2026年高考数学二轮复习专题10 简单几何体的表面积和体积问题6大考向（重难）（天津）（解析版）

重难点10：简单几何体的表面积和体积问题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：近三年天津卷以5分小题（选择/填空，8-9题）为主，搭配解答题辅助计算；核心考柱/锥/球及组合体的表面积与体积，体积更高频，难度基础-中档，突出公式应用+割补/等体积转化。三年共性规律：高频模型：棱柱/棱锥/圆柱/圆锥/球+组合体；核心方法：公式法、割补法、等体积法；常与线面垂直/面面垂直联动求高或底面积.预测2026年：命题形式：5分小题（选择/填空，8-9题），或解答题第1问（5-6分）；载体为柱/锥+组合体，穿插球的切接。考查侧重：基础型：规则体公式直接应用（保分题）。中档型：组合体割补+线面垂直求高，需等体积转化与运算精准。新情景：结合实际建模（容器/建筑）、动态最值（如体积/表面积最值）、球的外接/内切，强化直观想象与临界验证。难度与陷阱：难度基础-中档；陷阱在组合体衔接面重复计算、高/斜高混淆、球切接中半径算错、等体积换底漏验证。考向1：棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高棱锥平面多边形三角形面积=·底·高棱台平面多边形梯形面积=·（上底+下底）·高1．（2025·天津和平·三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由△△，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案．【详解】由题意可知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的高，如图，由△△，可得，则，，圆柱侧面积，圆锥侧面积，则．故选：C．2．（2025·天津红桥·二模）甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为体积分别为，若.【答案】【分析】由题意分别求出，，由此求出，即可求出.【详解】因为甲、乙两个圆锥的底面积相等，所以甲、乙两个圆锥的底面半径相同，设为，设甲、乙两个圆锥的母线长分别为，高分别为所以甲、乙两个圆锥的圆心角之和为：，所以，由，所以，即，又，所以，即，所以，甲圆锥的高，乙圆锥的高，，所以故答案为：.3．（2025·天津红桥·二模）如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的半径为，高为，母线长为，结合题意面积比得到，再计算二者的体积比即可.【详解】设圆锥的半径为，高为，母线长为，则母线长为，所以圆锥的侧面积是，半球的面积，由题意可得，解得，所以圆锥的体积为，半球的体积为，所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为，故选：B.4．（2025·天津滨海新·二模）如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】设球的半径为，利用球和圆柱的表面积、体积公式求解即可.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，所以圆柱的表面积，体积，球的表面积，体积，所以圆柱的表面积与球的表面积之比，圆柱体积与球体积之比，故选：C5．（2025·天津南开·模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(

)A． B． C． D．3【答案】A【分析】作出图象，根据几何关系用圆柱底面半径表示出其侧面积，根据二次函数性质即可求其最大值．【详解】如图，，，，则，设，，则，，则，∴圆柱侧面积为：，当时取等号．故选：A．考向2：棱柱、棱锥、棱台的体积1、常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2、求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．1．（2025·天津·模拟预测）已知圆台的侧面展开图是面积为的半个圆环（如图所示），记圆台的上、下底面面积分别为，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】记圆台的上、下底面半径分别为，半圆环的内、外半径分别为，由于侧面展开图是半个圆环则，，再结合面积为化简得到，则．【详解】记圆台的上、下底面半径分别为，半圆环的内、外半径分别为，则，即，同理可得，由题可得，即则．故选：B.2．（2025·天津·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为

A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解.【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为，因为，，所以，，

，，.故选：D.3．（2025·天津·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆台的母线长，圆台为高为，根据圆台的侧面积公式和圆的面积公式，列出方程，求得母线长为，得到，结合圆台的体积公式，即可求解.【详解】设圆台的母线长，圆台为高为，则圆台的上、下底面圆的面积分别为，侧面积为，所以，可得，则，所以圆台的体积为.故选：B.4．（2025·天津·模拟预测）已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆台母线长与侧面展开图扇环内外圆半径的关系得到一个等式，再利用圆台上下底面圆周长与扇环内外圆周长的比例关系，进而求出圆台上下底面圆周长之差.【详解】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为，外圆半径为，（）则圆台母线长为，设圆台上、下底面圆半径分别为，（），则，，∴，圆台上下底面圆周长之差的绝对值为.故选：A.5．（2025·天津·模拟预测）已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设上底面半径为，下底面半径为，根据圆台的内切球的性质以及线面角可得，且母线长为，以及内切球的半径，再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为，下底面半径为，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，设内切球与梯形两腰分别切于点，可知，，由题意可知：母线与底面所成角为，则，可得，即，，可得，可知内切球的半径，可得，，所以.故选：D.考向3：圆柱、圆锥、圆台的表面积①圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．（2）圆柱的表面积：．②圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．（2）圆锥的表面积：S圆锥表．③圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=．（2）圆台的表面积：．1．（2025·天津和平·三模）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出圆柱的底面半径，求解圆柱的高，球的半径，然后求解表面积的比．【详解】解：圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，则球的半径，所以圆柱的表面积为：；球的表面积为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为．故选：A．2．（2025·天津·模拟预测）如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为，则球的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆柱底面半径为r，则内切球的半径也是r，圆柱的高为2r，利用圆柱的侧面积为可得到r=1，从而求出球的体积即可.【详解】设圆柱底面半径为r，则内切球的半径也是r，圆柱的高为2r，所以圆柱的侧面积为，所以，所以球的体积为，故选：B.3．（2025·天津河西·二模）已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，其体积为，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可.【详解】解：因为正四棱锥的底面是边长为的正方形，其体积为，底面积为所以棱锥高,即圆柱的高为2，因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，所以正方形的对角线为圆的直径，即所以圆柱的表面积为故选：C4．（2025·天津·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出侧面积和表面积得解.【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为，，，.故选：B.5．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【分析】根据侧面展开的弧长与圆锥的底面周长相等，求得底面半径，进而即可得解.【详解】设圆锥的底面半径为r，则根据弧长公式＝π，解得r＝，所以该圆锥的底面面积为π×()2＝3π．故选：C．考向4：圆柱、圆锥、圆台的体积1）公式法：直接代入公式求解．（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．1．（2025·天津·二模）如图，在正四棱锥中，记其体积为V，且，，，过M，N，P的平面将四棱锥切出一个多面体，记其体积为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得棱上点的位置与线段比，延长构建三棱锥，根据三角形等积变换以及棱锥体积公式，可得答案.【详解】如图，分别延长NM，BA交于点E，分别延长NP，BC交于点F，连接EF，在平面SBC内，作交SC于G，则平面平面，故点Q，R在线段EF上．则，又，所以．同理，，则，，记点N到平面ABCD的距离为d（N，ABCD），点S到平面ABCD的距离为d（S，ABCD），易得，所以．同理，，所以．即．故选：C．2．（2025·天津南开·二模）如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求出点到面的距离，利用三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图：由题：，又弧长为，所以，所以，设平面的法向量为，则即，令，则，取，则E到面距离为，又，所以三棱锥的体积为，故选：C.3．（2024·天津北辰·三模）中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合轴截面分析可知，，再利用圆柱以及圆台的体积公式运算求解.【详解】由题意可知：容器中液体分为：下半部分为圆柱，上半部分为圆台，取轴截面，如图所示，分别为的中点，可知：∥∥，且，可得，即，所以该容器中液体的体积为.故选：A.4．（2025·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可.【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，设底面中心为，截面中心为，则，，所以，所以截面为的面积为.设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，底面中心与截面中心之间的距离为，在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为，所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，即.故选：D.5．（2025·天津·二模）天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让天津包子走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为的圆柱体和球缺（球的一部分）组成的单独包装盒，球缺的体积（为球缺所在球的半径，为球缺的高）.若，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆柱的高，可得球半径，根据球缺的体积公式以及圆柱的体积公式即可求得答案.【详解】如图，设圆柱的高为，，则，即，解得，故圆柱高为，故包装盒的体积为，故选：B.考向5：柱体、锥体、台体的体积①柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh．②锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．综上，锥体的体积公式为．③台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是．综上，台体的体积公式为．1．（2024·天津河西·三模）在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据割补法及棱台、棱柱的体积公式即可求解.【详解】由题可知，，，四点共面.在三棱柱中，∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴.∵为的中点，∴为的中点.延长至点使，延长至点使，延长至点使，连接，，，得到三棱柱.延长，.在三棱柱中，∵，分别为，的中点，∴，相交于点，∴多面体为三棱台.设三棱柱的高为，上下底面面积均为，体积为，则.∵，分别为，的中点，∴.根据棱台的体积公式可知，，∴.故选：D2．（2025·天津·二模）已知在三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】把三棱锥看作长方体切割成的几何体，利用体积差可求答案.【详解】由题意可得三棱锥可看作由长方体截取得到的，如图，设长方体的长宽高分别为，则，解得.长方体的体积为，切去的四个小棱锥体积相等，均为，所以三棱锥的体积为2.故选：B3．（2025·天津·模拟预测）已知正方体体积为V，，，则四面体体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正方体的棱长为3，则，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出点到平面的距离，利用向量法求出，利用面积公式求出的面积，进而求出四面体体积，即可得解.【详解】设正方体的棱长为3，则，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，因为，，所以，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的法向量为，则点到平面的距离为；又，所以，所以的面积为，所以四面体体积为，即四面体体积为.故选：D4．（2025·天津·二模）在四面体ABCD中，点M，N在边AC上，且，点S，T在边BD上，且，记四面体ABCD的体积为V，MSTN的体积为，则的值为（

）A．6 B．5 C．10 D．不是定值【答案】A【分析】根据四面体体积公式进行换底面转化，即可求解.【详解】，，，，，所以，故选：A.5．（2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将刍甍补成如图所示的三棱柱，首先证明三棱柱是直三棱柱，然后根据体积的转换即可求解.【详解】因为，所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点，连接，因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以三棱柱是直三棱柱，不妨设的面积为，三棱锥的体积为，从而.故选：D.考向6：球的表面积和体积①球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．（2）球的表面积设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍．②球的体积设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为．1．（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则.【答案】2【分析】正方体内切球的直径即为正方体的棱长，即可得到内切球的半径，进而结合球的体积公式列方程求解即可.【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为，所以，解得.故答案为：2.2．（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件可得出，即可求出体积.【详解】连接，因为线段的中点，，则，又为线段的中点，，，则，则，则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为.故选：C3．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接，由题意易得平面平面，从而可得，进而可得体积较小的部分为三棱锥，进而可求得其外接球的体积.【详解】取的中点，连接由题意可得，又，所以，所以平面即为平面，又，平面，平面，所以平面，易得，所以四边形为平行四边形，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，又为上底面内（包括边界）的一动点，所以，由图易知的轨迹把该正四棱柱截成两部分中体积较小的部分为三棱锥，又，所以三棱锥的外接球的半径，较小部分的外接球的体积为.故选：D.4．（2025·天津河北·二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得.【详解】若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且，由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为，则正八面体的体积，所以，所以外接球与内切球的表面积之比为.故选：C5．（2025·天津·二模）图①是底面边长为的正三棱柱，直线经过上下底面的中心，将图①中三棱柱的上底面绕直线逆时针旋转得到图②，若为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，建立空间直角坐标系，求出旋转前后的坐标，根据向量的数量积求出棱柱的高，根据勾股定理求出外接球的半径，进而求出表面积即可.【详解】初始几何体为底面边长为的正三棱柱，设高为H，上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，其外接球球心必在旋转轴上，正三棱柱底面正三角形的外接圆半径，设球心到任一底面的距离为d，则球半径满足：由于几何体对称，球心在正中间，故，如图，以下底面ABC的重心为原点建立空间直角坐标系，则，旋转后的顶点坐标为,所以，长度，所以数量积为;，由夹角，所以，球心在中间，高度，半径,所以表面积,故选；C（建议用时：60分钟）1．（2025·天津武清·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，.(1)证明：与平面PAD；(2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值；(3)若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证；（2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可；（3）利用可求.【详解】（1）因，，，则，又，四点共面，则，因平面，平面，则平面.（2）如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，设平面的法向量为则，令，则，易知为平面PAD的一个法向量，则，所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为；（3），因Q为线段PC的中点，则.2．（2025·天津·一模）在直角梯形中，已知，，，，.将沿对角线折起，记折起后点的位置为且使平面平面.

(1)求三棱锥的体积；(2)求平面与平面所成夹角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据面面垂直的性质，可得线面垂直，利用三棱锥的体积公式，可得答案；（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【详解】（1）由，则，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，在直角梯形中，易知，，，所以三棱锥的体积.（2）取的中点为，连接，易知两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：

则，，，，取，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，解得.3．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对外接球，根据几何关系建立方程求解半径；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用等体积法求出内切球半径，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的值，最后利用锥体体积公式求解即可.【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面，设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上，取的中点，连接、，对外接球，解得：，对内切球：，故四棱锥表面积，由体积法：，所以，令，则，进而，当且仅当，即时，取最小值，此时.因此，该正四棱锥的体积为.故选：B.4．（2025·天津·二模）如图，在棱长为的正方体中，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：①；②三棱锥的体积为定值；③存在一点，使；④若，则面积的最大值为，其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】对于①，连接，由为等边三角形判定；对于②，利用等体积，计算为定值即可；对于③，将进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足；对于④，连接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大.【详解】对于①，连接，由正方体的性质知为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，故①正确；对于②，无论点在侧面的边界及其内部运动的任何位置，三棱锥的高始终为正方体的边长，故体积为，因，故三棱锥的体积为定值，故②正确；对于③，进行平移到过点，使之具有公共顶点，根据立体图象判断，平面，即无论如何也不可能满足平行或重合于，所以不可能平行于，故③错误；对于④，取的中点，连接，在中，，在中，，又，则，所以，又，，面，面，所以面，又面，所以，因，平面，平面，所以平面，又，则平面，因平面，则平面平面，即在线段上运动，在中，，则当点到点位置时，最大，此时面积最大为，所以④正确；故选：C5．（2025·天津·一模）已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得.【详解】因为的面积为，设的半径为，则，解得，又，所以为等边三角形，则，所以，设球的半径为，所以，所以球的表面积.故选：C6．（2025·天津河东·二模）已知正方体的边长为，其外接球体积与内切球表面积的比值为，则的值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】利用正方体的外接球与内切球的性质结合球体的表面积与体积公式计算即可.【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即，由球体的表面积公式及体积公式可知：.故选：A7．（2025·天津和平·二模）已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】易知四棱锥与四棱锥重叠部分为一个三棱柱加上一个四棱锥，作出图形，结合棱柱和棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】如图，

四棱锥与四棱锥重叠部分为五面体，又该正方体的体积为，即，解得，则，所以，得，又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图，

故该五面体的体积为.故选：D8．（2025·天津·一模）已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由线面垂直的判定与性质证得根据等腰三角形的性质与勾股定理求出矩形的面积，再利用三棱锥的体积公式即可得出的答案.【详解】在矩形中，有，因为平面，所以平面，则平面，因为平面，所以在中，，，则，又因为为边的中点，所以，易知，因为所以，则，因为，则，在中，，则矩形的面积为.因为平面，所以平面，所以多面体的体积为：.故选：A.9．（2025·天津和平·一模）已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正四面体的棱长为，设正四面体内切球球心为，半径为，由等体积法求出，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，即可求出，设正四面体的外接球的半径，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出，即可得出答案．【详解】设正四面体的棱长为，则正四面体的表面积为，由题设底面的外接圆半径，则所以正四面体的高为，其体积为，设正四面体内切球球心为，半径为，解得：，所以，解得：，将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体的最小正方体，正四面体的最小正方体的边长为，如下图，即，所以，体积为，设正四面体的外接球半径为，则正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，所以，所以外接球的体积为，.故选：A.10．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知，先证明面，再由及棱锥和棱柱的体积公式，即可得.【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面，所以面，则上任意一点到面的距离为定值，又，则，由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等，所以.故选：D1