湖南衡阳市常宁市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（创新班）（原卷+解析）

2025年下学期25级创新班数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（）A. B. C. D.2.若，，则（）A. B. C. D.3.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.4.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A. B.若，则的最大值为C.若，则复平面内对应的点位于第一象限 D.若是关于的方程的一个根，则5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（）A5级 B.6级 C.7级 D.8级6.已知函数，则下列说法正确是（）A.函数的图象关于点对称 B.函数图象的一条对称轴是直线C.是奇函数 D.若，则7.已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B.C D.8.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.B.C.不等式的解集为D.的最小值为610.如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则下列说法正确的有（）A.直线与直线共面B.C.过点的平面，截正方体的截面面积为9D.二面角的平面角余弦值为11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若P为ED的中点，则D.若P在线段BC上，且，则取值范围为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为________.13.函数在上单调递减，则的取值范围是___________．14.欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________．四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.16.在锐角中，内角的对边分别为且.（1）求角；（2）求的面积的取值范围.17.已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．（1）求a，b值；（2）求不等式的解集；（3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．18.如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.（1）求证：∥平面；（2）求点到平面的距离；（3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由19.已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．（1）设点为线段上靠近的三等分点，，求的值；（2）如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，，①当时，求的值（用含，的式子表示）；②当，时，求的最小值．（说明：可能用到的计算公式：，）．

2025年下学期25级创新班数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可.【详解】因为在平行四边形中，，所以，因为是的中点，所以，即，，根据向量的加法法则，，故选：B.2.若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.【详解】由，可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故选：B.3.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为，，，所以，，当且仅当，即，时取等号故选：C.4.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A. B.若，则的最大值为C.若，则复平面内对应的点位于第一象限 D.若是关于的方程的一个根，则【答案】B【解析】【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D.【详解】对于A，设，则，，A错误；对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；对于D，依题意，，整理得，而，因此，解得，D错误．故选：B.5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（）A.5级 B.6级 C.7级 D.8级【答案】B【解析】【分析】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级.【详解】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为，俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为.对于日本东北部海域的9级地震有；对于俄罗斯东南部的地震有.

因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即.两边同时取对数可得，根据对数运算法则，.又因为，已知，所以.

将，，代入可得：，解得.俄罗斯东南部地震震级大约是级.故选：B6.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称 B.函数图象的一条对称轴是直线C.是奇函数 D.若，则【答案】B【解析】【分析】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答.【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；对于C，，令，，，所以不是奇函数，C不正确；对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确.故选：B7.已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为关于轴对称，则关于对称，又函数在是增函数，所以在是减函数，由可得，由函数的单调性以及对称性可得，即，化简可得，解得或，则实数的取值范围是.故选：D8.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论.【详解】当时，；当时，．作函数的图象可得，令，则．当时，方程没有解，当时，方程有一个解，当时，方程有两个解，当时，方程有三个解，因为恰有个零点，所以有两个根（不妨设）．所以，由韦达定理可得．要使有个零点，则需满足．设，则．解得，所以实数的取值范围是．故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.B.C.不等式的解集为D.的最小值为6【答案】ACD【解析】【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项.【详解】对于A，根据题意，方程两根，且，故A正确；对于B，由，，，即，，则，故B错误；对于C，因为，，所以不等式为，又，所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确；对于D，，，，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6，故D正确.故选：ACD.10.如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则下列说法正确的有（）A.直线与直线共面B.C.过点的平面，截正方体的截面面积为9D.二面角的平面角余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A项，通过证明,说明直线共面；对于B项，三棱锥的体积问题，是通过等体积转化，使其易于求解；对于C项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积；对于D项，作出二面角的平面角，计算其余弦值【详解】对于A项，如图①，分别连接,在正方体中，易得四边形是矩形,，又分别是棱的中点，,故,即可确定一个平面，故A项正确；对于B项，如图②，,故B项正确；对于C项，如图，③连接易得因平面平面，则为过的平面与平面的一条截线，即过点的平面即平面.由,可得四边形等腰梯形，故其面积为：，故C项错误.对于D项，如图④，连接交于，，平面,平面,所以，又，，平面,平面，所以平面,即是二面角的平面角，又，故，故D项正确；故选：ABD.11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.B.在向量上的投影向量为C.若P为ED的中点，则D.若P在线段BC上，且，则的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】以为轴，为轴建立平面直角坐标系，计算各点坐标，计算，可判断A；求得在向量上的投影向量判断B；由P为的中点，求出点P、向量、的坐标，结合，计算可判断C；计算，计算可判断D.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，设，根据余弦定理可得，，整理得到，设，，设，对选项A：，所以，故A错误；对选项B：，，即在向量上的投影向量为，故B正确；对选项C：因为P为的中点，所以，所以，，，故C正确；对选项D：，，所以，所以，整理得到，由题意可知，所以在上单调递增，当时，，当时，，故，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为________.【答案】1【解析】【分析】由，为上一点，且满足，可求得，再用及表示出及，进而求数量积即可.【详解】由，可得，又，，三点共线，则有，由于，所以，即，又，且，，，故.故答案为：1.13.函数在上单调递减，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可.【详解】因为函数在上单调递减，所以，所以，所以．故的取值范围是.故答案为:.14.欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空.【详解】，，所以，由题意可得，所以，又因为，所以，则.故答案为：；.关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；（2）根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可.【小问1详解】因为，解得，所以.【小问2详解】因为，则，则，可得，所以，则，又因为，则，所以.16.在锐角中，内角的对边分别为且.（1）求角；（2）求的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解；（2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解.【小问1详解】因为，所以，又为锐角三角形，即，所以，由正弦定理，所以，因为，所以，又因为为锐角，所以；【小问2详解】由正弦定理有，所以，所以的面积，因为是锐角，所以，即解得，所以，所以，所以，则的面积的取值范围为.17.已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．（1）求a，b的值；（2）求不等式的解集；（3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接待定系数法求解即可；（2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得；（3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可.【小问1详解】由题意知，，即，解得：所以，【小问2详解】由（1）知，，所以，即，所以，令，则，解得；解得，所以，的解集为，即，解得，所以不等式的解集为【小问3详解】由得函数，当时，，故，当时，因为对任意，存在，使得成立，所以是的子集，所以，即，所以实数的取值范围为18.如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.（1）求证：∥平面；（2）求点到平面的距离；（3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）详见解析；（2）；（3）存在点，此时.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线面平行；（2）建立空间直角