江苏省常州市武进区礼嘉中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

江苏省常州市武进区礼嘉中学2026届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，若该班学生这次数学测试成绩的中位数的估计值为，则的值为（）A. B.C. D.2．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.3．（）A.-2 B.0C.2 D.34．设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24C.30 D.325．在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（）A.30 B.91C.273 D.8206．对数的创始人约翰·奈皮尔（JohnNapier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（）（注）A.6 B.7C.606 D.6077．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A. B.C. D.8．如图，已知正方体，点P是棱中点，设直线为a，直线为b．对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有两条直线l与a、b都成角．以下判断正确的是（）A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题9．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.10．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（）A. B.C. D.11．已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（）A. B.C. D.12．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切 D.相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断进行构造，又可以得到新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到数列1，，，，…，，2；记则______，设数列的前n项和为，则______14．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为__________________.15．已知、均为正实数，且，则的最小值为___________.16．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E是线段PA的中点.（1）求证：平面EBD；（2）若是等边三角形，，平面平面ABCD，求点E到平面PDB的距离.18．（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为.（1）证明：；（2）已知，为直线上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.19．（12分）已知等差数列的前n项和为，若公差，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．（12分）已知圆.（1）求过点M（2，1）的圆的切线方程；（2）直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；（3）已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.21．（12分）如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为8，且平面平面（1）证明：；（2）求C到平面的距离.22．（10分）已知直线：，直线：.（1）若，求与的距离；（2）若，求与的交点的坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得结果.【详解】由题意有，得，又由，得，解得，，有故选：A.2、B【解析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.【详解】,表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故选：3、C【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果【详解】由故选：C4、D【解析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题5、C【解析】先根据等比数列的通项公式得到，列出数列的前6项，将其中是数列的项的所有数去掉即可求解.【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，所以，则由，得，即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，且，所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.故选：C.6、D【解析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位.【详解】设，则，则，则，，的数位是607.故选：D.7、A【解析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为故选：A【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题8、A【解析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；②一组邻边与对角面夹角相等，在平面内绕P转动，可以得到二条直线与a、b的夹角都等于.【详解】如下图所示，在侧面正方形和再延伸一个正方形和，则平面和在同一个平面内，所以过点P，有且只有一条直线l，即与a、b相交，故①为真命题；取中点N，连PN，由于a、b为异面直线，a、b的夹角等于与b的夹角.由于平面，平面，，所以平面，所以与与b的夹角都为.又因为平面，所以与与b的夹角都为，而，所以过点P，在平面内存在一条直线，使得与与b的夹角都为，同理可得，过点P，在平面内存在一条直线，使得与与的夹角都为；故②为真命题.故选：A9、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D10、A【解析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，结合导数的几何意义判断即可.【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.故选：A.11、B【解析】利用空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B12、C【解析】写出两圆的圆心和半径，求出圆心距，发现与两圆的半径和相等，所以判断两圆外切【详解】圆的标准方程为：，所以圆心坐标为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆相外切故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.81②.【解析】根据数列的构造写出前面几次得到的新数列，寻找规律，构造等比数列，求出通项公式，再进行求和.【详解】第1次得到数列1，3，2，此时；第2次得到数列1，4，3，5，2，此时；第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时；第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，故81，且故，又，所以数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，故，所以故答案为：81，14、【解析】分两类：两次都互相交换白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【详解】分两类：①两次都互相交换白球的概率为；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率为.故答案为：.15、【解析】由基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.【详解】因、均为正实数，由基本不等式可得，整理可得，，，则，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.16、3【解析】根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，由点到直线的距离公式可得，即的最小值为3.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及抛物线的最值问题，其中解答中根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】（1）连接交于点，连接，由中位线定理结合线面平行的判定证明即可；（2）由得出点到平面的距离，再由是的中点，得出点到平面的距离.【小问1详解】连接交于点，连接.因为分别是的中点，所以.又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；【小问2详解】过点作的垂线，垂足为，连接.因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以，设点到平面的距离为因为，所以，因为点是的中点，所以点到平面的距离为.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由可证得平面，根据线面平行的性质可证得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法可表示出，分别在、和三种情况下，结合基本不等式求得所求最大值.【小问1详解】四边形为正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小问2详解】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，由（1）知：，则可设，，，，设平面的法向量，则，令，则，，，设直线与平面所成角为，；当时，；当时，（当且仅当，即时取等号）；当时，；综上所述：直线与平面所成角正弦值的最大值为.19、（1）；（2）.【解析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式结合等比数列的性质列方程可得数列首项与公差，即可得解；（2）由，结合裂项相消法即可得解.【详解】（1）因为数列为等差数列，，，，成等比数列，所以，所以，即，又因为，所以，所以；（2）因为，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及裂项相消法的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20、（1）y=1；（2）x+y-2=0；（3）.【解析】(1)将圆的一般方程化为圆的标准方程，结合图形即可求出结果；(2)根据题意可知直线过圆心，利用直线的两点式方程计算即可得出结果；(3)设圆E的圆心E（a，1），根据题意可得圆E的半径为，结合圆与圆的位置关系和两点距离公式计算求出，进而得出圆的标准方程.【小问1详解】圆，即，其圆心为，半径为1.因为点（2，1）在圆上，如图，所以切线方程为y=1；【小问2详解】由题意得，圆的直径为2，所以直线过圆心，由直线的两点式方程，得，即直线的方程为x+y-2=0；【小问3详解】因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1），由圆E与y轴相切，得R=a()又圆E与圆相外切，所以，由两点距离公式得，所以，解得，所以圆心，，所以圆E的方程为.21、（1）证明见解析.（2）【解析】（1）利用线面垂直的性质证明出；（2）利用等体积转换法，先求出O到平面AEF的距离，再求C到平面的距离.【小问1详解】在矩形中，.因为平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小问2详解】设AC与BD的交点为O,则C到平面AEF的距离为O到平面AEF的距离的2倍.因为菱形ABCD的边长为4且，所以.因为矩形BDFE的面积为8，所以BE=2.,,则三棱锥的体积.在△AEF中,,所以.记O