0)上单

调递减•

当x£(0,3)时,g'(x)>0，故g(x)在(0,3)上单调递增•

当xe(3-+8)时，gz(x)<0•故g(x)在(3，+8)上单

调递减•

从而函数g(x)在x=0处获得微小值g(0)=-3，

在x=3处获得极大值g(3)=15e-3.

4•已知函数f(x)=(x-k)ex.

(1)求f(x)的单调区间；

⑵求f(x)在区间上的最小值•

【答案】Q)f(x)的单调递减区间是(-8，k・1);单调递增区间是

(k-1•+co)

(2)最小值为f(l)=(1-k)e

【解析】(l)f'(x)=(x-k+l)a令f'(x)=O,得x=k-l.

f(x)及f'(x)的状况如下:

X(-oo,k-1)(k-1)(k-1•+oo)

f'(x)-0十

f(x)-T

所以，f(x)的单调递减区间是(-oo.k-1)；单调递增区

间是(k-1,+00)-

(2)当k-l<0•即k<l时,函数f(x)在上单调递增.

所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(0)=-k;

当，即l<k<2时，

由⑴知f(x)在［0，k-1)上单调递减•在(k-1,1］上单调

递增，

所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(k-l)=-e^1;

当k-1N1，即k>2时，函数f(x)在［0,1］上单调递减，

所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(l)=(1-k)e.

5•(2019•新课标全国卷I20)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x>

曲线y=f(x)在点(0•f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a，b的值；

(2)探讨f(x)的单调性，并求f(x)的极大值•

【答案】(l)a=4，b=4;

(2)f(x)在(-8，-2)，(-In2，+8)上单调递增'在(・2•

-In2)上单调递减•

极大值为f(-2)=4(l-e-2)

【解析】(l)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.

由已知得f(0)=4-f(0)=4•故b=4，a+b=8.

从而a=4-b=4.

(2)由(1)知，f(x)=4ex(x+1)-x2-4x.

(n

f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)ex--.

令f'(x)=0，得乂=-1。2或乂=-2.

从而当xe(-oo*-2)U(-In2•+8)时，f(x)>0;当

xe(-2>-In2)时，f(x)<0.

故岭)在(-oo.-2)•(-In2•+8)上单调递增，在(-

2，-In2)上单调递减•

当x=-2时，函数f(x)获得极大值，极大值为f(-2)

=4(1-e-2)-

【拔高】

1•(2019•北京高考)已知函数f(x)=ax2+l(a>0)«g(x)=x3+

bx.

Q)若曲线y=f(x)及曲线y=g(x)在它们的交点Q，c)处具有公共

切线，求a，b的值；

(2)当a?=4b时求函数f(x)+g(x)的单调区间并求其在区间(-

8，-1］上的最大值•

【答案】(l)a=b=3;

(a\

(2)函数h(x)的单调递增区间为-8，-5和

单调递减区间为-三，.

I26J

a2

当aW(0,2］时，最大值为h(-l)=a--;

当ae(2，+8)时.最大值为h=1.

【解析】(l)f'(x)=2ax•g,(x)=3x2+b•

因为曲线y=f(x)及曲线y=g(x)在它们的交点Q，。处

具有公切线

，

'/⑴=冢1)即a+1=b+1

所以/解得a=b=3.

2a=3+b•

(2)设h(x)=f(x)+g(x)•,.a2=4b•.,.h(x)=f(x)+g(x)=x3

+ax2+7a2x+1，

4

_1,a

22

则h'(x)=3x+2ax+-a•令h'(x)=0-解得xx=--•

a>0时,h(x)及h'(x)的改变状况如下:

a、

—-，+8,

(daa\

单调递减区间为-7,-/

26/

a

①当-lw-5，即0<a<2时，函数h(x)在区间(-8，-1］

上单调递增，h(x)在区间(-8，-1］上的最大值为h(-

a2

l)=a。；

aa

②当--lw-二，即2<a<6时•函.数h(x)在区间

2o

aa

-8,-5上单调递增，h(x)在区间-5，-1上单调

a

递减，在区间(・8，・1］上的最大值为h-=1；

aa

③当-1>-二，即a>6时，函数h(x)在区间-8，-三上

6I2)

(ad4d

单调递增，在区间上单调递减，在区间

I26J

(a1f

----1上单调递增，又因为h---h(-l)=l-a

2

I6JIJ

11

+-a2o=-(a-2)2o>0•所以h(x)在区间(-oo--1］上的最

(a'

大值为h--=1.

a2

综上所述：当aw(0，2］时，最大值为h(-l)=a-i；

当aw(2，+8)时，最大值为h--=1.

2•已知函数f(x)=x3-ax-l.

(1)若f(x)在实数集R上单调递增，务实数a的取值范围•

(2)是否存在实数a，使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在，求出

a的取值范围；若不存在，说明理由•

(l)a<0;(2)a>3

【解析】Q)由已知f'(x)=3x2-a.

・・・f(X)在(-OO，+8)上是增函数，

「f(x)=3x2-a>0在(-8，+8)上恒成立­即a<3x2

对x£R恒成立•

,/3X2>0，.■・只要a<0.

又•「a=0时，f'(x)=3X2>0，f(x)=x3-1ftR上是增函

数.

/.a<0.

(2)f(x)=3x2-a<0在(-LD上恒成立•.*.a>3x2，x£(-

LI)恒成立•

又:-1<X<1•/.3X2<3，只需a>3.

2

当a=3时，f(x)=3(x-1)在xe(-lzl)±，

f(x)<0•即f(x)S(-LD上为减函数.

故存在实数a>3，使f(x)在(-1,1)上单调递减.

课程小结

1•导数法求函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f(x);

⑶在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)>0和ff(x)<0;

(4)依据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间•

2•导数法求参数的取值范围

已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'(x)20(或

f(x)<0)，xe(a:b)，转化为不等式恒成立求解•

3•求可导函数3)的极值的步骤

Q)求导数f(x);

(2)求方程f'(x)=0的根;

⑶检验f'(x)在方程f'(x)=O的根的旁边两侧的符号详细如下表：

XX<XoXoX>Xo

f'(x)f(x)>0f(x)=0f(x)<0

f(x)增极大值f(x0)减

XX<XoXoX>Xo

f'(X)f(x)<0f(x)=0f(x)>0

f(x)减微小值f(Xo)增

4•利用导数求函数最值的方法

求解函数的最值时,要先求函数y二f(x)在［a,b］内全部使f(x)

=0的点，再计算函数y=f(x)在区间内全部使f(x)=0的点和区间端

点处的函数值，最终比拟即得•也可利用函数的单调性求得•

5•解决函数的极值或最值应留意的问题

Q)依据极值的定义，导数为0的点只是一个可疑点­不肯定是

极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调

性相反时•该点才是函数的极值点•另一方面，板值点处的导数也不

肯定为0，还要考察函数在该点处的导数是否存在•

(2)求函数最值时«不行想当然地认大极值点就是最值点「要通

过仔细比拟才能下结论.

课后作业

【根底】

1•已知定义在R上的函数f(x)-其导函数f'(x)的

大致图象如图所示•则下列叙述正确的是()

A•f(b)>f(c)>f(d)B•f(b)>f(a)>f(e)

C-f(c)>f(b)>f(a)D•f(c)>f(e)>f(d)

【答案】C

【解析】依题意得•当XE(-oo，c)时-f(x)>0;当x.G(c*e)时-

f(x)<0;当x£(e，+8)时,F(x)>0.因此•函数枢)在(-

8，c)上是增函数«在(c，e)上是减函数，在(e，+8)上

是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)・

2•(2019・陕西高考)设函数f(x)=xex，贝U()

A•x=1为f(x)的极大值点B•x=1为f(x)的微小值点

C•x=-1为f(x)的极大值点D・x=-1为f(x)的微小值点

【答案】D

［解析1求导得f(x)=ex+xex=ex(x+1)，令f(x)=ex(x+1)=0-

解得x=-1，易知x=易是函数f(x)的微小值点•

x3

3-函数g)=5+乂2-3乂-4在@2］上的最小值是()

1710

A---B---C--4

64

D--T

【答案】A

【解析】f(x)=x2+2x-3，令f'(x)=0得x=l(x=-3舍去)，

1710

又f(o)=-4>f(l)=-yf(2)二-石，故f(x)在。2］上的

17

最小值是f(l)=--

4•设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c£R)•若x=-1为函数f(x)e'

的一个极值点,则下列图象不行能为y=f(x)的图象是()

【答案】D

【解析】因为任(x)e，]’二下仅甘+烟仁)=[f(x)+f'(x)]eX，且x=-1

为函数f(x)ex的一个极值点一所以f(-1)+f'(-1)=0;选

项D中，f(-1)>0，f(-1)>0，不满意f(-1)+f(-1)

=0.

5•函数f(x)=x3-15X2-33X+6的单调减区间为•

【答案】(-1,11)

【解析】由f(x)=x3-15x2-33x+6得f(x)=3x2-30x-33，令

f(x)<0，即3(x-ll)(x+l)<0，

解得-1<X<11•所以函数f(x)的单调减区间为(-1,11)•

【稳固】

1•已知函数f(x)=x3十ax2+bx+c在点X0处获得微小值-5，其

导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0)，(2,0)•

Q)求a，b的值；

(2)求X。及函数f(x)的表达式•

32

【答案】(l)a=-3.b=0;(2)x0=2-f(x)=x-3x-1

【解析】(1)由题设可得f'(x)=3x」+2ax+b.

(b=0'

••,f'(x)的图象过点(0,0)，(2,0),解

12+4a+b=0，

得a=-3«b=0.

⑵由f'(x)=3x2-6x>0，得x>2或x<0，

••・在(-8，0)±f(x)>0，在(0,2)上f(x)<0，在(2，+

8)上f(x)>0.

，f(x)在(-8，o)，(2，+8)上递增，在(0,2)上递减•

因此f(x)在x=2处获得微小值•所以x°=2.由f⑵二-

5，得c=-1.

/.f(x)=x3-3x2-1.

1-8

2•已知函数f(x)=Inx-ax+--------l(aeR)-

X

(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

1

(2)当a得时,探讨f(x)的单调性・

【答案】(l)x-y+ln2=0;

(2)当a<0时•函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，

1

十8)上单调递增；当a=,时，函数f(x)在(0，+8)上单

1

调递减;当0<a<5时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函

(1)

数f(x)在1，--1上单调递增，函数f(x)在

、a,

fl)

--1•4-00上单调递减•

la)

2

【解析】Q)当a=-1时，f(x)=InX+X+--1•

X

x2+x-2

XE(0»+OO)•所以f(x)=------2-----1XE(0♦+oo).

X

Sltbf(2)=l*即曲线y=f(x)在点(2•f(2))处的切线斜

率为1.

又f(2)=ln2+2，所以曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切

线方程为

y-(In2+2)=x-2-即x-y+In2=0.

1-a

(2)因为f(x)=Inx-ax+-------1•

X

1a-1ax2-x+1-a

所以F(x)=--a+—-=---------2---------1xG(0•+

XXX

oo)•

令g(x)=ax2-x+1-a-xe(O>+8)・

①当a=0B寸，g(x)=-x+1*xe(0-+8)，所以当x

£(0,1)时，g(x)>0，

此时f'(x)<0，函数f(x)单调递减;

当xe(l•+8)时，g(x)<0，此时f'(x)>0,函数f(x)

单调递增;

②当a=0时，由f'(x)=O，即ax2-x+l-a=0，解得

1

-

X1=1•x2=-1.

1

a•当a=5时-Xi=x2>g(x)>0怛成立，

此时f'(x)wO,函数f(x)在。，+8)上单调递减；

11

b•当0<a<5时,厂1>1>。.

xw(0,l)时，g(x)>0，此时f'(x)<0，函数f(x)单调

递减；

XG1，--1时•g(x)<0，此时f'(x)>0，函数f(x)

ia

单调递增；

<1)

XG--1，+8时，g(x)>0，此时f(X)<0•函

、a,

数f(x)单调递减;

_1

c-当a<0时,由于--1<0,xe(0,D时•g(x)>0.

此时f'(x)<0,函数f(x)单调递减;

x£(l，+8)时，g(x)<0‘此时f(x)>0,函数f(x)

单调递增­

综上所述:当a<0时•函数f(x)在(0,1)上单调递减,函数f(x)

1

在(1.+8)上单调递增；当”5时，函数修)在(0•

1

+8)上单调递减；当0<a<5时，函数f(x)在(0,1)

(1)

上单调递减，函数f(x)在1♦--1上单调递增•

(1)

函数f(x)在11，+8上单调递减•

3•设f(x)=-+~x2+2ax.

(2)

⑴若f(x)在三，+8上存在单调递增区间，求a的取值范围；

16

⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为-导，求f(x)在该区

间上的最大值•

110

【答案】⑴a>-A