2026年数学思维训练中级习题集

2026年数学思维训练中级习题集一、几何计算题（共3题，每题10分）1.某城市计划建设一个半径为3公里的圆形公园，公园内修建一条宽0.5公里的环形小路。求小路内外的面积之差。（提示：环形面积差等于外圆面积减去内圆面积）2.一个长方体容器，长6米、宽4米、高5米，现以每分钟0.5米的速度向容器内注水，问需多少分钟才能使水面高度达到3米？（提示：先计算水的体积，再除以注水速度）3.某小区有一块三角形空地，底边长为20米，高为15米。若计划在这块空地上种植草坪，每平方米草坪成本为80元，求种植草坪的总费用。（提示：先计算三角形面积，再乘以单价）二、数列与极限问题（共2题，每题12分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+3（n≥1），求该数列的前5项之和。（提示：先求通项公式，再计算前5项和）2.求极限lim_{n→∞}（1+1/2+1/3+…+1/n）/n的值。（提示：利用调和级数与自然对数的关系）三、概率与统计应用（共2题，每题10分）1.某工厂生产的零件合格率为95%，现随机抽取3个零件，求至少有1个不合格的概率。（提示：先计算全部合格的概率，再用1减去该概率）2.某班级有男生30人，女生20人，现随机选出5人参加活动，求选出的5人中男女比例至少为2:3的概率。（提示：用组合数计算满足条件的选法数，再除以总选法数）四、函数与导数应用（共2题，每题12分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其在区间[-1,3]上的最大值和最小值。（提示：先求导数，找出关键点，再比较端点和关键点的函数值）2.某商品的需求函数为p=100-2q（p为价格，q为销量），求该商品的边际收入函数（收入函数的导数）。（提示：收入函数为pq，先展开再求导）五、逻辑推理与组合计数（共3题，每题10分）1.有5种不同的书，每种书有3本，现从中选出7本书，要求每种书至少选1本，问有多少种不同的选法？（提示：用容斥原理解决）2.某公司有6名工程师，其中3人擅长软件，2人擅长硬件，1人两者都擅长。现要随机分配3名工程师负责不同项目（每人负责一个方向），求至少有一人负责软件的概率。（提示：先计算全部不负责软件的情况，再用1减去该概率）3.一个四位数，各位数字互不相同且都不为0，要求千位数字大于百位数字，百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字。问有多少个这样的四位数？（提示：用排列组合公式，先固定大小关系，再计算排列数）答案与解析一、几何计算题1.答案：28.27平方公里解析：外圆面积：π×3^2=28.27平方公里内圆面积：π×(3-0.5)^2=19.63平方公里面积差：28.27-19.63=28.27平方公里2.答案：24分钟解析：容器底面积：6×4=24平方米水的体积：24×3=72立方米所需时间：72÷0.5=144分钟（注：此处原题注水速度为0.5立方米/分钟，若为0.5米/分钟则需修改）修正：若注水速度为0.5立方米/分钟，则时间仍为144分钟；若为0.5米/分钟，则需重新计算（底面积×高度÷速度=24×3÷0.5=144分钟）3.答案：4800元解析：三角形面积：20×15÷2=150平方米总费用：150×80=12000元（注：此处单价为80元/平方米，若为80元/平方分米则需修改）修正：若单价为80元/平方分米，则需将面积换算为1500平方分米，总费用为120000元二、数列与极限问题1.答案：55解析：通项公式：a_n=2^n-3前5项：1,1,5,13,29和：1+1+5+13+29=552.答案：1解析：极限等于lim_{n→∞}(1/n+1/2n+1/3n+…+1/n^2)=lim_{n→∞}(1+1/2+1/3+…+1/n)/n由调和级数性质，该极限为1三、概率与统计应用1.答案：9.27%解析：全部合格概率：0.95^3=0.8574至少一个不合格：1-0.8574=0.1426（14.26%）2.答案：24.6%解析：总选法：C(50,5)=2118760满足选法：C(30,2)×C(20,3)+C(30,3)×C(20,2)+C(30,4)×C(20,1)+C(30,5)=646840概率：646840/2118760=0.246（24.6%）四、函数与导数应用1.答案：最大值11，最小值-1解析：导数f'(x)=3x^2-6x关键点：x=0（f(0)=2）,x=2（f(2)=-1）端点：f(-1)=-5,f(3)=6最大值：max(2,-1,-5,6)=11最小值：min(2,-1,-5,6)=-5（注：此处原解析有误，实际最小值为-1）2.答案：R(q)=100q-3q^2解析：收入函数：R(q)=pq=(100-2q)q=100q-2q^2边际收入：R'(q)=100-4q五、逻辑推理与组合计数1.答案：6种解析：满足条件的选法：C(5,1)×C(4,1)×C(3,1)+C(5,2)×C(3,1)+C(5,3)=10+15+10=62.答案：98.7%解析：全部不负责软件概率：C(3,3)/