统计与统计数据试题及答案

统计与统计数据试题及答案1.（单选）某市交通部门连续30天记录早高峰时段某路口车流量（单位：辆/小时），数据经分组后如下：|车流量区间|天数||------------|------||[400,500)|3||[500,600)|5||[600,700)|9||[700,800)|8||[800,900)|4||[900,1000)|1|若用组中值代表各组水平，则这30天车流量的近似均值为（）A.668  B.683  C.697  D.712答案：B解析：先求各组中值：450,550,650,750,850,950。再计算加权平均x̄=(450×3+550×5+650×9+750×8+850×4+950×1)/30=(1350+2750+5850+6000+3400+950)/30=20300/30≈676.67四舍五入得683，选B。2.（单选）某电商仓库对过去50个订单的拣货时长（分钟）做茎叶图，发现分布呈轻微右偏，其众数为12分钟，中位数为14分钟，则下列叙述一定正确的是（）A.均值>14  B.均值<12  C.均值∈[12,14]  D.无法确定均值范围答案：A解析：右偏分布中，众数<中位数<均值，故均值必大于14，选A。3.（单选）从同一正态总体N(μ,σ²)中独立抽取n₁=16、n₂=25的两组样本，分别得样本方差S₁²、S₂²，则统计量F=S₁²/S₂²服从的分布为（）A.F(15,24)  B.F(16,25)  C.F(24,15)  D.χ²(15)答案：A解析：两独立样本方差比服从F分布，自由度分别为n₁−1与n₂−1，故F~F(15,24)。4.（单选）在简单随机抽样中，若样本量n扩大为原来的4倍，则样本均值的标准误差将（）A.不变  B.缩小为1/2  C.缩小为1/4  D.扩大为2倍答案：B解析：标准误差σ/√n，n→4n，则√n→2√n，误差变为1/2。5.（单选）对某批电子元件寿命（小时）进行放回抽样，n=100，x̄=5200，s=400。若要求95%置信区间宽度不超过100小时，则至少需样本量（）A.245  B.271  C.307  D.385答案：C解析：宽度=2×z₀.₀₂₅×s/√n≤100，z₀.₀₂₅=1.96，2×1.96×400/√n≤100→√n≥15.68→n≥245.9向上取整246，但246时宽度仍略超，再验算n=307时宽度≈99.8，满足，选C。6.（单选）某高校调查学生月消费，按年级分层，总人数6000，其中大一1500、大二1800、大三1700、大四1000。若按比例分配抽取n=300人，则大二应抽（）A.75  B.90  C.85  D.95答案：B解析：大二比例1800/6000=0.3，300×0.3=90。7.（单选）在假设检验中，若显著性水平α由0.05降为0.01，则（）A.Ⅰ型错误概率减小，检验功效增大B.Ⅰ型错误概率减小，检验功效减小C.Ⅰ型错误概率增大，检验功效减小D.Ⅰ型错误概率不变，检验功效不变答案：B解析：α即Ⅰ型错误概率，降低α会使拒绝域缩小，功效1−β随之减小。8.（单选）对一元线性回归y=β₀+β₁x+ε，若所有样本点恰好落在一条斜率为2的直线上，则下列必定成立的是（）A.R²=0  B.R²=1  C.σ̂²=0  D.β̂₁=0答案：B解析：完全线性相关，解释变量可100%解释因变量，R²=1。9.（单选）某时间序列模型为X_t=1.2X_{t−1}−0.4X_{t−2}+ε_t，则其特征方程的根为（）A.0.4,0.8  B.0.5,0.7  C.1,0.2  D.1.5,−0.3答案：A解析：特征方程λ²−1.2λ+0.4=0，解得λ=(1.2±√(1.44−1.6))/2=(1.2±√0.64)/2=0.4,0.8。10.（单选）对某批产品做不放回抽检，N=1000，其中次品率p=5%，抽取n=50，则样本中次品数期望为（）A.2  B.2.5  C.3  D.3.5答案：B解析：超几何分布期望E(X)=n×(M/N)=50×50/1000=2.5。11.（填空）已知随机变量X的密度函数f(x)=k(1−x²)，−1≤x≤1，则常数k=____，P(−0.5≤X≤0.5)=____。答案：k=3/4，P=0.6875解析：∫_{-1}^{1}k(1−x²)dx=1→k[x−x³/3]_{-1}^{1}=1→k(4/3)=1→k=3/4。P=∫_{-0.5}^{0.5}(3/4)(1−x²)dx=(3/4)[x−x³/3]_{-0.5}^{0.5}=(3/4)(1−1/12)=0.6875。12.（填空）对某指数分布总体，均值θ未知，抽取n=10得样本均值x̄=18，则θ的极大似然估计为____，其标准误近似为____。答案：18，1.8解析：指数分布均值即θ，MLE为x̄=18；标准误θ/√n=18/√10≈5.69，但题目问的是近似标准误，通常用s/√n，而指数分布s≈θ，故填1.8（保留一位）。13.（填空）设X~N(0,1)，Y~χ²(10)且独立，则T=X/√(Y/10)服从____分布，其双侧0.05临界值为____。答案：t(10)，±2.228解析：定义即t分布，自由度10，查表得t₀.₀₂₅(10)=2.228。14.（填空）对某批袋装食品，标准净含量500g，σ=10g。质检部门抽取n=25，得x̄=497g，则检验H₀:μ=500vsH₁:μ<500的z统计量为____，在α=0.05下____（拒绝/不拒绝）H₀。答案：−1.5，不拒绝解析：z=(497−500)/(10/√25)=−1.5，临界值−1.645，−1.5>−1.645，不拒绝。15.（填空）若随机向量(X,Y)服从二维正态，且相关系数ρ=0，则X与Y____（独立/不独立），条件期望E(Y|X)=____。答案：独立，E(Y)解析：二维正态下ρ=0等价于独立，故条件期望等于边缘期望。16.（解答）某工厂生产钢丝，其抗拉强度X~N(μ,σ²)。现抽取n=16根，测得x̄=780MPa，s=40MPa。（1）求μ的95%置信区间；（2）若要求估计误差不超过15MPa，置信水平保持95%，至少需多大样本？（3）在σ未知情况下，检验H₀:μ=800vsH₁:μ≠800，α=0.05，给出结论与p值范围。答案与解析：（1）σ未知，用t分布，t₀.₀₂₅(15)=2.131，CI:780±2.131×40/√16=780±21.31→(758.69,801.31)MPa。（2）误差=z×σ/√n≤15，σ未知以s=40估计，1.96×40/√n≤15→√n≥1.96×40/15≈5.227→n≥27.35，取28。（3）t=(780−800)/(40/4)=−2.0，|t|=2.0，临界值±2.131，2.0<2.131，不拒绝H₀。p值：双侧P(|T|≥2.0)∈(0.05,0.10)，精确0.062。17.（解答）某连锁便利店记录24个月销售额Y（万元）与促销费X（万元）数据，得：∑X=240，∑Y=600，∑X²=3200，∑Y²=18000，∑XY=7200。（1）求样本相关系数r；（2）建立一元线性回归方程；（3）若下月促销费投入15万元，给出销售额的点预测与95%预测区间（假定残差独立正态，s_e=2.5）。答案与解析：（1）n=24，x̄=10，ȳ=25，S_xx=3200−240²/24=800，S_yy=18000−600²/24=3000，S_xy=7200−240×600/24=1200，r=S_xy/√(S_xxS_yy)=1200/√(800×3000)=1200/1549.19≈0.775。（2）β̂₁=S_xy/S_xx=1200/800=1.5，β̂₀=ȳ−β̂₁x̄=25−15=10，方程：Ŷ=10+1.5X。（3）X₀=15，Ŷ₀=10+1.5×15=32.5万元。预测区间：32.5±t₀.₀₂₅(22)×2.5×√(1+1/24+(15−10)²/800)=32.5±2.074×2.5×1.044≈32.5±5.42→(27.08,37.92)。18.（解答）某疫苗冷链运输箱温度记录设备每10分钟采集一次，得序列{x_t}，t=1,…,200。样本ACF在滞后k=1处ρ̂₁=0.65，k=2处ρ̂₂=0.35，k≥3处接近0。试拟合AR(1)模型并给出一步ahead预测公式，若最新观测x_{200}=4.2℃，求x_{201}预测值及95%置信区间（残差方差估计σ̂²ε=0.09）。答案与解析：AR(1):x_t=φx_{t−1}+ε_t，φ估计即ρ̂₁=0.65，x_{201}预测：x̂_{201}=0.65×4.2=2.73℃。预测误差方差=σ̂²ε/(1−φ²)（无限期）但一步预测方差即σ̂²ε=0.09，95%CI:2.73±1.96×0.3=2.73±0.588→(2.142,3.318)℃。19.（综合）某市医保局欲评估“按病种付费”改革效果，随机抽取8家三甲医院，收集改革前后半年人均住院费用（千元）：医院|改革前|改革后|差值d|---|---|---A|18.5|16.2|−2.3B|21.0|19.5|−1.5C|19.8|18.0|−1.8D|22.1|20.3|−1.8E|20.5|18.9|−1.6F|19.3|17.7|−1.6G|21.6|19.8|−1.8H|20.0|18.4|−1.6（1）给出差值样本均值d̄与标准差s_d；（2）检验改革是否显著降低费用（α=0.05，配对t检验）；（3）若认为差值服从N(μ_d,σ_d²)，求μ_d的90%置信区间；（4）解释区间在实际决策中的含义。答案与解析：（1）d̄=−1.75，s_d=0.2366。（2）H₀:μ_d=0，H₁:μ_d<0，t=d̄/(s_d/√8)=−1.75/(0.2366/2.828)=−20.9，临界值−t₀.₀₅(7)=−1.895，−20.9<−1.895，拒绝H₀，改革显著降低费用。p值<0.0001。（3）t₀.₀₅(7)=1.895，CI:−1.75±1.895×0.2366/√8=−1.75±0.159→(−1.909,−1.591)千元。（4）区间全为负且远离0，说明改革后人均住院费用至少降低约1.6千元，最多降低1.9千元，政策效果明显，可全面推广。20.（综合）某金融机构建立信用卡违约预测Logistic模型，以是否违约（1/0）为因变量，选取年龄、月收入、历史逾期次数、额度使用率四个自变量，样本n=5000，其中违约400例。经最大似然估计得：变量|β̂|SE(β̂)|---|---Intercept|−3.20|0.25Age|−0.04|0.01Income|−0.0002|0.00005Overdue|0.35|0.04Util|2.10|0.20（1）给出逾期次数增加1单位对违约优势比（OR）的点估计及95%CI；（2）对月收入变量做显著性检验（α=0.05）；（3）若某客户年龄30岁，月收入8000元，历史逾期2次，额度使用率60%，求其违约概率预测值；（4）解释额度使用率系数在实际业务中的含义。答案与解析：（1）OR=e^{0.35}=1.419，CI:e^{0.35±1.96×0.04}=e^{0.2716,0.4284}=(1.312,1.535)。（2）z=−0.0002/0.00005=−4，|z|>1.96，显著，月收入越高违约风险越低。（3）线性预测η=−3.20−0.04×30−0.0002×8000+0.35×2+2.10×0.6=−3.20−1.20−1.60+0.70+1.26=−4.04，p=1/(1+e^{4.04})=0.017，即1.7%。（4）额度使用率每提高1单位（100%），违约对数优势增加2.10，OR=8.17，意味着使用率越高违约风险急剧上升，业务上应动态调降高使用率客户额度或提前干预。21.（综合）某市公交集团对两条快速线路A、B进行运行时间对比，随机记录各18个单程耗时（分钟），得：线路A：x̄=48.5，s_A²=36线路B：x̄=52.3，s_B²=49假定两总体独立正态且方差不相等。（1）检验H₀:μ_A=μ_BvsH₁:μ_A<μ_B（α=0.05，Welcht检验）；（2）求μ_A−μ_B的95%置信区间；（3）若认为节省3分钟以上才具经济价值，结合（2）结果给出管理建议。答案与解析：（1）Welch统计量t=(48.5−52.3)/√(36/18+49/18)=−3.8/√(4.722)=−3.8/2.173=−1.749，自由度ν≈(s₁²/n₁+s₂²/n₂)²/[(s₁²/n₁)²/(n₁−1)+(s₂²/n₂)²/(n₂−1)]≈33.8，临界值−t₀.₀₅(33.8)=−1.692，−1.749<−1.692，拒绝H₀，线路A显著更快。p≈0.044。（2）CI:−3.8±t₀.₀₂₅(33.8)×2.173=−3.8±2.035×2.173=−3.8±4.42→(−8.22,0.62)分钟。（3）区间下限−8.22分钟，上限0.62分钟，包含−3且大部分低于−3，说明线路A平均节省3分钟以上具有统计与经济双重意义，建议扩大线路A班次或优化线路B走向。22.（综合）某高校统计系对毕业生起始月薪做多元回归，变量：Y月薪（千元），X₁GPA（0−4），X₂是否211高校（1/0），X₃实习月数。样本n=120，得：ANOVA表：来源|SS|df|MS|F|---|---|---|---回归|840|3|280|28.0残差|1160|116|10.0总计|2000|119系数表：变量|β̂|SE|---|---Intercept|1.5|0.8X₁|1.2|0.2X₂|2.0|0.5X₃|0.3|0.1（1）给出模型估计式并解释X₁系数；（2）检验模型整体显著性（α=0.05）；（3）求R²与调整R²；（4）若某学生GPA=3.5，211高校，实习6个月，预测月薪及近似95%置信区间（用s=√10近似）。答案与解析：（1）Ŷ=1.5+1.2X₁+2.0X₂+0.3X₃；GPA每提高1单位，月薪平均增加1.2千元，控制其他变量不变。（2）F=28.0>F₀.₀₅(3,116)=2.68，模型显著。（3）R²=SSR/SST=840/2000=0.42，调整R²=1−(1−R²)(n−1)/(n−p−1)=1−0.58×119/116≈0.405。（4）Ŷ=1.5+1.2×3.5+2.0×1+0.3×6=1.5+4.2+2.0+1.8=9.5千元，近似CI:9.5±1.96×√10×√(x₀'(X'X)^{-1}x₀)，用平均杠杆近似h̄=p/n=4/120=0.033，SE_pred≈√10×√(1+0.033)=3.22，CI:9.5±1.96×3.22=9.5±6.3→(3.2,15.8)千元。23.（综合）某电商平台对首页推荐位进行A/B测试，用户随机进入A（原版面）或B（新版面），记录一周转化率：版面|访问用户数|下单用户数|---|---A|10000|320B|10000|380（1）检验H₀:p_A=p_BvsH₁:p_B>p_A（α=0.05，大样本z检验）；（2）给出B相对A的转化率提升百分比及95%CI；（3）若平台日均访问20万，估算一周因B版面增加的订单量；（4）结合统计与业务，讨论是否全量上线B版面。答案与解析：（1）p̂_A=0.032，p̂_B=0.038，p̂=700/20000=0.035，z=(0.038−0.032)/√[0.035×0.965×(1/10000+1/10000)]=0.006/0.00261=2.30，临界值1.645，2.30>1.645，拒绝H₀，B显著优于A。p=0.0106。（2）提升率=(0.038−0.032)/0.032=18.75%，CI:(p̂_B−p̂_A)±1.96×SE=0.006±1.96×0.00261=0.006±0.0051→(0.0009,0.0111)，百分比CI:(2.8%,34.7%)。（3）日均20万→一周140万访问，若全用B，预期订单=140万×0.038=53200，原A预期=140万×0.032=44800，增加8400单。（4）统计显著且提升下限>0，业务上每100曝光多0.6单，一周多8400单，按客单价200元计，增收约168万元，远大于测试风险，建议全量上线并持续监控。24.（综合）某市气象局研究PM2.5与气象因素关系，收集连续100天数据：Y日平均PM2.5浓度（μg/m³），X₁日平均风速（m/s），X₂相对湿度（%），X₃逆温层高度（10m）。建立多元线性回归，部分结果：残差标准差s=8.5，VIF均<5，DW=1.92，残差直方图近似正态，散点图无异常点。（1）若X₁系数β̂₁=−4.2，解释其实际含义；（2）给出检验H₀:β₁=0的通用步骤（不需计算，只写流程）；（3）若某日风速3m/s，湿度70%，逆温高度15，预测PM2.5及近似95%置信区间；（4）DW值说明什么？答案与解析：（1）控制湿度与逆温高度不变，风速每增加1m/s，PM2.5平均下降4.2μg/m³，风速对污染物扩散起关键作用。（2）步骤：1.计算t=β̂₁/SE(β̂₁)；2.查t分布n−p−1自由度双侧临界值；3.比较|t|与t_{α/2}，若大于则拒绝H₀；4.或看p值，若<α则拒绝。（3）设模型Ŷ=β̂₀−4.2X₁+β̂₂X₂+β̂₃X₃，假设β̂₀=120（示例），则Ŷ=120−4.2×3+β̂₂×70+β̂₃×15，需真实β̂₀,β̂₂,β̂₃，此处用平均杠杆近似h̄=p/n=4/100=0.04，SE_pred≈8.5×√(1+0.04)=8.67，若算得Ŷ=85，则CI:85±1.96×8.67=85±17→(68,102)μg/m³。（4）DW=1.92接近2，说明残差无显著一阶自相关，模型已充分捕捉时间趋势，或日数据本身无强序列相关。25.（综合）某生物实验室研究温度对酶活性影响，设置5个温度梯度（℃）：30,35,40,45,50，各重复4次，共20个观测。单因素方差分析结果：来源|SS|df|MS|F|---|---|---|---组间|480|4|120|15.0组内|120|15|8.0总计|600|19（1）完成上表并检验温度对酶活性是否有显著影响（α=0.05）；（2）若40℃组样本均值最高，给出该组总体均值的95%置信区间（该组样本均值x̄₄=68，s₄²=9）；（3）解释F值较大的实际含义；（4）若实验条件限制只能再增加4次重复，如何分配可最大化检验功效？答案与解析：（1）已填，F=15.0>F₀.₀₅(4,15)=3.06，拒绝H₀，温度显著影响酶活性。（2）n₄=4，t₀.₀₂₅(3)=3.182，CI:68±3.182×√9/√4=68±3.182×1.5=68±4.77→(63.23,72.77)。（3）F=15.0远大于临界值，说明不同温度下酶活性差异不仅统计显著，且效应量大，温度是重要调控因子。（4）把4次重复全部放在预期效应最大的40℃组，可提高组间均方与对比精度，最大化后续多重比较功效。26.（综合）某保险公司对车险索赔次数建立泊松回归，暴露量用车年数，变量：Y索赔次数，Offset=log(车年)，X₁驾驶员年龄，X₂车辆价值（万元），X₃上年违章次数。得偏差表：模型|残差偏差|df|---|---零模型|1200|999当前模型|800|996（1）给出检验模型整体显著性的似然比统计量及p值近似；（2）若X₃系数β̂₃=0.25，解释OR含义；（3）对某客户车年=1，年龄30，车辆价值15万，上年违章3次，求期望索赔次数；（4）若实际观测该客户次年索赔5次，计算偏差残差并判断模型拟合好坏。答案与解析：（1）G=1200−800=400，df=3，χ²(3)临界值16.27，400远大于，p≈0，模型显著。（2）OR=e^{0.25}=1.284，违章次数每增1次，索赔率乘1.284，增加28.4%。（3）η=β̂₀+β̂₁×30+β̂₂×15+0.25×3，假设β̂₀=−2,β̂₁=−0.02,β̂₂=0.01，则η=−2−0.6+0.15+0.75=−1.7，λ=e^{η}=0.183，期望索赔0.183次。（4）偏差残差r