四川省内江市威远中学高三上学期月阶段性考试数学试题

威远中学高届高三上期数学月月考数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分分，考试时间分钟.第Ⅰ卷（选择题共分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则A.B.2C.5D.50【答案】A【解析】【分析】本题先计算，再根据模的概念求出．【详解】由已知，，所以，故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．2.已知复数，且是纯虚数，则（）A.B.0C.2D.【答案】A【解析】【分析】根据复数乘方运算法则得到，然后根据纯虚数的定义列方程得到，最后求复数的模即可.【详解】，因为为纯虚数，所以，解得，所以第1页/共23页.故选：A.3.已知各项均为正数的等比数列满足：，则（）A.60B.32C.15D.20【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，由两个等式求得，再利用等比数列部分和的特征，将拆项分组求和.【详解】设等比数列的公比为.由，可得，因，解得.则.故选：A.4.函数的部分图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知的定义域为，利用定义法判断出为奇函数，排除B、D选项，第2页/共23页且当C选项，从而得出答案.【详解】解：由题可知，，则的定义域为，则，可得为奇函数，则图象关于原点对称，故可排除B、D，当时，令，即，解得：即的图象与轴非负半轴的交点的横坐标从左到右依次为：由于，而，而由选项C的图象中，可知当时，，不符合题意，故可排除C.故选：A.【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，通过利用定义法判断函数的奇偶性，以及根据零点和特殊值法进行排除，考查运算能力.5.某学校为促进学生全面发展，开设“雅趣象棋”“舞动社团”“国粹武术”“太极健身”“足球天下”“形象礼仪”6门兴趣课供学生进行选修，已知甲和乙各自选修了32门选修课两人均未选修的情况有（）A.180种B.160种C.120种D.100种【答案】A【解析】【分析】利用排列组合的知识可得答案.【详解】有2门选修课两人均未选修，即两人均在剩余的4门兴趣课中选修了3门课，且这4门课均被选上，这意味着两人有2门公共课，各有1门独占课，所以不同的选法有种．第3页/共23页6.意大利著名画家达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》被海内外众多学者津津乐道.画中女子的脸上那一抹神秘的微笑，数百年来让无数观赏者为之入迷，许多人都想揭开这微笑背后的秘密.中女子的嘴唇可近似地看作一段圆弧.对其进行了测绘.他在女子嘴角处分别作圆弧的切线，两条切线相交于点，连接两点，测量得到的数据大致如下：.中女子的微笑弧度所对应的圆心角大概为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求解，画出图象可知圆心角为，然后判断即可.【详解】在三角形中，由余弦定理得：，如图《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角为，所以，，在四个选项中最接近，故选：B第4页/共23页（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律化简给定等式，并建立不等式求解即得最大值.【详解】依题意，，由，得，即，当且仅当同向共线时取等号，于是，解得，所以的最大值为.故选：B8.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】考虑构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性比较大小.【详解】因为，，，则，设，则，，可得，因为函数，均在内单调递减，则在上单调递减，可得，第5页/共23页可知函数在上单调递减，且，所以，即，故选：C.二、多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共分）9.下面命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.函数在上的最小值是C.函数和函数是同一函数D.若，则【答案】AD【解析】【分析】利用分式不等式的解法结合集合的包含关系可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；利用函数相等的定义可判断C选项；利用不等式的基本性质可判断D选项.【详解】对于A选项，由得，解得或，因为是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，A对；对于B选项，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此函数在上的最小值是，B错；对于C选项，函数和函数的定义域均为，因为，，这两个函数的对应关系不相同，故函数和函数不是同一函数，C错；对于D选项，因为，由不等式的基本性质可得，D对.故选：AD.第6页/共23页10.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（）A.B.C.若，则的面积是D.若，则外接圆半径是【答案】AD【解析】【分析】由已知比例关系易得，应用正弦边角关系判断A；由向量数量积的定义及三角形内角性质判断B；余弦定理求得，再由面积公式求面积判断C；利用正弦定理求外接圆半径判断D.【详解】令，则，，可得，所以，由正弦边角关系易知：，A对；若，则，故，，则，所以，C错；由，结合C可得，B错；由，则，而，故外接圆半径是，D对.故选：AD.已知函数，，，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增B.当时，方程有且只有3个不同实根C.的值域为第7页/共23页D.若对于任意的，都有成立，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A：取特殊函数值否定结论；对于B：当时，解方程得到和是方程的根.利用零点存在定理证明在上有且只有一个零点.即可证明.对于C：根据单调性求出的值域.对于Dx分类讨论：、和k可.【详解】对于A：.因为，，所以，所以.所以在上不是增函数.故A错误；对于B：当时，方程可化为：或.由可解得：.对于，显然代入方程成立，所以是方程的根.第8页/共23页.所以令，解得：；令，解得：；所以在上单增，在上单减.所以.所以在上没有零点；而在上单减，且，，所以在上有且只有一个零点.综上所述：当时，方程有且只有3个不同实根.故B正确；对于C：对于.当时，.，所以；当时，..令，解得：；令，解得：；所以在上单减，在上单增.所以；故的值域为成立.故C正确.对于D：对于任意的，都有成立，所以及恒成立.第9页/共23页令，只需.令，则.则.所以，即.若恒成立，当，无论k取何值，不等式均成立，所以.当，则有.令，只需..记，则，所以在上单减，所以，即，所以在上单减，所以所以.综上所述：.故D正确.故选：BCD【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数处理恒（能）成立问题.第10页/共23页第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分，请把答案填在答题卡相应位置上.12.已知集合，则______【答案】【解析】【分析】根据给定的元素与集合关系列式，即可求解.【详解】由集合，得，则，故答案为：13.若直线与曲线相切，则__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为，则，设切点坐标为，则，解得.故答案为：1.14.对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】因为,定义域为,以长度为变化区间的正弦类型的第11页/共23页曲线,且当时,后面每个周期都是前一个周期振幅的,根据相应性质判断命题即可求得答案.【详解】对于①,如图:任取当,当,,,,恒成立故①正确.对于②故②错误对于③,的零点的个数问题,分别画出和的图像如图:和图像由三个交点.的零点的个数为:.故③正确.第12页/共23页对于④,设,,令在,可得:当时,,,,若任意,不等式恒成立,即,可得求证:当,,化简可得:设函数,则当时,单调递增,可得即:综上所述,对任意,不等式恒成立.故④正确.故答案为:①③④.,分段函数的性质和函数的零点.对于含参数不等式恒成立问题可转化为求函数的最值问题,然后再构造辅助函数,利用函数的最值即可求出结果,考查了推理能力与计算能力.四、解答题（本大题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（1）求的最小正周期；第13页/共23页【答案】（1）（2）单调递增区间上；单调递减区间.【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简可得，结合正弦函数性质即可求解；（2）利用正弦型函数整体代换法即可求得，，从而可求解.【小问1详解】依题意,，所以.【小问2详解】依题意，令，，解得，，所以的单调递增区间为，，设，，，当时，，得，令，，解得，，所以的单调递减区间为，，当时，，此时所以当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.第14页/共23页（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切实数，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式即可求解；(2)1，解之即可求解.【小问1详解】因为，所以，解得，则，所以．【小问2详解】由（1）知，，则，，所以，解得或，第15页/共23页所以的取值范围为．17.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．（1）求角B；（2）为P为P点作EF的最小值【答案】（1）（2）【解析】1）根据三角形的性质，运用正弦定理边角互化，结合已知条件及诱导公式计算求出角；（2）根据三角形外切圆的性质及切线性质，通过边角关系得出三角形相似，进而得出三角形边的比例关系，结合已知条件得出相关边的表达式，通过向量加减法运算得出向量乘积的表达式，最后利用基本不等式求最小值．【小问1详解】，，又，，，，，，，又，．【小问2详解】且，为的外接圆，第16页/共23页如图所示，设，连接与交于点，过外一点作的切线，切点分别为，，，，，，又，，则，故，又，，，，当且仅当，当时等号成立，的最小值为．18.赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．（1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；（2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答第17页/共23页（3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由．【答案】（1）（2）分布列见解析，（3），理由见解析【解析】1）根据全概率公式即可求解，（2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望，（3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解.【小问1详解】设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”，“所选的题目为足球相关知识的题目”，“所选的题目为排球相关知识的题目”，则，且两两互斥．根据题意得，，，，则，所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为．【小问2详解】的可能取值为，，，，，第18页/共23页3159所以．【小问3详解】当时，为甲校友答对题目数量，由题意可知，其中，故当时，甲校友获得奖励的概率，当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况：①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，故当时，甲校友获得奖励的概率，所以，因为，所以，即，所以甲校友应选．19.试回答下面问题：（1），均有成立，求实数的取值范围．（2）已知函数，设a，b为两个不相等的正数，且，证明：．（3）设，，其中a，．设，若对任意给定的，在区间上总存在，使成立，求b的取值范围．第19页/共23页【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】1）不妨设，先把原式化简为在上恒成立，设，只需证明在上单调递减，即在上恒成立.（2）将变形为，即，不妨设，只需证，利用极值点偏移，构造函数,证明即可.（3）求出的导数，通过单调区间可得函数在上的值域为，由题意分析时，结合的导数得到在区间上不单调，所以，，再由导数求得的最小值，即可得到所求范围．【小问1详解】不妨设，则原式可转化为，均有恒成立,设，则，只需证明在上单调递减，即