随堂练习：回归分析的基本思想及其初步应用

7/7回归分析的基本思想及其初步应用eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，eq\o(y,\s\up6(^))的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的随机误差是________．答案－0.292．对于相关系数r，以下4个叙述错误的是________．①|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，线性相关程度越大，反之，线性相关程度越小；②r∈(－∞，＋∞)，r越大，线性相关程度越大，反之，线性相关程度越小；③|r|≤1，|r|越接近1，线性相关程度越大，|r|越接近0，线性相关程度越小．答案①②3．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，那么下列说法正确的是________．①直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；②直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；③直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率为eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)；④直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差eq\i\su(i＝1,n,[)yi－(eq\o(b,\s\up6(^))xi＋eq\o(a,\s\up6(^)))]2是该坐标平面上的直线与这些点的最小偏差．解析回归直线的斜率为b，故③正确，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心，故①正确，②不正确．答案①③④4．某小卖部为了了解冰糕销售量y(箱)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表(如下表所示)，且由表中数据算得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝2，则预测当气温为25℃时，冰糕销量为________箱.气温/℃181310－1冰糕/箱64383424解析由线性回归方程必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，且eq\o(b,\s\up6(^))＝2，得eq\o(a,\s\up6(^))＝20.∴当x＝25时，eq\o(y,\s\up6(^))＝70.答案705．已知对一组观测值(xi，yi)(i＝1,2，…，n)作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，求得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.51，eq\x\to(x)＝61.75，eq\x\to(y)＝38.14，则线性回归方程为________．解析∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝38.14－0.51×61.75＝6.6475≈6.65.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.65.答案eq\o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.656．在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值，如下表：x/s5101520304050607090120y/μm610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性．解(1)作出如图所示的散点图．从散点图可看出腐蚀深度y(μm)与腐蚀时间x(s)之间存在着较强的线性相关关系．(2)相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(362.562,34.5155×10.6972)≈0.98，显然|r|＞0.75.所以，腐蚀深度y与腐蚀时间x之间有很强的线性相关关系．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．以下关于线性回归的判断，正确的是________．①散点图中所有点都在一条直线附近，这条直线为回归直线②散点图中的绝大多数点都在回归直线的附近，个别特殊点不影响线性回归性③已知直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.50x－0.81，则x＝25时，eq\o(y,\s\up6(^))为11.69④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势解析对于①，回归直线应使样本点总体距回归直线最近，而不是所有点都在一条直线附近，故①不正确，②③④均正确．答案②③④8．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，关于回归系数eq\o(b,\s\up6(^))，下面叙述正确的是________．①可以小于0；②大于0；③能等于0；④只能小于0.解析由eq\o(b,\s\up6(^))和r的公式可知，当r＝0时，这两变量不具有线性相关关系，但b能大于0也能小于0.答案①9．对具有线性相关关系的变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋20，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝18，则eq\i\su(i＝1,10,y)i＝________.解析由eq\i\su(i＝1,10,x)i＝18，得eq\x\to(x)＝1.8.因为点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在直线eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋20上，则eq\x\to(y)＝25.4.所以eq\i\su(i＝1,10,y)i＝25.4×10＝254.答案25410．一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量Y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：eq\i\su(i＝1,10,x)i＝28，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝303.4，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝75，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝598.5，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为________．解析r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)·\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)·\r(\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(237－10×2.8×7.5,\r(303.4－10×2.82)·\r(598.5－10×7.52))＝0.3.答案0.311．为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量Y(单位：千件)对于价格x(单位：千元)的反应，得数据如下：x/千元5070804030909597y/千件1008060120135555048(1)若y与x之间具有线性相关关系，求y对x的回归直线方程；(2)若成本x＝y＋500，试求：①在盈亏平衡条件下(利润为零)的价格；②在利润为最大的条件下，定价为多少？解(1)y与x之间有线性相关关系，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝－1.2866，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝169.7724，∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.2866x＋169.7724.(2)①在盈亏平衡条件下，eq\o(y,\s\up6(^))x＝eq\o(y,\s\up6(^))＋500，即－1.2866x2＋169.7724x＝－1.2866x＋169.7724＋500，1．2866x2－171.059x＋669.7724＝0，解得x1＝128.9162，x2＝4.0381(舍去)，∴此时新产品的价格为128.9162千元．②在利润最大的条件下，Q＝eq\o(y,\s\up6(^))x－x＝－1.2866x2＋169.7724x＋1.2866x－169.7724－500＝－1.2866x2＋171.059x－669.7724.要使Q取得最大值，x＝66.4771，即此时新产品应定价为66.4771千元．12．一个车间为了规定工时定额．需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下：零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？解(1)列出下表：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝91.7，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝38500，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝87777，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝55950，因此r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(55950－10×55×91.7,\r(38500－10×552×87777－10×91.72))≈0.9998.由于r＝0.9998＞0.75，因此x与y之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程．(2)设所求的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则有eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(55950－10×55×91.7,38500－10×552)≈0.668，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝91.7－0.668×55＝54.96，因此，所求的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.668x＋54.96.(3)这个回归直线方程的意义是当x每增大1时，y的值约增加0.668，而54.96是y不随x增加而变化的部分．因此，当x＝200时，y的估计值为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189.因此，加工200个零件所用的工时约为189分．13．(创新拓展)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1