七年级数学函数专题复习与应用题

七年级数学函数专题复习与应用题函数，作为初中数学的重要基石，不仅是代数学习的延伸，更是培养逻辑思维和解决实际问题能力的关键载体。从简单的变量关系到复杂的图像分析，函数的世界充满了规律与挑战。本次专题复习，我们将一同梳理函数的核心概念，夯实基础，并通过具体应用题的解析，掌握运用函数知识解决实际问题的思路与方法，力求在理解的深度和应用的灵活性上得到提升。一、函数的核心概念回顾在数学的视野里，我们常常关注事物的变化以及变化过程中量与量之间的依赖关系。函数，正是描述这种关系的有力工具。1.变量与常量在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终保持不变的量称为常量。例如，汽车在匀速行驶过程中，行驶的路程会随着时间的变化而变化，这里的“路程”和“时间”就是变量，而“速度”则是常量。需要注意的是，常量不一定是具体的数字，也可以是用字母表示的固定不变的量。2.函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。这个定义中，“唯一确定”是理解函数概念的核心。也就是说，给定一个x的值，只能有一个y的值与之对应。例如，在关系式y=2x中，当x=3时，y只能是6，这就是唯一确定。但如果是y²=x，当x=4时，y可以是2或-2，这就不符合“唯一确定”，因此y不是x的函数。3.函数的三种表示方法函数关系的表达，常见的有三种形式：*解析式法：用数学式子表示函数关系的方法。例如y=3x-1，C=2πr等。这种方法的优点是简洁、准确，便于进行理论分析和计算。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。例如，我们可以列出一天中不同时刻对应的气温。这种方法的优点是直观，可以直接看出部分对应值。*图像法：用图像来表示两个变量之间的函数关系。通常用平面直角坐标系中的点（x,y）来表示自变量x和函数值y的对应关系，这些点的集合就构成了函数的图像。这种方法的优点是形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势。在解决实际问题时，我们常常需要根据具体情况选择合适的表示方法，有时甚至需要将多种方法结合起来使用。二、一次函数的深入理解七年级阶段，我们接触最多的是一次函数，它是函数世界中最简单也最基本的类型之一。1.一次函数的定义与解析式形如y=kx+b（其中k、b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。*当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。*这里的“k≠0”是至关重要的条件，若k=0，则函数就变成了y=b，此时y是一个常量，不再是关于x的一次函数。2.一次函数的图像与性质一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线。因此，画一次函数的图像时，只需确定两个点，再过这两点画直线即可。通常我们会选择与坐标轴的交点：与y轴的交点（0,b）和与x轴的交点（-b/k,0）（当k≠0时）。一次函数的性质主要由系数k和b决定：*k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性：*当k>0时，直线从左到右上升，y随x的增大而增大。*当k<0时，直线从左到右下降，y随x的增大而减小。*b的符号决定直线与y轴交点的位置：*当b>0时，直线与y轴交于正半轴。*当b=0时，直线经过原点（正比例函数的图像特征）。*当b<0时，直线与y轴交于负半轴。k的绝对值大小也会影响直线的“陡峭”程度，|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。3.确定一次函数的解析式要确定一个一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），关键在于求出k和b的值。由于需要确定两个未知系数，因此通常需要两个独立的条件（即图像上两个点的坐标），然后通过解方程组来求解。这种方法称为待定系数法。例如，若一次函数的图像经过点(1,3)和(-1,-1)，我们可以将这两个点的坐标分别代入y=kx+b，得到方程组：3=k*1+b-1=k*(-1)+b解这个方程组，即可求出k和b的值，从而确定函数解析式。三、函数应用题的解题策略运用函数知识解决实际问题，是学习函数的最终目的，也是对我们综合能力的考验。这类问题通常文字叙述较长，信息量较大，需要我们耐心分析，逐步突破。1.解函数应用题的一般步骤*审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中涉及的量有哪些，哪些是变量，哪些是常量。找出题目中的已知条件和要求的未知量。*设元：选择一个适当的变量作为自变量（通常设为x），并用含x的代数式表示其他相关的变量。对于函数问题，通常要设出函数关系式（如y=kx+b）。*分析关系，列函数解析式：根据题目中所描述的数量关系或相等关系，结合所学的函数知识（特别是一次函数的定义和性质），列出函数解析式。这是解决问题的关键步骤，需要我们准确理解题意，找到变量之间的对应法则。*求解：根据列出的函数解析式，结合题目要求进行计算或推理，求出所需的结果。如果是求函数值，就将自变量的值代入；如果是求自变量的值，就解方程；如果涉及到图像，可能需要结合图像的性质进行分析。*检验与作答：将所求的结果代入原题中进行检验，看是否符合实际意义和题意。确保无误后，写出完整、规范的答案。2.典型例题解析例题1：行程问题一辆汽车在普通公路上行驶了一段路程后，驶入高速公路。汽车在普通公路上的行驶速度为每小时a公里，在高速公路上的行驶速度为每小时b公里（b>a）。设汽车在普通公路上行驶了t小时，所行驶的总路程为s公里。（1）若汽车在普通公路上行驶了2小时后进入高速公路，继续行驶了3小时到达目的地，求s与t的函数关系式，并求出t的取值范围。（2）若a=60，b=100，利用（1）中的关系式，求出汽车行驶的总路程s。分析与解答：（1）审题与设元：题目中，t是汽车在普通公路上行驶的时间，s是总路程。这里要注意，当t≤2小时，汽车还在普通公路上行驶；当t>2小时，这个表述可能不准确，因为题目说“在普通公路上行驶了t小时后驶入高速公路”，然后“继续行驶了3小时”。哦，应该是普通公路行驶时间是t小时（这里t就是2小时），高速公路行驶了3小时。那么总路程s就是普通公路行驶的路程加上高速公路行驶的路程。普通公路行驶路程：a*t（这里t是普通公路行驶时间，题目明确是2小时，所以这部分路程是2a）。高速公路行驶路程：b*3。所以总路程s=2a+3b。咦，这样的话s是一个定值，与t的关系呢？可能我对题目的理解有误。或许题目是说，汽车从出发开始计时，前t小时在普通公路上行驶（t是一个变量），然后进入高速公路？但题目又说“行驶了t小时后进入高速公路，继续行驶了3小时”。那么总行驶时间是t+3小时，总路程s=a*t+b*3。这里t的取值范围就是t>0（因为已经行驶了t小时进入高速）。这样似乎更合理，s是t的一次函数。那么，（1）s与t的函数关系式为：s=a*t+3b。t的取值范围是t>0。（题目中“行驶了t小时后进入高速公路”，t应为正数）（2）当a=60，b=100时，s=60t+3*100=60t+300。但题目中说“在普通公路上行驶了2小时后进入高速公路”，所以这里的t=2。因此，s=60*2+300=120+300=420公里。答：（1）s=a*t+3b（t>0）；（2）汽车行驶的总路程为420公里。例题2：收费问题某通讯公司推出两种手机流量套餐：套餐一：月租费20元，包含1GB流量，超出部分按每GBc元收费。套餐二：月租费50元，包含5GB流量，超出部分按每GBd元收费（d<c）。设每月使用流量为xGB，套餐一的费用为y₁元，套餐二的费用为y₂元。（1）分别写出y₁、y₂与x之间的函数关系式（不考虑x为负数的情况）。（2）若c=10，d=8，小明这个月的流量使用了6GB，他选择哪种套餐更合算？分析与解答：（1）列函数关系式：对于套餐一：*当0≤x≤1时，费用就是月租费20元，所以y₁=20。*当x>1时，费用为月租费加上超出部分的费用。超出部分为(x-1)GB，所以y₁=20+c(x-1)。对于套餐二：*当0≤x≤5时，费用就是月租费50元，所以y₂=50。*当x>5时，超出部分为(x-5)GB，所以y₂=50+d(x-5)。（2）选择合算套餐：已知c=10，d=8，x=6GB。计算套餐一费用y₁：因为6>1，所以y₁=20+10*(6-1)=20+50=70元。计算套餐二费用y₂：因为6>5，所以y₂=50+8*(6-5)=50+8=58元。因为58<70，所以小明选择套餐二更合算。答：（1）y₁={20(0≤x≤1),20+c(x-1)(x>1)}；y₂={50(0≤x≤5),50+d(x-5)(x>5)}。（2）选择套餐二更合算。例题3：方案选择问题某文具店准备购进A、B两种品牌的钢笔。购进A品牌钢笔的进价为每支m元，购进B品牌钢笔的进价为每支n元（m>n）。若该店准备用不超过W元购进这两种钢笔共100支。设购进A品牌钢笔x支，购进这两种钢笔的总费用为y元。（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围。（2）若m=10，n=8，W=900，为了使购进的钢笔数量尽可能多，应如何安排购进方案？分析与解答：（1）列函数关系式与确定取值范围：购进A品牌钢笔x支，则购进B品牌钢笔(100-x)支。总费用y=m*x+n*(100-x)=(m-n)x+100n。根据题意，总费用不超过W元，所以：(m-n)x+100n≤W(m-n)x≤W-100n因为m>n，所以m-n>0，解得x≤(W-100n)/(m-n)。又因为x表示钢笔数量，所以x≥0，且100-x≥0，即x≤100。综上，x的取值范围是0≤x≤min(100,(W-100n)/(m-n))。（2）确定购进方案：将m=10，n=8，W=900代入：y=(10-8)x+100*8=2x+800。由总费用不超过900元：2x+800≤900→2x≤100→x≤50。所以x的取值范围是0≤x≤50。题目要求“购进的钢笔数量尽可能多”，但总共购进100支是固定的呀？哦，这里可能是指在费用限制下，尽可能多购进某种钢笔？或者题目可能隐含的是“为了使购进的A品牌钢笔数量尽可能多”或“B品牌尽可能多”？根据题意“m>n”，A品牌进价更高。如果要在总费用固定（不超过W）的情况下，使总数量最多，应该是多买便宜的B品牌。但题目说“购进这两种钢笔共100支”是固定的。那么可能题目是想在满足费用限制的前提下，求x的可能取值，并选择一个合理的方案。比如，若想降低成本，因为B便宜，所以在x允许的范围内，x越小越好。但题目问的是“为了使购进的钢笔数量尽可能多”，而总数是100支。这可能是题目表述上的一点小瑕疵，我们按“在费用不超过900元的前提下，如何安排购进A、B两种钢笔的数量”来理解。由x≤50，所以x可以取0到50之间的整数。例如，若要A品牌最多，则购进A品牌50支，B品牌50支，总费用50*10+50*8=500+400=900元，刚好用完预算。答：应购进A品牌钢笔50支，B品牌钢笔50支。四、复习建议与总结函数的复习，不能仅仅停留在对定义和公式的记忆上，更重要的是理解其本质，并能灵活运用。1.夯实基础，深刻理解概念：要反复琢磨变量、常量、函数、自变量、因变量等基本概念，特别是函数定义中“唯一确定”这一核心内涵。对于一次函数的定