课时跟踪检测（四） 排列与排列数的应用

课时跟踪检测（四）排列与排列数的应用1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有()A．60种 B．48种C．36种 D．24种解析：选D把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法．2．某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A．24种 B．36种C．48种 D．72种解析：选B若第一棒选A，则第四棒选C，有Aeq\o\al(2,4)种选派方法；若第一棒选B，则有2Aeq\o\al(2,4)种选派方法．由分类加法计数原理知，共有3Aeq\o\al(2,4)＝36种选派方法．3．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为()A．24 B．48C．60 D．96解析：选B先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种排法，再将各位女歌手和她们的指导老师进行全排列，即为三个不同对象进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法．所以不同的排法数N＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝48.故选B.4．2022年11月30日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有()A．72种 B．144种C．36种 D．108种解析：选A由题知，不妨先将神舟十四号三名航天员全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6，再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中．因为神舟十四号三名航天员互不相邻，所以先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上进行排列，有Aeq\o\al(2,3)＝6，最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下，共Aeq\o\al(1,2)＝2.故不同站法有Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(1,2)＝6×6×2＝72（种）．5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比30000大的五位偶数有()A．288个B．192个C．144个D．126个解析：选B个位上是0时，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝72(个)；个位上是2时，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝72个；个位上是4时，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(个)，所以共有符合条件的偶数72＋72＋48＝192(个)．6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有Aeq\o\al(2,4)＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：367．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．解析：满足条件的七位数有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝210(个)．答案：2108．用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种．解析：0夹在1,3之间有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种排法，0不夹在1,3之间又不在首位有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种排法．所以一共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝28种排法．答案：289．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400（种）．(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前四个节目有舞蹈节目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440（种）．1．[多选]有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是()A．共有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法B．男生不在两端共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种排法C．男生甲、乙相邻共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)种排法D．三位女生不相邻共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)种排法解析：选AC有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法，A正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)种排法，B不正确；男生甲、乙相邻，视甲、乙为1人与其余4人全排列，再排甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)种排法，C正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)种排法，D不正确．2．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．解析：(插空法)8名学生的排列方法有Aeq\o\al(8,8)种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为Aeq\o\al(2,9)，由分步乘法计数原理，得总的排法种数为Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)＝2903040.答案：29030403.“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动．某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i＝1，2，…，6))，则棋子就按顺时针方向前进i个格子，一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为________．(用数字作答)解析：根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回到起点①处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为8或16，则3次投掷的点数可以为1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4；2,3,3；4,6,6；5,5,6；当点数为1,1,6；2,2,4；2,3,3；4,6,6；5,5,6时，有5×3＝15种情况；当点数为1,2,5；1,3,4时，有2×Aeq\o\al(3,3)＝12种情况．综上可得不同的走法数为12＋15＝27.答案：274．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有Aeq\o\al(2,2)种排法，再排其他节目有Aeq\o\al(6,6)种排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有Aeq\o\al(6,6)种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有Aeq\o\al(2,7)种排法，所以共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,7)＝30240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有Aeq\o\al(4,4)种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有Aeq\o\al(3,5)种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有Aeq\o\al(2,2)种排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(2,2)＝2880种排法．5．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共有5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置共有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有Aeq\o\al(3,5)种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下