五年级数学重点难点解析与习题集

五年级数学重点难点解析与习题集五年级的数学学习，就像为一座宏伟的知识大厦添砖加瓦，既承接了低年级的基础运算，又为高年级更复杂的数学思想打下伏笔。这个阶段的知识点，不少同学会觉得有些“绕”，有些“抽象”。别担心，咱们今天就一起把这些重点难点捋一捋，再通过一些典型的习题来巩固一下，相信你会豁然开朗。一、小数的乘除法小数的乘除法是在整数乘除法的基础上发展而来的，但多了小数点的处理，这就成了不少同学容易出错的地方。重点难点解析1.小数乘法法则：计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果积的小数位数不够，要用“0”补足，再点小数点。特别注意：积的末尾有0时，要先点小数点，再去掉末尾的0，顺序不能颠倒。2.小数除法法则：*除数是整数的小数除法：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。*除数是小数的小数除法：关键在于转化。先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。3.积与商的近似值：在实际应用中，我们常常需要用“四舍五入”法求积或商的近似值。关键是要明确保留几位小数或精确到哪一位。4.简便运算：整数乘法的交换律、结合律、分配律同样适用于小数乘法，灵活运用这些定律可以使计算更简便。典型习题演练习题1：计算3.6×2.5和7.8÷0.12习题2：一个长方形的广告牌，长4.5米，宽1.8米。如果每平方米的广告牌需要用油漆0.6千克，那么漆好这个广告牌共需要多少千克油漆？（结果保留一位小数）习题3：用简便方法计算：0.25×3.2×1.25和1.2×9.9思路点拨与解答：*习题1：*3.6×2.5：可以将3.6拆分为0.9×4，然后利用4×2.5=10进行简便计算，即0.9×(4×2.5)=0.9×10=9。或者直接按法则计算：先算36×25=900，因数中共有两位小数，从积的右边起数两位点上小数点，得9.00，即9。*7.8÷0.12：除数是小数，先把0.12变成12，小数点向右移动两位，被除数7.8的小数点也向右移动两位变成780，然后计算780÷12=65。*习题2：先求出广告牌的面积：4.5×1.8=8.1（平方米），再求油漆用量：8.1×0.6=4.86（千克），结果保留一位小数，看百分位是6，向十分位进1，得4.9千克。*习题3：*0.25×3.2×1.25：将3.2拆分为4×0.8，然后0.25×4=1，0.8×1.25=1，所以结果是1×1=1。*1.2×9.9：将9.9看作10-0.1，利用分配律：1.2×10-1.2×0.1=12-0.12=11.88。二、简易方程从算术到代数，简易方程是一个重要的转折点。它能帮助我们更方便地解决一些逆向思维的问题。重点难点解析1.用字母表示数：这是代数的基础。要理解字母可以表示任意数、特定公式里的量，或者问题中的未知数。在含有字母的式子里，数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“·”或者省略不写，数字要写在字母前面。2.方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子是不是方程，要看两点：一是含有未知数，二是必须是等式。3.解方程：求方程的解的过程叫做解方程。解方程的依据是等式的性质：*等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。*等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。解完方程后，养成检验的习惯非常重要。4.列方程解决实际问题：这是方程学习的落脚点。关键步骤是：*弄清题意，找出未知数，用字母x（或其他字母）表示。*分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列出方程。*解方程。*检验方程的解是否符合题意，并写出答案。典型习题演练习题4：解下列方程：3x+4.5=13.5和4(x-1.2)=10习题5：果园里有苹果树和桃树共120棵，苹果树的棵数是桃树的2倍。苹果树和桃树各有多少棵？（用方程解）习题6：学校图书馆买来一批新书，其中故事书有240本，比科技书的3倍少30本。科技书买了多少本？（用方程解）思路点拨与解答：*习题4：*3x+4.5=13.5：等式两边同时减去4.5，得3x=9，再两边同时除以3，得x=3。*4(x-1.2)=10：方法一，等式两边先同时除以4，得x-1.2=2.5，再两边同时加上1.2，得x=3.7。方法二，先运用乘法分配律展开，得4x-4.8=10，然后两边同时加上4.8，得4x=14.8，再两边同时除以4，得x=3.7。*习题5：设桃树有x棵，则苹果树有2x棵。根据“苹果树棵数+桃树棵数=总棵数”，可列方程：x+2x=120，即3x=120，解得x=40。所以桃树有40棵，苹果树有2×40=80棵。*习题6：设科技书买了x本。根据“科技书本数×3-30=故事书本数”，可列方程：3x-30=240。两边同时加上30，得3x=270，解得x=90。所以科技书买了90本。三、多边形的面积五年级我们学习了平行四边形、三角形和梯形的面积计算，以及组合图形的面积计算。掌握这些图形的面积公式及其推导过程是关键。重点难点解析1.平行四边形的面积：公式是底×高(S=a×h)。它的面积公式是通过“割补法”转化成长方形推导出来的，所以这里的“高”必须是对应底边上的高。2.三角形的面积：公式是底×高÷2(S=a×h÷2)。它的面积公式可以通过两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形推导出来，所以一定要记得除以2。同样要注意底和高的对应关系。3.梯形的面积：公式是(上底+下底)×高÷2(S=(a+b)×h÷2)。它的面积公式可以通过两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形推导出来。4.组合图形的面积：计算组合图形的面积，通常有“分割法”和“添补法”。分割法是把组合图形分割成几个我们学过的基本图形，分别求出面积再相加；添补法是把组合图形添补成一个大的基本图形，用大图形面积减去添补部分的面积。典型习题演练习题7：一个平行四边形的停车位，底是5米，高是2.5米。这个停车位的面积是多少平方米？如果每平方米的地砖需要32元，铺好这个停车位需要多少钱？习题8：一块三角形的菜地，底是28米，高是底的一半。如果每平方米收白菜8.5千克，这块地一共可以收白菜多少千克？习题9：计算下面梯形的面积。（上底5厘米，下底9厘米，高4厘米）习题10：计算一个组合图形的面积（可以描述一个简单的，比如一个长方形中间挖去一个三角形，或者一个由梯形和三角形组成的图形）。思路点拨与解答：*习题7：面积S=5×2.5=12.5(平方米)。费用：12.5×32=400(元)。*习题8：高是底的一半，即高h=28÷2=14(米)。面积S=28×14÷2=196(平方米)。收白菜总量：196×8.5=1666(千克)。*习题9：S=(5+9)×4÷2=14×4÷2=28(平方厘米)。*习题10：(假设组合图形是一个长10厘米、宽6厘米的长方形，在它的右上角剪去一个底3厘米、高4厘米的直角三角形)。思路：用长方形面积减去三角形面积。长方形面积：10×6=60(平方厘米)。三角形面积：3×4÷2=6(平方厘米)。组合图形面积：60-6=54(平方厘米)。四、因数与倍数这一单元的概念比较多，也比较抽象，需要同学们理解并记忆。重点难点解析1.因数和倍数的意义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。2.2、3、5的倍数的特征：*个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数（偶数）；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。*一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。*个位上是0或5的数是5的倍数。3.质数与合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。4.最大公因数和最小公倍数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。求最大公因数和最小公倍数的常用方法有列举法、短除法等。典型习题演练习题11：写出18的所有因数，并判断18是质数还是合数。习题12：在100以内的数中，找出所有既是3的倍数又是5的倍数的数。习题13：求12和18的最大公因数和最小公倍数。习题14：有两根绳子，一根长24米，另一根长36米。现在要把它们剪成同样长的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段绳子长多少米？一共可以剪成多少段？思路点拨与解答：*习题11：18的因数有1、2、3、6、9、18。因为18除了1和它本身还有其他因数，所以18是合数。*习题12：既是3的倍数又是5的倍数，就是15的倍数。100以内15的倍数有：15、30、45、60、75、90。*习题13：*求最大公因数：列举法：12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。公有的因数有1、2、3、6，最大的是6。短除法：用公因数2去除，得6和9；再用公因数3去除，得2和3。最大公因数是2×3=6。*求最小公倍数：列举法：12的倍数有12、24、36、48...；18的倍数有18、36、54...。公有的倍数有36、72...，最小的是36。短除法：同上面短除法，把除数和最后的商相乘，2×3×2×3=36。*习题14：要把两根绳子剪成同样长的小段且无剩余，每段长度就是24和36的公因数。要尽可能长，就是求它们的最大公因数。24和36的最大公因数是12。所以每段绳子长12米。24米的绳子可以剪24÷12=2段，36米的绳子可以剪36÷12=3段，一共可以剪成2+3=5段。五、长方体和正方体这部分内容主要是培养同学们的空间观念，掌握长方体和正方体的特征及表面积、体积的计算。重点难点解析1.长方体和正方体的特征：*长方体：有6个面（一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。*正方体：正方体是特殊的长方体，它的6个面都是正方形，6个面的面积都相等；12条棱的长度都相等。2.表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。*长方体表面积公式：S=2(ab+ah+bh)(a、b、h分别为长、宽、高)*正方体表面积公式：S=6a²(a为棱长)在解决实际问题时，要注意是否需要计算所有面的面积（如无盖的鱼缸、粉刷墙壁等）。3.体积和容积：*体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。*容积：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。*长方体体积公式：V=abh*正方体体积公式：V=a³*通用体积公式：V=Sh(S为底面积，h为高)*体积（容积）单位：立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)、升(L)、毫升(mL)。1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升。4.体积单位间的进率：相邻两个体积单位间的进率是1000。典型习题演练习题15：一个长方体的礼品盒，长20厘米，宽15厘米，高10厘