2026届天津南开中学高三上学期第二次月考数学试题含答案

第1页/共4页2026届高三年级第二次质量检测数学试卷2.设Sn为数列{an}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A.B.C.D.4.已知一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，...，(x12,y12)，画出相应散点图，发现变量x，y有较强的线性关系，利用最小二乘法得其回归方程为=2x-6．若y1+y2+y3+...+y12=24，则2A.-24B.4C.15D.485.已知平面α,β,直线a,b，则下列结论正确的是()A.若aα,b//a，则b//αB.若α//β,aα,bβ,则a//b××C.若a//α,b丄α,则a丄b第2页/共4页lg，则a,b,c的大小关系为()7.已知a，b都是实数，若b是a，1的等差中项，则eb-a+eb+1的最小值为() A.2e2B.2eC.2eD.2A.2n+1-2B.a(2n+1-2)C.22n-2D.a(22n-2)A.2B.-23C.-3D.110.已知复数为虚数单位则z=.11.在的展开式中，x-1的系数是用数字作答）}的通项公式为.13.如图，在直角梯形ABCD中，AB丄BC,上BAD=AB=AD=2．若M、N分别是AD、BC上的动点，满足，其中λ∈,则的最大值为.14.一质点从△ABC的顶点A出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点4次运动过程中仅1次经过顶点B的条件下，第4次回到顶点A的概率P=，记质点4次运动过程中经过顶点第3页/共4页B的次数是X，则E(X)=．.15.已知方程4x2-2ax+1+ax2-x=0有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是.三、解答题（共5小题，共75分．解答应（1）求c的值；（2）求sinC的值；（3）求sin(2A+C)的值.17.在如图所示的五面体ABCDFE中，底面ABCD是边长为2的正方形，AE丄平面ABCD，DF//AE，且AE=1，N为BE的中点，M为CD的中点.（1）求证：FN//平面ABCD；（2）求直线CN与平面NMF所成角的正弦值；（3）求平面NMF与平面MFD夹角的余弦值.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn；（3）求数列{an-16}的前n项和Wn.第4页/共4页（ii）设{bn}的前n项和Sn，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围..（1）当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；（3）当a≥0时，令g(x)=f(x)+2(a-1)x-a+2，记g(x)的唯一零点为x0，若x1+a=sinx1，证第1页/共21页2026届高三年级第二次质量检测数学试卷【答案】D【解析】【分析】利用交集和补集的概念计算即可.故选：D2.设Sn为数列{an}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】数列-3，-2，-1，0，1，2，3，…是递增数列，但Sn=-3n+不是递增数列，故不充分；数列不是递增数列，故不必要；故选：D3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()第2页/共21页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合函数图象，利用性质和特值排除可得答案.【详解】对于A中的函数f(x)，当x>1时，f(x)<0，与图象不符，故排除；对于B中的函数f(x)的定义域为R，故排除；对于D中的函数f(x)为偶函数，故排除.对于C中的函数f(x)，定义域为{xx≠±1}，且满足f(—x)=—f(x)，其图象关于原点对称，当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，与图象一致.故选：C4.已知一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，...，(x12,y12)，画出相应散点图，发现变量x，y有较强的线性关系，利用最小二乘法得其回归方程为=2x—6．若y1+y2+y3+...+y12=24，则2A.24B.4C.15D.48【答案】D【解析】【分析】由回归方程性质可得解.【详解】由线性回归方程的性质，知回归直线=2x—6恒过点(x,y)，因为y13第3页/共21页故选：D.5.已知平面α,β,直线a,b，则下列结论正确的是()A.若aα,b//a，则b//αB.若α//β,aα,bβ,则a//b××C.若a//α,b丄α,则a丄b【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行性的性质、面面平行的性质逐一判断即可.【详解】A：当bα时，也可以满足aα,b//a，因此本选项结论不正确；B：当α//β,aα,bβ时，直线a,b可以是异面直线，因此本选项结论不正确；C：设过直线a的平面y与平面α相交于直线c，根据直线与平面平行的性质定理可知a//c，因为b丄α,且cα,××D：当α//β,a//α时，aβ可以成立，所以本选项结论不正确，故选：Clg，则a,b,c的大小关系为()【答案】C【解析】【分析】由指数的运算性质得到a=log52,b=ln2,c=通过判断a<b，再通过3判断a,c和b,c的大小即可.第4页/共21页2e由y=log2x的单调性判断）.22所以2<53222故选：C A.2e2B.2eC.2eD.2【答案】B【解析】b+1，由基本不等式即可求解. 则eba1b则eba故选：B.A.2n+12【答案】A【解析】第5页/共21页)，再借助等比数列求和公式计算即可得.n+2(a252n2n-1=2n，则S2n2-2.故选：A.A.2B.-23C.-3D.1【答案】B【解析】 f在上有且仅有一个零点，求得①2≤4π,进而得到时，化简得到=2sin结合三角函数的周期性，即可求解.f，可得2sin3=4sin第6页/共21页当w=当w=整理得(sinθ+cosθ)cosθ=sinθ+cosθ,解得cosθ=1或tanθ=-， 此时=3π或wx+=4π,使得f不符合4π34π333w=w=,当时，可得wx+，函数f在上无零点；33可得f()=2sin[(6i-5)+]=0，f()=2sin[(6i-4)+]=-，f()=2sin[(6i-3)+]=-f()=2sin[(6i-2)+]=0第7页/共21页故选：B.【答案】1【解析】【分析】先将复数z运算化简，再根据求模的方法直接求解即可.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，属于基础题.11.在的展开式中，x-1的系数是用数字作答）【答案】40【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，得到x-1的系数.的展开式的通项公式为：Tr+1=Cx5-rrx5-3r，令5-3r=-1，解得：:x-1的系数是2=40.故答案为：40第8页/共21页}的通项公式为.【答案】an=2n-1【解析】【分析】由f(-x)=-f(x)得f(x)为奇函数，进而得g(x)=f(g(x)+g(2-x)=2，最后利用倒序相加法即可求解.【详解】由题意有，所以f为奇函数，所以g(x)=f(x-1)+1关(2n-1)(2n-2)(1)(2n-1)(2n-2)(1),,所以an=2n-1，故答案为：an=2n-1.13.如图，在直角梯形ABCD中，AB丄BC,LBAD=,AB=AD=2．若M、N分别是AD、BC上【答案】-【解析】第9页/共21页结合平面向量数量积的坐标运算得到关于λ的二次函数，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：A(一2,0),D(一1,·3)，λ(1,·)，据此可得：x=λ2,y=·λ,λ2,·λ)，λ2)+·λ.·(1λ)故答案为：14.一质点从△ABC的顶点A出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点4次运动过程中仅1次经过顶点B的条件下，第4次回到顶点A的概率P= ，记质点4次运动过程中经过顶点B的次数是X，则E(X)= .【答案】①.②.【解析】【分析】列举4次运动过程中仅1次经过顶点B的情况，再由古典概率公式即可求解；记质点4次运动过程中经过顶点B的次数是X，X的所有可能取值为0,1,2，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望，即可求解.【详解】因为质点4次运动过程中仅1次经过顶点B的情况有：A→B→A→C→A，第10页/共21页A→B→C→A→C，A→C→A→B→A,A→C→A→B→C，A→C→B→A→C,A→C→B→C→A，A→C→A→C→B，共7种，第四次回到顶点A有3种，所以质点4次运动过程中仅1次经过顶点B的条件下，第4次回到顶点A的概率记质点4次运动过程中经过顶点B的次数是X，X的所有可能取值为0,1,2，当X=0时，A→C→A→C→A，共有1种情况，则P(X=0)=，当X=1时，A→B→A→C→A，A→B→C→A→C，A→C→A→B→A，A→C→A→B→C，A→C→B→A→C，A→C→B→C→A，A→C→A→C→B，共有7种情况，所以X的分布列为：X012p 2故答案为.15.已知方程4x2-2ax+1+ax2-x=0有且仅有两个不相等的正实数根，则实数a的取值范围是.【解析】【分析】根据a的正负以及4x2-2ax+1的正负分类讨论，结合图象确定a的取值范围.【详解】（1）当a=0时，方程4x2-2ax+1+ax2-x=0化为（2）当a<0时，考虑方程正实数根情况，只需研究当x>0时方程4x2-2ax+1+ax2-x=0解的情况，第11页/共21页即此时方程化为4x2-2ax+1+ax2-x=0,(4+a)x2-(2a+1)x+1=0，所以方程4x2-2ax+1（4）当a>2时，函数y=4x2-2ax函数y=-ax2+x与x轴有两个零点x3=0,x4=,作出函数y=4x2-2ax+1与函数y=-ax2+x图象，由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程4x2-2ax+1+ax2-x=0有两个不相等的正实数根， 第12页/共21页故答案为三、解答题（共5小题，共75分．解答应（1）求c的值；（2）求sinC的值；（3）求sin(2A+C)的值. （3）-【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理即可求出结果； （2）根据条件，利用同角三角函数间的关系，得到sinA=，再利用正弦定理即可求出结果；（3）法一，利用二倍角公式，求出sin2A,cos2A，利用同角三角函数间的关系求出cosC，即可求出结果；法二，利用A+B+C=π,得到sin(2A+C)=sin(B-A)，再计算出sinB,cosB即可求出结果.【小问1详解】【小问2详解】 231 3第13页/共21页【小问3详解】（法一）由（2）得，sin2A=2s所以（法二）由余弦定理可得cosB=17.在如图所示的五面体ABCDFE中，底面ABCD是边长为2的正方形，AE丄平面ABCD，DF//AE，且AE=1，N为BE的中点，M为CD的中点.（1）求证：FN//平面ABCD；（2）求直线CN与平面NMF所成角的正弦值；（3）求平面NMF与平面MFD夹角的余弦值.第14页/共21页【答案】（1）证明见解析13【解析】【分析】（1）建系，求得直线方向向量，和平面法向量，通过向量位置关系即可判断；（2）求得直线方向向量，和平面法向量，代入夹角公式即可求解；（3）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：因为AE丄平面ABCD，AB,AD在平面ABCD内，又底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB,AD,AE两两垂直，如图，以A为原点，AB,AD,AE所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.因为平面ABCD是边长为2的正方形，DF//AE，且DF=AE=1，N为BE的中点，M为CD的中点，又因为NF丈平面ABCD，所以NF//平面ABCD.【小问2详解】解：因为设平面MNF的一个法向量为=(x,y,z)，第15页/共21页【小问3详解】因为AE丄平面ABCD，DF//AE，所以DF丄平面ABCD，因为AD平面ABCD，所以DF丄AD.又因为AD丄DC,DC∩DF=D,DC,DF平面MFD，所以AD丄平面MFD，所以平面MFD的一个法向量为-=(0,2,0).（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和为Tn；（3）求数列{an-16}的前n项和Wn.【解析】【分析】（1）根据an与Sn的关系，结合等差数列定义求解；（2）利用裂项相消法求解；（3）根据bn的符号，分段求解.第16页/共21页【小问1详解】【小问2详解】，n【小问3详解】设数列{bn}的前n项和为Mn，n综上：Wn={2ln16n+128,n≥9第17页/共21页lnJnnlnJnn（ii）设{bn}的前n项和Sn，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围.=-4632ii）(-∞,4).【解析】求出数列{cn}的单调性求解.【小问1详解】2若b1若b1第18页/共21页若b1所以“次生数列”{bn}的定义可知{bn}有3个，【小问2详解】[a)lnJ（i）设数列{n[a)lnJ32n-1=(2n-1)×(-2)2n-1，3+…+(2n-1)×(-2)2n-1，①353+…+2×(-2)2n-1-(2n-1)×(-2)2n+1∴(n,an(|27-10-18n)|.a-18n2+27n-103n-2∴(n,an(|27-10-18n)|.a-18n2+27n-103n-2((n,n24第19页/共21页∴λ<c2==4，故λ的取值范围为(-∞,4).（1）当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；（3）当a≥0时，令g(x)=f(x)+2(a-1)x-a+2，记g(x)的唯一零点为x0，若x1+a=sinx1，证(x-1)（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【