三维设计 数学 选择性必修 第三册 (配人教A版) 全册综合检测

全册综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．Aeq\o\al(2,6)＝()A．30 B．24C．20 D．15解析：选A因为Aeq\o\al(2,6)＝6×5＝30，故选A.2．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4 B．15x4C．－20ix4 D．20ix4解析：选A由题意可知，含x4的项为Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4.3．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解集为()A．{4} B．{14}C．{4,6} D．{14,2}解析：选C由Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)得x＝2x－4或x＋2x－4＝14，解得x＝4或x＝6.经检验知x＝4或x＝6符合题意．4．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为()A．0.24 B．0.26C．0.288 D．0.292解析：选C因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6，所以P＝0.4×0.6×0.4＋0.4×0.4×0.6＋0.6×0.4×0.4＝0.288，故选C.5．已知随机变量X～N(2,1)，则P(0<X<1)≈()(参考数据：若X～N(μ，σ)，P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997)A．0.0148 B．0.1355C．0.1570 D．0.3140解析：选B因为X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，即μ＝2，σ＝1，所以P(μ－σ<X<μ＋σ)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1<X<3))≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<X<4))≈0.954，所以P(0<X<1)＝eq\f(1,2)[P(0<X<4)－P(1<X<3)]≈0.1355，故选B.6．根据下表样本数据x6891012y65432用最小二乘法求得经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋10.3则当x＝4时，y的估计值为()A．6.5 B．7C．7.5 D．8解析：选C因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6＋8＋9＋10＋12,5)＝9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(6＋5＋4＋3＋2,5)＝4，所以4＝9eq\o(b,\s\up6(^))＋10.3，即eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.7，所以回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3，代入x＝4，得y＝7.5，故选C.7．掷一枚硬币，记事件A＝“出现正面”，B＝“出现反面”，则有()A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B)C．A与B不相互独立 D．P(AB)＝eq\f(1,4)解析：选C由于事件A和事件B是同一个试验的两个结果，且不可能同时发生，故A与B为互斥事件．∵P(AB)＝0≠P(A)·P(B)＝eq\f(1,4)，∴A与B不相互独立．8．用1,2,3,4,5,6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是()A．24 B．32C．36 D．48解析：选A先排5,6，方法有Aeq\o\al(2,2)＝2种；将1,2捆绑在一起，方法有Aeq\o\al(2,2)＝2种；将1,2这个整体和3以及4全排列，方法有Aeq\o\al(3,3)＝6种，所以六位数的个数为Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24，故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，下列说法正确的是()A．甲、乙、丙三人必须参加，有36种选法B．甲、乙、丙三人不能参加，有126种选法C．甲、乙、丙三人只能有一人参加，有630种选法D．甲、乙、丙三人至少有一人参加，有666种选法解析：选ABDA中，甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有Ceq\o\al(2,9)＝36种不同的选法．B中，甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126种不同的选法．C中，甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有Ceq\o\al(1,3)＝3种选法，再从另外的9人中选4人有Ceq\o\al(4,9)种选法，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378种不同的选法．D中，法一：(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)种不同的选法；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,9)种不同的选法；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,9)种不同的选法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,9)＝666种不同的选法．法二：(间接法)12人中任意选5人共有Ceq\o\al(5,12)种，甲、乙、丙三人不能参加的有Ceq\o\al(5,9)种，所以共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,9)＝666种不同的选法．10．下列说法中，正确的是()A．回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少过一个样本点B．根据列联表中的数据计算得出χ2≥6.635，而P(χ2≥6.635)≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系C．χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当χ2的值很小时可以推断两个变量不相关D．某项测量结果ξ服从正态分布N(1，a2)，则P(ξ≤5)＝0.81，则P(ξ≤－3)＝0.19解析：选BD回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))恒过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，但不一定要过样本点，故A错误；由χ2≥6.635，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故B正确；χ2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故C错误；∵P(ξ≤5)＝0.81，∴P(ξ>5)＝P(ξ<－3)＝1－0.81＝0.19，故D正确．11．若f(x)，g(x)的图象如图所示，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ1>0，σ2>0)，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，则下列结论正确的是()附：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973.A．P(X>1)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y<－\f(1,2)))B．σ1<σ2C．P(X>2)＝0.15865D．P(0.7<Y≤1.3)＝0.0428解析：选AC因为μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，所以P(X>1)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Y<－\f(1,2)))＝0.5，故A正确；σ1>σ2，故B错误；因为μ1＝1，σ1＝1，所以P(0<X<2)＝0.6827，P(X>2)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X<2)]＝eq\f(1,2)(1－0.6827)＝0.15865，故C正确；因为μ2＝－0.5，σ2＝0.6，所以P(0.7<Y≤1.3)＝P(－0.5＋2×0.6<Y≤－0.5＋3×0.6)＝eq\f(1,2)×(0.9973－0.9545)＝0.0214，故D错误．故选A、C.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)12．任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E(X)＝________，D(X)＝________.解析：由题意得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,7)))，所以E(X)＝eq\f(4,7)，D(X)＝eq\f(24,49).答案：eq\f(4,7)eq\f(24,49)13．端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随机选取两个粽子，事件A＝“取到的两个馅不同”，事件B＝“取到的两个馅分别是白味和豆沙”，则P(B|A)＝________.解析：根据题意，事件A的所有可能有：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＝26种；事件B的所有可能有：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)＝8种．故P(B|A)＝eq\f(8,26)＝eq\f(4,13).答案：eq\f(4,13)14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．解析：∵甲队以4∶1获胜，即甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072；若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108.∴甲队以4∶1获胜的概率P＝0.072＋0.108＝0.18.答案：0.18四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,\r(x))))n展开式中的第7项是常数项．(1)求n；(2)求展开式中有理项的个数．解：(1)二项式展开式通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(3,x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2,\r(x))))r＝(－1)r·2r·Ceq\o\al(r,n)xeq\f(2n－5r,6)，∵第7项为常数项，∴2n－5×6＝0，∴n＝15.(2)由(1)知Tr＋1＝(－1)r·2r·Ceq\o\al(r,15)·xeq\f(30－5r,6)，若Tr＋1为有理项，则eq\f(30－5r,6)＝5－eq\f(5,6)r为整数，∴r为6的倍数，∵0≤r≤15，∴r＝0,6,12，共三个数，∴展开式中有理项共有3项．16．(15分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：分数段60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班/人36111812乙班/人48131510现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．(1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面列联表，并试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率是否有帮助．单位：人班级优秀合计优秀人数(Y＝0)非优秀人数(Y＝1)甲班(X＝0)乙班(X＝1)合计解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30，优秀率为eq\f(30,50)＝60%，乙班优秀人数为25，优秀率为eq\f(25,50)＝50%，所以甲、乙两班优秀率分别为60%和50%.(2)列联表补充如下：单位：人班级优秀合计优秀人数(Y＝0)非优秀人数(Y＝1)甲班(X＝0)302050乙班(X＝1)252550合计5545100零假设为H0：加强“语言阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助．因为χ2＝eq\f(100×30×25－25×202,55×45×50×50)≈1.010<3.841＝x0.05，所以根据小概率α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断出H0不成立，因此认为H0成立，即加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率没有帮助．17．(15分)近年来，随着互联网的发展，各种类型的网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省的调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数xi，yi(i＝1,2,3,4,5)，数据如下表所示.城市1城市2城市3城市4城市5A指标数x24568B指标数y34445经计算得：eq\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝2eq\r(5)，eq\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)＝eq\r(2)，eq\r(\f(1,5)\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝2.(1)试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)建立y关于x的经验回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值；(3)若城市的网约车A指标数x落在区间(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)的右侧，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A指标数x回落到区间(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)之内．现已知目前该城市网约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由．附：样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).eq\r(0.3)≈0.55，eq\r(0.9)≈0.95.解：(1)由已知数据得eq\x\to(x)＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(3＋4＋4＋4＋5,5)＝4，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，所以样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(6,2\r(5)×\r(2))＝eq\f(3,\r(10))≈0.95.因为r>0.75，所以y与x具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合．(2)由(1)可知eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)x1－\x\to(x)2)＝eq\f(6,20)＝0.3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－0.3×5＝2.5，所以y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x＋2.5.当x＝7时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3×7＋2.5＝4.6.(3)(eq\x\to(x)－3s，eq\x\to(x)＋3s)＝(－1,11)，而13>11，故目前该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门要介入进行治理．18．(17分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所得奖金的期望；(2)要使所得奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？解：(1)按方案a抽奖一次，获得奖金的概率P＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次．此时中奖次数服从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10))).设所得奖金为w1元，则Ew1＝3×eq\f(1,10)×30＝9.即顾客A所得奖金的期望为9元．(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则方案a中奖的次数服从二项分布B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,10)))，方案b中奖的次数服从二项分布B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,10)))，设所得奖金为w2元，则Ew2＝2×eq\f(1,10)×30＋1×eq\f(3,10)×15＝10.5.若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10))).设所得奖金为w3元，则Ew3＝2×eq\f(3,10)×15＝9.结合(1)可知，Ew1＝Ew3<Ew2.所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．19．(17分)(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每