2026年高等数学实变函数基础试题及答案

2026年高等数学实变函数基础试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年高等数学实变函数基础试题及答案考核对象：高等院校数学、物理、工程等相关专业本科生题型分值分布：-判断题（共10题，每题2分，总分20分）-单选题（共10题，每题2分，总分20分）-填空题（共10题，每题2分，总分20分）-简答题（共3题，每题4分，总分12分）-应用题（共2题，每题9分，总分18分）总分：100分一、判断题（每题2分，共20分）1.若集合A是可数集，则A的补集是不可数集。2.有界数列必有收敛子列。3.单调递增数列若收敛，则其极限唯一。4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。5.闭区间上的连续函数必有界。6.若E是可测集，则E的补集也是可测集。7.对任意可测集E，有|E|=|E×{0}|，其中|·|表示勒贝格测度。8.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上勒贝格可积。9.单调函数的勒贝格积分与黎曼积分相等。10.若E是可数可测集，则E的勒贝格测度为0。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个集合是可数集？A.自然数集B.有理数集C.实数集D.无理数集2.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与下列哪个性质无关？A.有界性B.单调性C.可积性条件（狄利克雷条件）D.连续性3.下列哪个函数在[0,1]上勒贝格不可积？A.f(x)=1/x（x≠0）B.f(x)=sin(x)C.f(x)=1（常数函数）D.f(x)=x4.若E是可测集，则E的勒贝格测度与下列哪个概念无关？A.外测度B.内测度C.豪斯多夫测度D.勒贝格测度5.下列哪个命题是错误的？A.若E是可数集，则E的勒贝格测度为0。B.若E是可测集，则E的补集也是可测集。C.若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则|f(x)|在[a,b]上勒贝格可积。D.若E是可测集，则E的勒贝格测度等于其外测度。6.下列哪个函数在[0,1]上黎曼不可积但勒贝格可积？A.f(x)=1（常数函数）B.f(x)=sin(1/x)（x≠0）C.f(x)=0（常数函数）D.f(x)=1/x（x≠0）7.若E是可数可测集，则E的勒贝格测度与下列哪个性质无关？A.可数性B.可测性C.测度为0D.完备性8.下列哪个命题是正确的？A.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上勒贝格可积。B.若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则f(x)在[a,b]上连续。C.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上勒贝格可积。D.若f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则f(x)在[a,b]上黎曼可积。9.下列哪个集合是可测集？A.无理数集B.自然数集C.空集D.全体实数集10.下列哪个命题是错误的？A.若E是可测集，则E的补集也是可测集。B.若E是可数集，则E的勒贝格测度为0。C.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上黎曼可积。D.若E是可测集，则E的勒贝格测度等于其外测度。三、填空题（每题2分，共20分）1.若集合A是可数集，则A的勒贝格测度为______。2.有界数列必有______子列。3.单调递增数列若收敛，则其极限唯一，记为______。4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上______可积。5.闭区间上的连续函数必有______。6.若E是可测集，则E的补集也是______。7.对任意可测集E，有|E|=|E×{0}|，其中|·|表示______。8.若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上______可积。9.单调函数的勒贝格积分与______积分相等。10.若E是可数可测集，则E的勒贝格测度为______。四、简答题（每题4分，共12分）1.简述可数集的定义及其性质。2.简述黎曼积分与勒贝格积分的区别。3.简述可测集的定义及其性质。五、应用题（每题9分，共18分）1.设E为[0,1]区间内所有有理数的集合，证明E的勒贝格测度为0。2.设f(x)=x^2在[0,1]上定义，计算f(x)的勒贝格积分。标准答案及解析一、判断题1.×（可数集的补集未必不可数，如自然数集的补集是全体实数的可数子集，但全体实数不可数）2.√（根据波尔查诺定理，有界数列必有收敛子列）3.√（单调递增数列若收敛，其极限唯一）4.√（根据勒贝格积分定理，连续函数在闭区间上黎曼可积，从而勒贝格可积）5.√（根据有界闭区间上连续函数的性质，必有界）6.√（可测集的补集也是可测集）7.×（|E×{0}|=|E|·|{0}|=|E|，与E的可数性无关）8.×（黎曼可积的函数未必勒贝格可积，如狄利克雷函数）9.√（单调函数的黎曼积分与勒贝格积分相等）10.√（可数可测集的勒贝格测度为0）二、单选题1.A（自然数集是可数集）2.D（连续性不是黎曼可积的必要条件）3.A（1/x在[0,1]上无界，不可积）4.C（豪斯多夫测度与勒贝格测度不同）5.B（可测集的补集未必可测，如非测集的补集）6.B（sin(1/x)在[0,1]上黎曼不可积但勒贝格可积）7.D（完备性不是可数可测集的性质）8.C（黎曼可积的函数必勒贝格可积）9.C（空集是可测集）10.B（可数集的勒贝格测度为0，但未必是可数集）三、填空题1.02.收敛3.limsup4.勒贝格5.有界6.可测集7.勒贝格测度8.勒贝格9.黎曼10.0四、简答题1.可数集的定义及其性质：可数集是指能与自然数集一一对应的集合，包括有限集和可数无限集。性质：可数集的勒贝格测度为0，可数集的补集未必不可数。2.黎曼积分与勒贝格积分的区别：黎曼积分基于分割和取点，要求函数在有限个点处间断；勒贝格积分基于测度，对函数的间断点无要求，适用范围更广。3.可测集的定义及其性质：可测集是指其补集是可测集的集合。性质：可测集的勒贝格测度存在，可测集的补集也是可测集，可数可测集的测度为0。五、应用题1.证明E的勒贝格测度为0：-E为[0,1]区间内所有有理数的集合，是可数集。-对任意ε>0，将E中的有理数按序列表{q1,q2,q3,...}，构造覆盖E的集合：{q1,q2,...,qn}⊆[qi-1/2^(i+1),qi+1/2^(i+1)]，每个区间的测度为1/2^(i+1)，总