1.2 整式的乘法（12大题型提分练）（原卷版）

（北师大版）七年级下册数学《第1章整式的乘除》1.2整式的乘法知识点一知识点一单项式乘单项式◆1、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.【注意】①系数：积的系数等于系数的积；②相同字母：相同字母的幂相乘；③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式．知识点二知识点二单项式乘多项式◆1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.◆2、用式子表示：p(a+b+c)=pa+pb+pc．◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即amn＝(am)n＝(an)m（m，n是正整数）．【注意】（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与多项式的项数相同.知识点三知识点三多项式乘多项式◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.◆2、用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）．【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积．题型一单项式与单项式相乘解题技巧提炼(1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.(2)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；(3)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．1．（2024春•西安期中）计算：9xA．﹣3x3y5 B．﹣3xy C．﹣3x3y D．﹣3x2y62．（2024•碑林区校级二模）计算：3x2y•（﹣2xy）2的结果是（）A．﹣6x3y3 B．6x3y3 C．﹣12x4y3 D．12x4y33．（2024秋•通许县期中）下列计算正确的是（）A．6x2•3xy＝9x3y3 B．（2ab2）•（﹣3ab）＝﹣6a2b3 C．m2n•（﹣m2n）＝﹣m3n3 D．（﹣3x3y）•（﹣3xy）＝9x3y24．（2023秋•浦东新区期末）（4×105）×（25×103）的计算结果是（）A．100×108 B．1×1017 C．1×1010 D．100×10155．（A．5 B．15 C．5 D．106．（2024秋•龙海区期中）单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为．7．（2024秋•北碚区校级月考）若单项式25x3a-1y-b+3与﹣xb8．（2023春•阜宁县校级月考）计算：（1）（﹣2ab）2•（-14a3c2）•2a2（2）（a﹣b）3[﹣3（a﹣b）]2[-23（a﹣b）（3）（﹣3a2b3）2×（﹣a3b2）；（4）（﹣4xy3）（-12xy）3﹣（12x2y3（5）9（xy）3•（-13x2y）2+（﹣x2y）2+（﹣x2y）题型二单项式与多项式相乘解题技巧提炼1、单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错．1．（2024秋•武都区期末）计算﹣2x（x2﹣y）正确的是（）A．﹣2x3﹣y B．﹣2x3﹣2xy C．2x3﹣2xy D．﹣2x3+2xy2．（2023秋•西青区期末）计算(-3xA．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12 C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x3．（2023秋•朝阳区校级月考）计算（14x2﹣2）•（﹣2x）2A．-12x4+4x2 BC．x4﹣8x2 D．x4+4x24．（2024•河南模拟）下列式子运算正确的是（）A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a（a﹣2b）＝2a2﹣2ab C．a2•a5＝a7 D．2a2+3ab3＝5a3b35．（2024秋•天河区校级期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（）A．a+3b B．2a+6b C．ab+2b D．ab+2b26．（2023秋•渝中区校级期中）若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝．7．（2023秋•晋江市校级月考）计算：（1）（4a﹣b2）（﹣2b）；（2）2x2（x-1（3）5ab（2a﹣b+0.2）﹣（b+2a）ab；（4）（23a-49）（﹣9a）﹣a（﹣6题型三多项式与多项式相乘解题技巧提炼1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2、注意：(1)不要漏乘；(2)符号问题；(3)最后结果应化成最简形式(是同类项的要合并).1．（2023秋•海口期末）下列多项式相乘的结果为x2﹣4x﹣12的是（）A．（x+3）（x﹣4） B．（x+2）（x﹣6） C．（x﹣3）（x+4） D．（x+6）（x﹣2）2．（2024秋•南阳期末）在展开多项式（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中，常数项为﹣30，则a等于（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2024秋•东山县期中）利用多项式相乘的知识我们易得公式（ax+b）（cx+d）＝acx2+（bc+ad）x+bd，我们直接套用公式可求得（3x﹣2）（5x+3）＝15x2+（﹣10+9）x﹣6＝15x2﹣x﹣6，我们可以逆向运用这个公式，如果2x2﹣13x+6＝（x﹣6）（），那么括号里应该填（）A．x+1 B．2x﹣1 C．2x+1 D．x﹣14．（）A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．M与N的大小由x的取值而定5．（2023秋•台州期末）若（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣5对任意x恒成立，其中a，b，m均为整数，则m的值为．6．计算：（1）（3x﹣1）（x+5）；（2）（3x+4）（4x﹣9）；（3）（5a﹣6b）（3a﹣2b）；（4）（12x﹣4）（2y-题型四整式乘法与求字母的值解题技巧提炼先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题.1．（2024春•龙子湖区期中）要使x（x+2a）+2x﹣2b＝x2+6x+8成立，则a，b的值分别为（）A．a＝﹣2，b＝﹣4 B．a＝2，b＝4 C．a＝2，b＝﹣4 D．a＝﹣2，b＝42．（2024秋•儋州期中）若（x﹣1）（x+6）＝x2+px+q，则p+q的值为（）A．11 B．﹣11 C．﹣1 D．13．（2023秋•秦皇岛期末）若（x+3）（x+n）＝x2+mx+6，（m，n均为实数），则（）A．m＝1，n＝2 B．m＝1，n＝﹣2 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝5，n＝24．（2023秋•郯城县期末）若（x﹣3）（2x2+mx﹣5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m为（）A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．-5．（2024秋•船山区校级期末）设（xm﹣1yn+2）•（x5my2）＝x5y7，则（-12m）A．-18 B．-12 C．16．（2023•铜仁市模拟）若﹣2x2m﹣1与yn﹣4与7x1﹣nym﹣1的积与x7y3是同类项，求m、n的值．题型五整式乘法与化简求值解题技巧提炼整式乘法的化简求值的题型，注意一般应先化简，再求值．1．（2023春•富川县期中）已知a（a﹣2）＝8，则代数式a2﹣2a﹣6的值为（）A．8 B．14 C．﹣2 D．22．（2023秋•义乌市期中）已知x（x﹣3）＝2，那么多项式﹣2x2+6x+9的值是（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2024春•玄武区校级月考）若a+b＝4，b﹣c＝﹣3，则代数式ac+b（c﹣a﹣b）的值为．4．5．6．题型六整式乘法与看错问题解题技巧提炼先根据多项式乘多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解.1．（2024秋•商水县月考）小轩计算一道整式乘法的题：（3x+2m）（5x﹣6），由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“﹣2m”，得到的结果为15x2﹣78x+72，则m的值为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024春•青山区期中）某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是．3．4．得到的结果为5．（2024秋•梁平区期中）芳芳计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于芳芳抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为10x2﹣33x+20．（1）求m的值；（2）计算这道整式乘法的正确结果．6．（2023秋•简阳市期末）【阅读理解】在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．例如：A＝5x2﹣7x+2，A经过程序设置得到B＝2×5x﹣7＝10x﹣7．【知识应用】关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知A＝x2﹣x﹣m，根据上方阅读材料，解决下列问题：（1）若B＝3nx﹣m，求m，n的值；（2）若A﹣mB的结果中不含一次项，求关于x的方程B＝m的解；（3）某同学在计算A﹣2B时，把A﹣2B看成了2A﹣B，得到的结果是2x2﹣4x﹣3，求出A﹣2B的正确值．题型七整式乘法与遮挡问题解题技巧提炼整式乘法与遮挡问题主要是利用整式的运算求多项式中的未知项．1．（2024秋•邓州市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（）A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．12．（2023秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy3．（2023秋•曾都区期末）在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）□（﹣3y）•（﹣6x），你认为“□”内应填的符号为（）A．+ B．﹣ C．• D．÷4．（2023春•冷水滩区期末）某人计算（x﹣2）（x+■）时，已正确得出结果中的一次项系数为﹣1，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为．5．（2023春•龙子湖区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写．6．（2024秋•青浦区校级月考）小红准备完成题目：计算（x2x﹣1）（x2﹣2x+1）时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：（x2+2x﹣1）（x2﹣2x+1）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？题型八整式乘法与不含某项问题解题技巧提炼在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.1．（2023秋•阜平县期末）要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023秋•海淀区校级期中）要使多项式（x﹣m）（x﹣n）不含x的一次项，则（）A．m＝n B．m+n＝0 C．mn＝1 D．m﹣n＝03．（2024秋•沙坪坝区校级期中）要使（x﹣1）（x2+mx﹣2）的展开式中不含x项，则m的值为．4．（2024秋•浦东新区校级月考）已知关于x的多项式x2+mx+n与x2﹣2x+3的积不含二次项和三次项，则m+n＝．5．（2023秋•微山县期末）已知关于x的代数式(x+2m)(x2（1）求m，n的值；（2）求代数式m2023n2024的值．6．（2024春•新津区校级月考）已知（2x2+mx﹣n）（x﹣1）展开的结果中，不含x2和x项．（m，n为常数）（1）求m，n的值；（2）在（1）的条件下，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．题型九整式乘法与新定义运算问题解题技巧提炼先根据新定义运算，列出算式，利用整式乘法运算的法则进行计算即可解决问题.1．（2024春•正定县期中）定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（）A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn22．（2023秋•乐至县校级期中）对于任何数，我们规定：abcd=ad﹣bc．例如：1234=1×4﹣2×（1）按照这个规定，请你化简：-5（2）按照这个规定，当a2﹣4a+2＝0时，求a+23．（2024春•玄武区校级月考）定义：L（A）是多项式A化简后的项数，例如多项式A＝x2+2x﹣3，则L（A）＝3．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C＝A×B），如果L（A）≤L（C）≤L（A）+1，则称B是A的“好多项式”，如果L（A）＝L（C），则称B是A的“极好多项式”．（1）若A＝x﹣2，B＝x+3均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？请判断并说明理由；（2）若A＝x﹣2，B＝x2+ax+4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a＝；（3）若A＝x2﹣x+3m，B＝x2+x+m均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值．4．（2023秋•海淀区校级期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式（3x+1）（x﹣2），则此多项式的零点为；（2）已知多项式B＝（x﹣1）（bx+c）＝ax2﹣（a﹣1）x-a2有一个零点为1，求多项式（3）小聪继续研究（x﹣3）（x﹣1），x（x﹣4）及（x-52）（x-32）等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M＝（2ax+b）（cx﹣5c）＝bx2﹣4cx﹣2a﹣4是“2系多项式”，求5．（2024秋•海淀区校级期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为．（2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；（3）订正：小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及(x-52)(x-72)等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，则a＝，b＝题型十整式乘法与规律探究问题解题技巧提炼整式乘法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题.1．（2024秋•门头沟区校级期中）计算：（x﹣1）（x+1）＝．（x﹣1）（x2+x+1）＝．（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝．（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝．从上面的计算中你发现的规律（用含n的一般形式表示）．2．3．4．（2023春•渠县校级期末）探究应用：（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是A、（a﹣3）（a2﹣3a+9）B、（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C、（4﹣x）（16+4x+x2）D、（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x﹣2y）（9x2+6xy+4y2）＝．5．（2024春•江都区校级期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：[观察]①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……（1）[归纳]由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+．．．+x+1）＝；（2）[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22024+22023+22022+22021+…+2+1＝；（3）计算：220﹣219+218﹣217+…﹣23+22﹣2+1题型十一整式乘法与几何表示问题解题技巧提炼验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表示图形的面积，再整理验证.1．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b22．（2024春•桥西区期末）小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为（5a+7b），宽为（7a+b）的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（）A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张3．（）A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x24．（2023春•新田县期末）如图是“L”形的纸板，5位同学分别列出了计算它面积的算式，甲：ac+c（b﹣c）；乙：bc+c（a﹣c）；丙：ac+bc﹣c2；丁：ab﹣（b﹣c）（a﹣c）；戊：c（b﹣c）+c（a﹣c）．他们之中正确的是（）A．甲、乙 B．丙、丁 C．甲、乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁、戊5．（2023秋•卫积的是（）A．x2+3x+6 B．（x+3）（x+2）﹣2x C．x（x+3）+6 D．x（x+2）+x26．（2024秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．题型十二整式乘法的实际应用问题解题技巧提炼整式的乘法在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可.1．（2024秋•铁西区期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为(32x2．（2024•雁塔区校级开学）某种植基地有一块长方形实验田和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植（4a﹣3b）株豌豆幼苗，种植了（4a+3b）排，正方形实验田每排种植（2a+b）株豌豆幼苗，种植了（2a+b）排，其中a＞b＞0．（1）长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？（2）当a＝6，b＝5时，长方形实验田比正方形实验田多种植多少株豌豆幼苗？3．（2023春•横山区期末）某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时（七、八年级学生均无