章末综合检测（二） 随机变量及其分布

章末综合检测（二）随机变量及其分布A卷——基本知能盘查卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A．取到球的个数 B．取到红球的个数C．至少取到一个红球 D．至少取得一个红球的概率解析：选B随机变量是随着实验结果变化而变化的变量，只有B满足．2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是()A．25 B．10C．9 D．5解析：选C由题意，由于是有放回地取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4,3＋3＝6,4＋4＝8,5＋5＝10,5个不同的和；若两次取球为不同号码，则还有1＋2＝3,1＋4＝5,2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．3．某同学通过计算机测试的概率为eq\f(1,3)，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,27) D.eq\f(2,27)解析：选A连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为p＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).4．已知ξ的分布列为ξ－1012Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)则ξ的均值为()A．0 B．－1C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,4)解析：选DE(ξ)＝－1×eq\f(1,4)＋0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,8)＝eq\f(1,4).5．如果随机变量X表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X的均值为()A．2.5 B．3C．3.5 D．4解析：选C∵P(X＝k)＝eq\f(1,6)(k＝1,2,3，…，6)，∴E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋…＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)×(1＋2＋…＋6)＝eq\f(1,6)×21＝3.5.6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有eq\f(1,5)的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为eq\f(1,2)，其余学生的近视率约为eq\f(3,8)，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(7,16)C.eq\f(2,5) D.eq\f(7,8)解析：选C设事件A为“任意调查一名学生，每天玩手机超过1h”，事件B为“任意调查一名学生，该学生近视”，则P(A)＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(4,5)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(3,8)，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,8)＝eq\f(2,5).故选C.7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则D(3Y＋1)＝()A.eq\f(8,3) B．4C．8 D．10解析：选C由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，所以p＝eq\f(1,3)，则Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，故D(Y)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9)，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×eq\f(8,9)＝8.8．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,25) D.eq\f(6,25)解析：选D由a4＝2，a7＝－4可得等差数列{an}的通项公式为an＝10－2n(n＝1,2，…，10)，{an}的前10项分别为8,6,4,2,0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意，三次取数相当于三重伯努利试验，在每次试验中取得正数的概率为eq\f(2,5)，取得负数的概率为eq\f(1,2)，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(6,25).二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知随机变量ξ的分布如下：ξ123Peq\f(1,4)1－eq\f(3,2)a2a2则实数a的值为()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)解析：选BC由随机变量ξ的分布知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤1－\f(3,2)a≤1，,0≤2a2≤1，,\f(1,4)＋1－\f(3,2)a＋2a2＝1，))解得a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,4).10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A1，A2，A3表示事件“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，下列结论正确的是()A．事件B与事件A1不相互独立B．A1，A2，A3是两两互斥的事件C．P(B|A1)＝eq\f(7,11)D．P(B)＝eq\f(3,5)解析：选ABC由题意知，A1，A2，A3是两两互斥事件，且P(A1)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，所以P(B|A1)＝eq\f(PBA1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(7,11),\f(1,2))＝eq\f(7,11)，P(B|A2)＝eq\f(6,11)，P(B|A3)＝eq\f(6,11)，所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(6,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(6,11)＝eq\f(13,22).所以A、B、C正确，D不正确．11.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是()A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99解析：选ABC由题图可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A正确，C正确；因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即eq\f(1,σ2\r(2π))＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)12．某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为eq\f(1,10)，3个水龙头同时被打开的概率为________．解析：对5个水龙头的处理可视为做5重伯努利试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或1－0.1＝0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为Ceq\o\al(3,5)×0.13×0.92＝0.0081.答案：0.008113．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝________.解析：因为P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.答案：0.1614．设一次试验成功的概率为p，进行100次重伯努利试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________．解析：成功次数X～B(100，p)，所以D(X)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25，当且仅当p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)时，成功次数的方差最大，其最大值为25.答案：eq\f(1,2)25四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为Aeq\o\al(2,6)＝30，根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).16．(15分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)设“甲、乙都不被选中”为事件eq\x\to(C)，则P(eq\x\to(C))＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).∴所求概率为P(C)＝1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(B|A)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).17．(15分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,4)·C\o\al(3－k,3),C\o\al(3,7))(k＝0,1,2,3)．所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(12,7).18．(17分)(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．解：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC＋eq\x\to(A)BC＋Aeq\x\to(B)C＋ABeq\x\to(C))＝P(ABC)＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)X的取值可以为0,10,20,30.P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.44，P(X＝20)＝(1－0.5)×(1－0.4)×0.8＋0.5×(1－0.4)×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.4×(1－0.8)＝0.34，P(X＝30)＝(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.8)＝0.06.所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.19．(17分)五一劳动节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费不少于600元即可抽奖，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中一次性摸出3个球，中奖规则为：若摸到3个红球，则享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．(1)若两位顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．解：(1)选择方案一时，若享受免单优惠，则需要摸出3个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P＝P(A)·P(A)＝eq\f(1,14400).(2)若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X可能的取值为0,600,700,1000.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120)，P(X＝600)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(X＝700)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(X＝1000)＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，故X的分布列为X06007001000Peq\f(1,120)eq\f(7,40)eq\f(21,40)eq\f(7,24)所以E(X)＝0×eq\f(1,120)＋600×eq\f(7,40)＋700×eq\f(21,40)＋1000×eq\f(7,24)＝eq\f(4585,6).若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z(单位：元)，则Z＝1000－200Y，由已知可得Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,10)))，故E(Y)＝3×eq\f(3,10)＝eq\f(9,10)，所以E(Z)＝E(1000－200Y)＝1000－200E(Y)＝820.因为E(X)＜E(Z)，所以该顾客选择方案一更合算．B卷——高考能力达标卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B.2．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16 B．11C．2.2 D．2.3解析：选A由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.3．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p的值分别为()A．12,0.4 B．12,0.6C．6,0.4 D．6,0.6解析：选CE(ξ)＝np＝2.4，D(ξ)＝np(1－p)＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.4．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为eq\f(2,3)，乙命中目标的概率为eq\f(4,5)，设命中目标的人数为X，则D(X)等于()A.eq\f(86,225) B.eq\f(259,675)C.eq\f(22,15) D.eq\f(15,22)解析：选AX的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15)，所以E(X)＝eq\f(22,15)，D(X)＝eq\f(86,225).5．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(5,9)解析：选D记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,9).6．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率为0.5，电话C，D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，则P(ξ＝2)等于()A．0.47 B．0.38C．0.37 D．0.25解析：选CP(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×(0.5)2×(0.6)2＋Ceq\o\al(2,2)×(0.4)2×(0.5)2＋Ceq\o\al(1,2)×(0.5)2×Ceq\o\al(1,2)×0.4×0.6＝0.37.7．一台机床有eq\f(1,3)的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为eq\f(3,10)，加工零件B时，停机的概率是eq\f(2,5)，则这台机床停机的概率为()A.eq\f(11,30) B.eq\f(7,30)C.eq\f(7,10) D.eq\f(1,10)解析：选A假设总时间为1，则在1时间内，加工零件A停机的概率是eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,10)，加工零件B停机的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以这台机床停机的概率是eq\f(1,10)＋eq\f(4,15)＝eq\f(11,30).8．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为eq\f(1,5)，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1000元．小王购买一套价格为2400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ(元)，则E(ξ)等于()A．1850 B．1720C．1560 D．1480解析：选A根据题意知，ξ的可能取值为2450,1450,450，－550，且P(ξ＝2450)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)，P(ξ＝1450)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(48,125)，P(ξ＝450)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))＝eq\f(12,125)，P(ξ＝－550)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3＝eq\f(1,125)，∴E(ξ)＝2450×eq\f(64,125)＋1450×eq\f(48,125)＋450×eq\f(12,125)＋(－550)×eq\f(1,125)＝1850.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．已知ξ是离散型随机变量，则下列结论正确的是()A．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|ξ|≤\f(1,3)))≤Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ2≤\f(1,3)))B．(E(ξ))2≤E(ξ2)C．D(ξ)＝D(1－ξ)D．D(ξ2)＝D((1－ξ)2)解析：选ABC在A中，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|ξ|≤\f(1,3)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤ξ≤\f(1,3)))≤Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ2≤\f(1,3)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)≤ξ≤\f(\r(3),3)))，故A正确；在B中，由数学期望的性质得(E(ξ))2≤E(ξ2)，故B正确；在C中，由方差的性质得D(ξ)＝D(1－ξ)，故C正确；在D中，D(ξ2)≠D((1－ξ)2)＝4D(ξ)＋D(ξ2)，故D错误．故选A、B、C.10．已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，i＝1,2，…，8，则下列结论正确的是()A．A1和A2是互斥事件 B．P(A2)＝eq\f(1,4)C．A2与A5不相互独立 D．P(A5|A2)＝eq\f(1,7)解析：选BCD显然事件A1和事件A2可能同时发生，故A错误；由题意知P(A2)＝eq\f(C\o\al(1,2)A\o\al(7,7),A\o\al(8,8))＝eq\f(1,4)，故B正确；P(A5)＝eq\f(C\o\al(1,2)A\o\al(7,7),A\o\al(8,8))＝eq\f(1,4)，P(A2A5)＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(6,6),A\o\al(8,8))＝eq\f(1,28)，显然P(A2A5)≠P(A2)P(A5)，所以A2与A5不相互独立，故C正确；P(A5|A2)＝eq\f(PA2A5,PA2)＝eq\f(1,7)，故D正确．故选B，C，D.11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的是()A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq\f(3,5)B．从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为eq\f(4,3)C．现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为eq\f(2,5)D．从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为eq\f(26,27)解析：选ABD恰有一个白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故A正确；每次任取一球，取到红球次数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差为6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故B正确；设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5)，故C错误；每次取到红球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到红球的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故D正确．三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)12．一道有5个选项的试题，其中只有一个选项正确，假定应考人知道正确答案的概率为p.如果他最后选对了，那么他确实知道答案的概率是________．解析：设A＝{知道答案}，B＝{选择正确}，由题意可知P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝1，P(AB)＝P(A)＝p.由全概率公式：P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|eq\x\to(A))P(eq\x\to(A))＝p＋eq\f(1,5)(1－p)＝eq\f(4p＋1,5)，得到：P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(5p,4p＋1).答案：eq\f(5p,4p＋1)13．设随机变量ξ的分布列为ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2p,3)则ξ的数学期望的最小值是________．解析：E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又因为1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2p,3)≥0，所以0≤p≤eq\f(3,2).所以当p＝eq\f(3,2)时，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．(2024·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为____________．解析：设甲在四轮游戏中的得分分别为X1，X2，X3，X4，四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率P(Xk＝1)＝eq\f(6,4×4)＝eq\f(3,8)，所以E(Xk)＝eq\f(3,8)(k＝1,2,3,4)．从而E(X)＝E(X1＋X2＋X3＋X4)＝eq\i\su(k＝1,4,E)(Xk)＝eq\i\su(k＝1,4,)eq\f(3,8)＝eq\f(3,2).记pk＝P(X＝k)(k＝0,1,2,3)．若甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8，所以p0＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24).若甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6，所以p3＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24).而X的所有可能取值是0,1,2,3，故p0＋p1＋p2＋p3＝1，p1＋2p2＋3p3＝E(X)＝eq\f(3,2).所以p1＋p2＋eq\f(1,12)＝1，p1＋2p2＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,2)，两式相减即得p2＋eq\f(1,24)＝eq\f(1,2)，故p2＋p3＝eq\f(1,2).所以甲的总得分不小于2的概率为p2＋p3＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数，(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X为3个数中两数相邻的组数，如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)．解：(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，所以P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)X的取值为0,1,2，P(X＝1)＝eq\f(2×6＋6×5,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(7,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12).P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(5,12)，所以X的分布列为X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)数学期望E(X)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).16．(15分)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82,70,58,79,61,82,79,61,58.(1)计算样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2；(2)若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数eq\x\to(x)和样本方差s2，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？参考数据：P(|X－μ|<1.3σ)≈0.8，P(|X－μ|<1.6σ)≈0.9.解：(1)由题意可得，eq\x\to(x)＝eq\f(1,9)×(82＋70＋58＋79＋61＋82＋79＋61＋58)＝70，s2＝eq\f(1,9)×[(82－70)2＋(70－70)2＋(58－70)2＋(79－70)2＋(61－70)2＋(82－70)2＋(79－70)2＋(61－70)2＋(58－70)2]＝100，所以样本平均数为70，样本方差为100.(2)因为得分X服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝eq\x\to(x)＝70，σ2＝s2＝100，则σ＝10，所以X～N(70，102)．又P(|X－μ|<1.3σ)≈0.8，即|X－70|<13⇒57<X<83，所以P(57<X<83)≈0.8.因为前50名的作品作者评奖总共50篇，获奖率为0.1.因为P(57<X<83)≈0.8，则1－P(57<X<83)≈0.2，所以P(X<57)＝P(X>83)≈0.1，即评奖的分数线约为83分．17．(15分)某汽车4S店的销售员的月工资由基础工资和绩效工资两部分组成，基础工资为t(单位：元)，绩效工资如下表：月售车台数01234≥5绩效工资00.1t0.3t0.5t0.8t1.2t根据以往销售统计，该4S店平均一名销售员月售车台数的概率分布如下表：月售车台数01234≥5概率0.320.280.130.120.090.06(1)求该4S店一名销售员的绩效工资大于0.4t的概率；(2)若已知该4S店一名销售员上个月工资大于1.2t，求该销售员上个月卖出去3台车的概率；(3)根据调查，同行业内销售员月平均工资为8000元，要使该4S店销售员的月工资的期望不低于行业平均水平，基础工资至少应定为多少？(精确到百位)解：(1)设事件A为“该4S店一名销售员的绩效工资大于0.4t”，则事件A等价于“该销售员月售车台数不小于3”，P(A)＝0.12＋0.09＋0.06＝0.27.(2)设事件B为“该4S店一名销售员上个月工资大于1.2t”，事件C为“该销售员上个月卖出去3台车”，则P(BC)＝P(C)＝0.12，P(B)＝0.13＋0.12＋0.09＋0.06＝0.4，故P(Ceq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(B)))＝eq\f(PBC,PB)＝0.3.(3)该4S店一名销售员月工资X的分布列为Xt1.1t1.3t1.5t1.8t2.2tP0.320.280.130.120.090.06所以E(X)＝0.32t＋0.28×1.1t＋0.13×1.3t＋0.12×1.5t＋0.09×1.8t＋0.06×2.2t＝1.271t，由1.271t≥8000，得t≥6300，故基础工资至少应定为6300元．18．(17分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解：设Y表示顾客办