河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测数学试题（学生版+解析版）

郑州市2026年高三年级第一次质量预测数学试题卷注意事项：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第I卷(选择题，共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.A.-2B.-1A.[0,+∞]B.C.RA.6B.±6DPA·PB=()A.16B.32C.485.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),Af(0)=0B.f(2)=07.过点(0,-2)与圆(x-4)²+(y-2)²=4相切的两条直线的夹角为α,则sinα=()AC8.在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为R.已知储液罐外表面积为定值S,当储液罐的体积V取最大 DAD二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.C.S₄=24D.S₂n=22n+¹-2A={1,2,5},事件B={1,3,5},事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),下列结论中正确的是A.B.事件A,B,C两两独立B.若n=2,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.(x²+x+y)的展开式中x⁵y³项的系数是14.已知棱长为√3的正四面体P-ABC的外接球球心为0,,过点E作球O的截面，若截面面积为则直线OE与该截面所成的角的正弦值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：分根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画的关系.(运算结果保留小数点后两位数字)(1)请求出加工时间Y关于零件数x的经验回归方程；(i)对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间?(标准加工时间为120×1.2=144分钟)(ii)若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间?若需调整应调整到多少比较合适?对于一组数据(x₁,y₁),(x₂,y₂),L,(x,,y),其经验回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估16.已知VABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanBtanC=tana=√6,c=3.(1)求角C;线AC,BE上的动点(不包括端点),且CP=BQ=a(0<a<√2),将四边形ABCD沿AB翻折，使EE(1)求证：BD1平面AEC;(2)求线段PQ的长(用a表示);(3)当线段PQ的长最小时，求平面PQA与平面AEC夹角的余弦值.18.已知椭圆经过点左、右焦点分别F(-√3,0),F₂(√3,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PB与x轴相交于点C,直线PA与y轴相交于点D.(i)求证：四边形ABCD的面积为定值；(3)设g(x)=ax-2eˣ+2a,若函数y=f(x)与y=8(x)共有4个不同的零点，是否存在实数a,使郑州市2026年高三年级第一次质量预测数学试题卷注意事项：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第I卷(选择题，共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.A.-2B.-1C.1【解析】所以其虚部为-1.A.[0,+∞]B.C.R【解析】【分析】根据给定条件，化简集合A,B,再利用交集的定义直接求解.【详解】依题意，A={x|y=x²}=R,B={yly=x²}=[0,+],故选：A3.已知单调递减的等比数列{a,}满足a₄=12,a₆=3,则a₅=()A.6【解析】【分析】根据条件求出公比，进而求得答案.又数列{an}是单调递减的等比数列，若,数列{an}的项正负交替，不合题意，古故选：A.4.已知圆O的直径AB=4,动点P与A的距离是它与B的距离的√2倍，当△PAB面积最大时，PA·PB=()A.16B.32【解析】【分析】以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为Y轴建立平面直角坐标系.设动点P(x,y),由PA|=√2|PB|可得动点P的轨迹是以(6,0)为圆心，4√2为半径的圆.根据三角形面积公式可知当△PAB面积最大时，点P的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示.则由题可知A(-2,0),B(2,0),则圆O的方程为：x²+5.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且f(2x-1)为奇函数，则一定有()A.f(0)=0B.f(2)=0C.f(3)=0D.f(4)=0【解析】又∵f(x+2)=f(-x),【答案】D【解析】【分析】利用对称轴得出w=3k+1,结合单调性得出w=1,代入数值可得答案.【详解】因为f(x)的图象关于直线对称，所以,k∈Z,即w=3k+1,7.过点(0,-2)与圆(x-4)²+(y-2)²=4相切的两条直线的夹角为α,则sinα=()【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可.【详解】设A(0,-2),圆(x-4)²+(y-2)²=4的圆心为C(4,2),半径r=2,两切点为D,E,故选：B8.在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为R.已知储液罐外表面积为定值S,当储液罐的体积V取最大值时R=()【答案】C【解析】【分析】设出圆柱的高，根据储液罐的表面积为S,列出方程，表示出圆柱的高，进而表示出储液罐的体积求解.【详解】设圆柱的高为h,则储液罐的表面积为S=2πRh+4πR²,所以 则由得,储液罐的体积所以函数V(R)在定义域上单调递增，9.已知数列{a,}满足aq₁=1,a+1+aₙ=3×2”,设{a}的前n项和为Sₙ,下列结论中正确的是()A.a₂=5C.S₄=24【答案】ABD【解析】【分析】根据递推关系代入即可求解AC,根据递推关系可证明{aₙ-2”}是首项为-1,公比为-1的等比数列，可得a=2”+(-1)",即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD.【详解】当n=1时，可得a₂+a₁=3×2=6,又因为a₁=1,所以a₂=5,故A正确；由an+1+a=3×2”,得an+1=-an+3×2”,又a₁-2¹=1-2=-1,所以数列{aₙ-2”}是以-1为首项，-1为公比的等比数列，故B正确；S₄=(a+a₂)+(a₃+a₄)=3×2所以S₂n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂nS₂n=2¹+(-1)'+2²+(-1)²+2³=2¹+2²+2³+…+22”+(-1)'+(-1)²+(-1)³+故D正确.10.任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},若事件A={1,2,5},事件B={1,3,5},事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),下列结论中正确的是B.事件A,B,C两两独立C.当事件ABC={5}时，D.当事件ABC={1}时，事件C包含10个样本点【答案】AC【解析】【分析】A.可以由古典概型的概率计算判断；B.由事件独立性的判定推断；C.利用题干条件【详解】A,样本空间Ω包含6个样本点，事件A={1,2,5},因此,正确；B,由题意得A∩B={1,5},故代入P(ABC)=P(A)P(B)P(C)得，,解得,正确；D,样本空间Ω仅包含6个样本点，事件C是Ω的子集，不可能包含10个样本点，错误.11.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,若C上存在n个互不重合的点P,P₂,P₃,L,P,满足下列结论中正确的有()A.若n=2,则PP₂|的最小值为4D.若n=4,则|PP|+|P₂P|的最小值为16【解析】【分析】当n=2有P,F,P₂共线，结合抛物线通径的性质判断A;令P(x,y₁),P₂(x₂,y₂),设直线n=4有P₁,F,P₃P(x,y₁),P(x₂,y₂),P₃(x₃,y₃),P(x₄,y4),直线PP₃的方程为x=my+1,直线P₂P₄的方程为令P(x,y₁),P₂(x₂,y₂),而F(1,0),可设直线PP₂的方程为x=ty+1,令P(x,y₁),P₂(x₂,y₂),P₃(x直线P₁P₃的方程为x=my+1,直线P₂P的方程为同B分析得x₁+x₃=4m²+2,所以PP|+|P2₂P|的最小值为16,故D正确.12.已知双曲线C:一条渐近线为x-√3y=0,则C的焦距为【答案】4【解析】【分析】由题意可得m>0,双曲线C的渐近线方程为进而可得m=3,由双曲线性质计算即可求解.【详解】由题意可知，双曲线C的焦点在x轴上，且m>0,已知双曲线则a²=m,b²=1,所以双曲线C的渐近线方程为因为双曲线C的一条渐近线为x-√3y=0,所以m=3,所以双曲线C的焦距为4.故答案为：4.13.(x²+x+y)⁶的展开式中x⁵y³项【答案】60【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式可求答案.【详解】由(x²+x+y⁶=[(x²+x)+y]的展开式的通项公式可得T+=C₆(x²+x)⁶y,令k=3,T₄=C³(x²+x³y³=20x³y³(x+1)³;因为(x+1)³=x³+3x²+3x+1,所以x⁵y³项的系数是3×20=60故答案为：6014.已知棱长为√3的正四面体P-ABC的外接球球心为0,过点E作球O的截面，若截面面积为则直线OE与该截面所成的角的正弦值为【答案】【解析】【分析】以P在底面ABC内的射影Q为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量表示求出E点坐标，再利用截面面积求出截面圆半径以及球心到截面的距离，结合线面角定义即可求得直线OE与该截面所成的角的正弦值为【详解】取AC的中点为F,连接BF,则点P在底面ABC内的射影Q在BF上，且BQ=2QF,所以Q(0,0,0),在Rt△BOQ中，BO²=BQ²+0Q²,即²=1²+(√2--)²,解得过点E作球O的截面，若截面面积为则截面圆半径r满足因此因此球心O到截面距离为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：分根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可以用一元线性回归模型刻画的关系.(运算结果保留小数点后两位数字)(1)请求出加工时间Y关于零件数x的经验回归方程；(i)对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间?(标准加工时间为120×1.2=144分钟)(ii)若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标准时间?若需调整应调整到多少比较合适?附：参考数据：对于一组数据(x₁,y),(x₂,y₂),L,(x,yn),其经验回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估【答案】(1)y=0.67x+54.85【解析】【分析】(1)求出x,y并根据参考数据求出a,b的值，可得经验回归方程；(2)(i)根据回归方程可预测120个零件任务的回归预测时间小于标准时间，(ii)利用预测值将标准时间调整为1.13分/个比较合适.【详解】(1)易所以加工时间y关于零件个数x的经验回归方程是=0.67x+54.85,所以120个零件任务的回归预测时间135.25<144,因此低于现行标准时间.(ii)由于回归预测显示实际所需时间(约135.25分)比标准时间少9分钟，说明按照现行标准，工人很容易拿到奖励(实际效率更高).如果车间希望控制奖励发放比例或更符合实际效率，应考虑调低标,使标准更贴近真实加工能力.16.已知VABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanBtanC=tanB+tanC+1,a=√6,c=3.(1)求角C;【解析】【分析】(1)由题意化简可得·即,根据正弦定理解三角形即可求解；(2)由题意可得N是VABC的重心，即根据三角形面积公式计算即可求解.【小问1详解】在VABC中，由tanBtan∴由正弦定理得∵C>a,∴C>A,两个解均符合题意.【小问2详解】因为VABC为锐角三角形，所以线AC,BE上的动点(不包括端点),且CP=BQ=a(0<a<√2),将四边形ABCD沿AB翻折，使(1)求证：BD⊥平面AEC;(2)求线段PQ的长(用a表示);(3)当线段PQ的长最小时，求平面PQA与平面AEC夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得出AE⊥平面ABCD,再利用线面垂直的性质定理即可；(3)求出,再求出两个平面的法向量，再根据向量夹角和平面角之间的关系求出.【小问1详解】所以四边形ABCD和EFBA是全等的正方形，所以BD⊥AC,AE⊥AB因为平面ABCDI平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,AEc平面ABFE,所以AE⊥平面ABCD,小问2详解】以B为原点，BA,BF,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空则B(0,0,0),A(1,0,0),E(1,1,0),F(0,1,0),C(0,0,1),D(1,0,1),则CA=(1,0,-1),CB=(0,0,-1),BE=【小问3详解】则所以平面PQA与平面AEC夹角的余弦值为所以平面PQA左、右焦点分别为F(-√3,0),F₂(√3,0).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PB与x轴相交于点C,直线PA与Y轴相交于点D.(ii)求△PCD面积的最大值.【答案】(1