有理数的乘除运算（第1课时）-北师大版数学七年级上册导学案

有理数的乘除运算（第1课时）——北师大版数学七年级上册导学案一、教学内容分析  本节课出自北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》的第九节，是学生在掌握了有理数加减法及乘除法意义基础上的自然延伸与综合构建。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养视角审视，本课不仅是运算技能的单纯训练场，更是发展学生“运算能力”、“抽象能力”和“模型观念”的关键载体。知识技能图谱上，它要求学生从具体实例中抽象出有理数乘除的运算法则，特别是符号法则，并能够熟练进行混合运算，这构成了整个初中代数运算的基石，其熟练度与准确度直接关系到后续整式、分式、方程的学习。过程方法路径上，课标强调“注重在真实情境中理解运算的意义”，这提示我们应将运算规则的教学转化为一场探索规律的发现之旅，引导学生经历“观察特例—归纳猜想—验证解释—推广应用”的完整数学探究过程，将抽象的法则具象化、活动化。素养价值渗透则在于，通过对“负负得正”等法则的合理解释，培养学生严谨求实的科学态度和逻辑推理能力，理解数学规则并非凭空规定，而是源于对客观世界数量关系的一致性与简洁性追求，从而感悟数学的理性之美。  基于“以学定教”原则，进行立体化学情研判。已有基础与障碍方面，学生已熟悉正数的乘除运算，并初步建立了有理数的概念，但将运算范围扩展到全体有理数时，“符号”成为全新的、也是最易混淆的认知障碍。他们可能机械记忆“同号得正，异号得负”，但对其内在逻辑缺乏理解，在复杂情境或混合运算中容易与加减法符号规则混淆。同时，小学的运算律知识可能产生正迁移，但也需验证其在有理数范畴的普适性。过程评估设计将贯穿课堂始终：在导入环节通过情境问题探查学生的前概念；在新授环节通过小组讨论中的发言和质疑，观察其归纳与推理过程；在巩固环节通过分层练习的完成情况，精准诊断不同学生的掌握程度。教学调适策略上，对理解较慢的学生，提供更多直观的生活实例（如方向、负债模型）和具体数字计算作为“脚手架”；对思维敏捷的学生，则引导其尝试用字母表征一般规律，或探讨法则的数学本质，满足其深度学习的需求。二、教学目标  知识目标：学生能够准确叙述有理数乘法与除法的运算法则（特别是符号法则），理解除法可以转化为乘法的内在联系（除以一个数等于乘它的倒数），并能在混合运算中正确运用运算律简化计算，最终建构起清晰的有理数乘除运算认知结构。能力目标：学生通过从具体算例中观察、比较、归纳出一般规律的活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力；在面对含有负数的四则混合运算时，能够灵活、准确地选择运算顺序和策略，提升运算的熟练度与策略性。情感态度与价值观目标：学生在探索“负负得正”等规律的过程中，体验数学规则建立的合理性与简洁性，克服对符号运算的畏惧感，增强学习数学的信心；在小组协作探究中，养成乐于分享、认真倾听、敢于质疑的学术交流习惯。科学（学科）思维目标：重点发展学生的抽象概括思维与模型思想。引导其从大量具体数值计算中剥离出本质的符号规律，完成从算术思维到代数思维的初步过渡；并学会将实际情境中的连续变化问题（如温度变化、水位升降）转化为有理数乘除运算模型进行解决。评价与元认知目标：学生能够运用教师提供的“运算步骤自查表”或同学互评量规，对自身或他人的计算过程进行初步检验与错因分析；在课堂小结时，能够反思本节课探索新知的主要路径（从特殊到一般，化归转化），初步形成对数学学习方法的元认知意识。三、教学重点与难点  本课的教学重点是有理数乘法和除法的运算法则（尤其是符号确定法则）的理解与熟练应用。确立依据在于，该法则是整个有理数乘除运算的“宪法”，是进行一切相关计算的逻辑起点和根本遵循。从课标角度看，它属于必须掌握的“大概念”；从学业评价看，它是各类考题的基础核心，无论是直接考察计算还是嵌入应用题中，符号处理的正确与否直接决定成败，体现了最基础的运算能力立意。  本课的教学难点有二：一是对乘法法则中“负负得正”的合理性理解；二是乘除混合运算中灵活、准确地确定运算顺序与符号。预设依据首先来自学情分析：“负负得正”与学生已有的正数运算经验存在认知跨度，缺乏直观的生活模型完全对应，容易导致死记硬背。其次来自常见错误分析：在混合运算中，学生极易将乘除的符号法则与加减混淆，或在处理诸如“2÷1/3×(4)”这类题目时，对运算顺序和倒数转换出现连环失误。突破方向在于，通过设计连贯的、有启发性的实例链（如从正数乘正数，到正数乘负数，再到负数乘负数），引导学生在观察算式中因数的变化与积的变化之间的恒定关系中，自己“发现”规律，从而在心理上接纳它；对于混合运算，则需强化“先确定符号，再计算数值”、“除法化乘法，带分数化假分数”等程序性策略的训练与反思。四、教学准备清单  1.教师准备1.1媒体与教具：制作交互式课件，包含引入情境动画、规律探索的动态算式演示、分层练习的即时反馈功能。1.2学习材料：设计并印制《课堂探究学习任务单》（内含引导性问题、探索表格、分层练习区）、小组讨论记录卡、运算步骤自查小贴士。2.学生准备2.1知识预备：完成课前微预习，回顾小学乘除法意义、倒数概念，并尝试思考“(2)×3”可能表示什么含义。2.2学具：携带常规文具，鼓励使用不同颜色笔进行步骤划分和符号标注。3.环境布置3.1座位安排：课桌椅按46人异质小组进行排列，便于开展合作探究与互评。3.2板书记划：黑板划分为“法则发现区”、“核心要点区”、“例题演算区”和“学生作品展示区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设，提出问题：“同学们，想象一下，如果未来我们掌握了控制天气的技术。假设现在室外温度是0℃，我们启动一台‘快速制冷机’，它能以每小时让温度下降2℃的速度工作。那么，3小时后，温度会变成多少？谁能列出算式？”（预设学生列出：02×3或直接(2)×3）。“好，如果是‘快速制热机’，以每小时升温2℃的速度工作，3小时后呢？”（列式：2×3）。“那如果让‘制冷机’倒着工作，也就是时间倒流回3小时前，温度反而比现在高还是低？该怎么用算式表示这个‘倒流制冷’的效果呢？”（引出(2)×(3)）。今天，我们就一起来破解这些带有‘方向’和‘时间流向’的乘法奥秘——有理数的乘除运算。  1.1唤醒旧知，明确路径：“要解决这些新问题，我们的老朋友——正数的乘除法能给我们什么启发？我们先从最简单的‘升温’模型回顾起，然后一步步探索当因数带上‘’号后，积和商会如何变化。本节课，我们将像数学家一样，通过观察、猜想、验证，自己总结出运算法则，并学会用它来解决实际问题。”第二、新授环节  本环节以“支架式教学”理念展开，设计层层递进的探究任务，引导学生在活动中主动建构知识。任务一：重温正数运算，搭建认知起点教师活动：教师在“例题演算区”板书几组正数乘除计算题，如4×5=，12÷3=。通过提问引导：“这些计算对我们来说轻而易举。谁能说说，在‘4×5=20’这个式子里，数字‘4’、‘5’和‘20’分别叫什么名称？它们之间最基本的关系是什么？”以此复习乘数、被乘数、积及乘除互逆关系。接着，话锋一转：“如果我把其中一个因数换成负数，比如4×(5)，你觉得积会和20有什么不同？大胆猜一猜，并说说你的理由。别急着算，我们先找找感觉。”学生活动：学生快速口答正数计算，复习相关名称和关系。对于4×(5)的猜想，学生可能基于导入情境（制冷）说出“会变冷”、“结果应该是负的”等直观感受，也可能有学生猜测“还是20？”。学生进行短时间同桌交流，分享各自的初步猜想。即时评价标准：1.能否准确回忆乘除法各部分的名称及互逆关系。2.在面对新算式时，能否主动联系已有经验（如情境模型）进行合理猜想，而非沉默或完全无依据猜测。3.在交流中，是否能清晰地表达自己的猜想理由。形成知识、思维、方法清单：★乘法与除法的基本关系：因数×因数=积，被除数÷除数=商，乘与除互为逆运算。这是所有运算推理的基石。▲猜想的价值：面对未知问题时，基于已有经验和直观进行合理猜想，是数学探索的第一步。教师要鼓励所有合理的猜想，保护学生的探究欲望。（教师提示：猜想不必一开始就正确，关键是启动思考。）任务二：探索异号两数相乘的规律教师活动：提供“脚手架”：“大家的直觉很敏锐，都感觉到符号会起作用。我们来具体研究一下。计算这组算式：①3×2=6；②3×(2)=？；③(3)×2=？；④(3)×(2)=？。先看①和②，第一个因数都是3，第二个因数从2变成了2，积会如何变化？”引导学生计算3×(2)可以理解为3个2相加，即(2)+(2)+(2)=6。同样方法处理(3)×2。然后追问：“观察①③、②④，以及我们刚算的②和③，你能发现符号之间有什么规律吗？先别管(3)×(2)。”组织小组讨论，并要求将发现记录在《任务单》的表格中。学生活动：学生在教师引导下，通过将乘法转化为同数连加（这是他们熟悉的知识锚点）计算出3×(2)=6，(3)×2=6。随后小组合作，对比分析这几组算式中因数的符号与积的符号、绝对值之间的关系。他们可能会发现：“正数乘负数，积是负数”、“负数乘正数，积也是负数”、“积的绝对值好像就是两个因数绝对值的乘积”。即时评价标准：1.能否正确将“乘一个负数”转化为“连续加同一个负数”来完成计算，体现出对乘法意义的理解。2.在小组讨论中，能否通过具体算例的比较，聚焦于符号与绝对值两个维度进行观察。3.小组记录是否清晰，能否初步用语言描述所发现的规律（不要求绝对严谨）。形成知识、思维、方法清单：★异号两数相乘法则：异号两数相乘，积为负，并把绝对值相乘。（这是本课第一个关键法则，必须从算理上理解，而非死记。）▲转化的思想：将新问题（有理数乘法）转化为已解决的问题（同号加法）是重要的数学策略。从特殊到一般：通过有限的、具体的例子，寻找共通的模式，是归纳推理的典型过程。任务三：挑战“负负得正”，理解核心法则教师活动：这是突破难点的关键步骤。“最神奇的来了，(3)×(2)等于多少？我们还能用连加解释吗？（稍作停顿，让学生感到挑战）换个角度想想：我们已经知道(3)×2=6。如果第二个因数2再减少1，变成1，根据我们刚才发现的规律，(3)×1应该等于多少？（3）如果再减少1，变成0呢？（0）那么，从(3)×2=6开始，随着第二个因数每次减1，积是怎么变化的？（从6，到3，到0，每次增加3）好，按照这个变化规律，当第二个因数从0再减1，变成1时，积应该从0变成多少？（+3）再从1减到2呢？（+6）。看，我们通过观察算式中因数的连续变化，推理出了(3)×(2)=+6！”教师将此推理过程用数轴或表格动态演示。“现在，结合之前的发现，谁能完整地总结有理数乘法的法则？”学生活动：学生跟随教师的引导，进行思维接力。他们理解并认同从(3)×2到(3)×(2)的推理过程，感受积随着一个因数减小而递增的规律。在“恍然大悟”后，尝试与同伴合作，用精炼的语言概括法则：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。”学生会特别关注“负负得正”这一结论，并试图用自己的话解释其合理性。即时评价标准：1.能否理解并跟上教师提供的连续性推理思路，表现出逻辑的跟随能力。2.在小组概括法则时，语言是否准确、完整。3.对“负负得正”这一规律，是否表现出从疑惑到接纳的情感转变。形成知识、思维、方法清单：★有理数乘法法则（完整版）：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。（这是本课最核心的法则，需通过多元方式内化。）★“负负得正”的合理解释：除了上述连续性推理，还可以从运算律的保持（如分配律）等角度说明其规定的一致性。对于七年级学生，重在感受其“合理”，而非严格证明。▲数感与规律洞察：通过观察数列或算式的变化趋势进行推理，是一种重要的数学直觉和能力。任务四：类比迁移，自主归纳除法法则教师活动：“乘法的秘密被我们揭开了，那除法呢？大家还记得除法和乘法是好朋友（逆运算）吗？请根据乘法算式写出对应的除法算式，比如由3×(2)=6，可以写出(6)÷3=?和(6)÷(2)=?。请大家以小组为单位，完成《任务单》上的对应表格，看看谁能最快发现除法运算的符号规律。”教师巡视，重点关注学生是否利用乘除互逆关系进行推导，并对有困难的小组进行点拨：“看看积的符号和因数的符号，能决定商的符号吗？”学生活动：学生利用乘除互逆关系，由已知的乘法算式推导出相应的除法算式结果。例如，由(3)×4=12，得到(12)÷(3)=4，(12)÷4=3。通过大量类似例子的计算与对比，自主归纳出：“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非零数都得0。”并发现除法法则在“符号确定”上与乘法法则完全一致。即时评价标准：1.能否主动、正确地运用乘除互逆关系进行算式转换与计算。2.归纳出的除法法则表述是否准确，特别是“0除以任何非零数”这一条件的表述是否完整。3.小组内是否形成了有效的分工与合作（如一人计算、一人记录、一人核对）。形成知识、思维、方法清单：★有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。（强调与乘法法则的相似性，便于记忆。）▲类比与迁移：通过类比乘法法则来学习除法法则，是高效的学习方法。乘除互逆关系的应用：这是沟通乘除运算、检验计算结果的重要工具。任务五：打通隔阂，掌握运算统一策略教师活动：提出更高层次的整合性问题：“观察除法的法则，大家觉得记两条法则（乘法和除法）方便，还是记一条更方便？”引出“除以一个数等于乘这个数的倒数”这一统一策略。“也就是说，(12)÷4可以转化为(12)×(1/4)。这样一来，所有的除法运算都可以转化为乘法运算，我们只需要牢牢掌握乘法法则这一条‘金科玉律’就行了！”通过例题演示转化过程，并强调注意事项：“带分数要先化成假分数；相乘前先确定积的符号，再进行绝对值计算会更清晰。”学生活动：理解并接受将除法转化为乘法的统一性策略。跟随教师例题，练习将除法算式改写为乘法算式，并计算。开始有意识地养成“先定符号，再算数值”的运算习惯。部分学有余力的学生尝试直接运用此策略进行简单的乘除混合运算。即时评价标准：1.能否准确、熟练地将除法算式（包括含有分数、小数的）转化为乘法算式。2.在计算转化后的乘法时，是否遵循“先确定符号”的步骤。3.能否认识到这种“转化”思想给运算带来的简化与统一。形成知识、思维、方法清单：★除法转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。（这是简化运算、统一规则的核心策略。）★运算顺序与习惯：进行有理数乘除运算时，推荐步骤：①将除法统一成乘法；②带分数化假分数，小数化分数（必要时）；③确定积的符号；④计算绝对值的乘积。▲化归思想：将未知的、复杂的问题（除法）转化为已知的、简单的问题（乘法），是数学中至为重要的化归思想。第三、当堂巩固训练  设计分层、变式的训练体系，并提供即时反馈。基础层（全体必做，巩固法则）：1.口答：快速判断下列各式积或商的符号：(7)×6，8÷(2)，(3)×(4)，(10)÷(5)。2.计算：①(5)×(6)；②24÷(8)；③(3/4)×(2/3)；④0÷(9.5)。（反馈机制：学生举牌出示符号答案，教师快速扫视；计算题同桌互换批改，教师投影展示典型正确步骤。）综合层（大多数学生挑战，应用整合）：3.计算：①(48)÷(12)×(5)；②(7/83/4)÷(1/8)。（反馈机制：请两位不同思路的学生板演，重点讲解运算顺序的选择和符号的逐级确定。教师提问：“做第一题时，你是从左到右依次算，还是先确定最终符号？”引发策略讨论。）挑战层（学有余力选做，思维拓展）：4.请设计两个有理数，使它们的积与商相等（除数不为0）。你能找到多少种情况？说说你的发现。（反馈机制：请有独特发现的学生分享，教师引导全班关注“互为倒数的两个数”和“±1”等特例，感受数学的奇妙。）第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。“同学们，这节课的探索之旅即将到站。请大家闭上眼睛回忆一分钟，然后以小组为单位，用思维导图或关键词的方式，在白板上梳理出本节课我们‘发明’的主要工具（法则）和‘走过’的思维路径。”学生活动后，教师整合补充，形成板书网络图：核心是“乘法法则”和“除法化乘法”，分支包括符号法则、绝对值处理、运算步骤、其中渗透的转化、类比、从特殊到一般等思想方法。“今天我们不仅获得了运算的‘武器’，更体验了数学家‘创造’武器的过程。课后，请运用这些武器去解决更多问题。”  作业布置：基础性作业（必做）：课本对应节次后基础练习题15。拓展性作业（建议完成）：寻找一个生活中可以用有理数乘除法模型描述的现象，并编一道应用题。探究性作业（选做）：研究有理数的乘法满足哪些运算律（交换律、结合律、分配律）？请举例验证你的结论。六、作业设计  基础性作业（全体学生必做）：1.计算下列各题：(1)(9)×10；(2)1.5×(4)；(3)(0.25)×(8)；(4)(72)÷(9)；(5)(3/5)÷(6/5)；(6)0÷(13/7)。2.填空：（略，侧重于符号法则的直接应用）。此部分目的在于巩固最核心的运算法则，确保每一位学生掌握最基本的运算技能。  拓展性作业（大多数学生可完成）：3.某水库管理员记录了本周的水位变化情况（规定水位上升为正）。若水位每天平均下降2厘米，请计算：（1）3天后的水位变化量；（2）4天后的水位变化量（如何理解“4天”？）。4.计算：(1)(10)×(1/2)×(0.1)×5；(2)[(12)÷(4)15]÷(3+6)。此部分作业将知识置于稍复杂的情境或算式中，考查学生综合运用法则、理解运算意义和顺序的能力。  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：5.“运算魔术师”：请设计一个三步的有理数乘除混合运算算式（包含至少两个除法和三个数），使得其最终结果等于1。然后，尝试改变其中某个数的符号，观察结果的变化规律，写出你的发现。6.“规律探索者”：计算下列每组算式，并总结规律：①2÷(1/2)，2×(2)；②(3)÷(1/3)，(3)×(3)；③(1/4)÷4，(1/4)×(1/4)。你能用一句话概括你发现的规律吗？这个规律对我们进行除法和乘法转化有什么启示？此部分作业强调开放性、探究性和对数学本质的深度思考，旨在激发学生的数学兴趣与创造力。七、本节知识清单及拓展  1.★有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。（核心中的核心，一切运算的起点，必须理解其归纳过程并熟记。）  2.★有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。（可由乘法法则通过逆运算推导得出，符号规则与乘法一致。）  3.★除法转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。（核心策略，实现乘除运算的统一化，极大简化计算流程与规则记忆。）  4.★倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。求一个数（分数形式最佳）的倒数，就是分子分母颠倒位置。（这是除法化乘法的桥梁，需准确理解与求解。）  5.▲“负负得正”的理解：可以从运算的连续性（如任务三的推理）、保持运算律（如分配律）的一致性、实际模型（反复逆转向）等多个角度感受其合理性，对于七年级学生，重在理解和接纳这一规则。  6.▲有理数乘除混合运算推荐步骤：①将除法统一为乘法；②带分数化假分数，小数化分数（视情况）；③确定最终结果的符号（可数负因数的个数，奇负偶正）；④计算绝对值（即数值部分）的乘积。（程序性知识，能有效减少错误。）  7.符号优先原则：在乘除运算中，先确定结果的符号，再计算数值部分，能使思路更清晰，避免符号与数值运算的相互干扰。  8.与加减运算的对比：强调乘除运算的符号法则是“同号得正，异号得负”，而加减运算的符号取决于绝对值大小。这是学生最易混淆点，需刻意对比区分。  9.与0相关的运算：0乘任何数得0；0除以任何非零数得0；0不能作除数。（需牢记，是易考点。）  10.★运算律的拓展猜想：有理数的乘法仍然满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律也成立。这为后续简化复杂运算提供了理论依据。（此处可引导学生举例验证，埋下伏笔。）  11.从特殊到一般的归纳思想：本节课探索法则的主要方法。通过观察有限个具体算例的特征，归纳出适用于所有同类情况的普遍规律。  12.化归与转化思想：将除法运算转化为乘法运算，将新知识（有理数运算）转化为旧知识（正数运算、加法），体现了数学中化未知为已知的核心思想。  13.模型思想：用有理数的乘法模型可以刻画方向相反的量、连续均匀变化等现实情境，如速度与时间、工作效率与时间等。（体现了数学的应用价值。）  14.易错点警示：①混淆乘除与加减的符号法则；②除法转乘法时，倒数求错；③混合运算中，顺序错误或漏掉符号；④将“0除以任何数得0”误用于“任何数除以0”。  15.拓展：多个有理数连乘除的符号确定：几个不等于0的数相乘除，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（这是单个乘除符号法则的自然推广。）八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：本节课预设的知识与技能目标达成度较高，绝大多数学生能准确叙述法则并完成基础计算，这从巩固练习基础层的正确率（预计85%以上）可以得到印证。能力目标方面，学生在“任务二”和“任务三”的探究活动中表现活跃，能积极参与观察与归纳，但将规律用严谨语言表达的能力存在差异，部分小组需要教师提供句式模板。情感与思维目标在导入和法则推理环节落实较好，学生对“负负得正”从好奇到信服的过程，体现了理性思维的培育。元认知目标通过课堂小结的自主梳理环节初步触及，但如何让学生养成“先定符号”等程序性反思习惯，还需后续课堂持续强化。  （二）教学环节有效性评估：1.导入环节：温度变化情境能快速引发学生兴趣并建立与新知的联系，提出的问题链有效导向了本课核心。“时间倒流”的设问颇具想象力，成功制造了认知冲突。2.新授环节：五个任务层层递进，逻辑清晰。“任务三”采用连续性推理解释“负负得正”，相比单纯的生活比喻，数学味更浓，也更严谨，有效突破了难点。学生在此处表现出较高的思维专注度。但也存在不足：在“任