2019年全国中考数学函数专题复习

2019年全国中考数学函数专题复习引言：函数——中考数学的核心纽带函数作为贯穿初中数学的一条主线，不仅是代数知识的深化与延伸，更是数形结合思想的集中体现。在历年中考数学中，函数板块始终占据着举足轻重的地位，其分值占比高，综合题型多，对学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及综合应用能力均提出了较高要求。2019年的中考数学命题趋势，依然延续了对函数核心素养的考查。因此，在复习备考阶段，我们必须对函数专题给予足够的重视，力求做到概念清晰、性质熟练、应用灵活，方能在中考中从容应对，取得理想成绩。一、函数核心概念的再梳理与深化理解在复习函数之初，回归本源，夯实基础是关键。我们首先要对函数的核心概念进行透彻的理解和准确的把握。1.1变量与常量：动态思维的启蒙在一个变化过程中，我们会遇到各种量。有些量的数值是始终不变的，我们称之为常量；而有些量的数值则是在不断变化的，我们称之为变量。理解变量与常量的相对性，是建立函数观念的第一步。例如，在匀速直线运动中，速度是常量，而路程和时间则是变量。1.2函数的定义：两个变量间的特殊对应关系函数的定义是核心中的核心。我们通常这样描述：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。这里的“唯一确定”是理解函数概念的关键，它强调了对应关系的确定性和唯一性。判断两个变量之间是否存在函数关系，也必须紧扣这一点。1.3函数的表示方法：多种形式，融会贯通函数的表示方法主要有三种：解析法（用数学式子表示函数关系）、列表法（通过列表给出自变量与函数的对应值）和图象法（用图象表示函数关系）。这三种方法各有优劣，在复习中应能根据具体问题灵活选择和转换。解析法严谨精确，便于计算和推理；列表法直观具体，易于查找；图象法形象生动，能清晰地反映函数的变化趋势。二、基本函数类型的性质与应用解析初中阶段我们主要学习了三种基本函数：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数。对每一种函数，我们都需要从其定义、图象、性质以及应用等多个维度进行系统梳理和深入理解。2.1一次函数（含正比例函数）：线性变化的直观体现定义与解析式：形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数，它是一次函数的特殊形式。图象与性质：一次函数的图象是一条直线。其中k决定了直线的倾斜方向和倾斜程度：k>0时，直线从左到右上升，y随x的增大而增大；k<0时，直线从左到右下降，y随x的增大而减小。b则是直线与y轴交点的纵坐标，即直线与y轴交于点(0,b)。对于正比例函数y=kx，其图象是经过原点(0,0)的一条直线，其性质与一次函数类似，k的符号同样决定了函数的增减性。在复习时，要能熟练地根据k和b的符号判断直线经过的象限，反之亦然。同时，两条直线的位置关系（平行、相交）也是常考内容，k值相等则平行，k值不等则相交。应用与建模：一次函数在实际生活中有着广泛的应用，如行程问题、工程问题、销售利润问题、方案选择问题等。解决这类问题的关键是从实际情境中抽象出一次函数模型，即找出两个变量之间的线性关系，列出函数解析式，然后利用一次函数的性质解决问题。例如，利用一次函数的增减性进行最优方案的选择。2.2反比例函数：非线性变化的经典模型定义与解析式：形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。其解析式也可以写成y=kx⁻¹的形式。图象与性质：反比例函数的图象是双曲线。k的符号决定了双曲线所在的象限和函数的增减性：当k>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。需要特别注意的是，反比例函数的增减性必须强调“在每个象限内”。双曲线的两支都无限接近于坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。k的几何意义也非常重要：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。应用与建模：反比例函数常用来描述具有反比例关系的两个变量，如路程一定时，速度与时间的关系；总价一定时，单价与数量的关系等。2.3二次函数：中考函数的重中之重定义与解析式：形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其解析式还有顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0，(h,k)为顶点坐标）和交点式（两根式）y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0，x₁、x₂是抛物线与x轴交点的横坐标）。在不同的问题情境下，选择合适的解析式形式，能使问题的解决更加简便。图象与性质：二次函数的图象是一条抛物线。*开口方向与大小：由a决定。a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。*顶点坐标与对称轴：抛物线是轴对称图形，其对称轴是直线x=-b/(2a)，顶点坐标是(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。若用顶点式，则对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,k)。顶点是抛物线的最高点（当a<0时）或最低点（当a>0时），这决定了函数的最值。*增减性：当a>0时，在对称轴左侧（x<-b/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-b/(2a)），y随x的增大而增大。当a<0时，情况相反。*与坐标轴的交点：与y轴交点为(0,c)。与x轴的交点个数由判别式Δ=b²-4ac决定：Δ>0时，有两个不同的交点；Δ=0时，有一个交点（顶点在x轴上）；Δ<0时，没有交点。应用与建模：二次函数的应用非常广泛，尤其是在解决最大（小）值问题时，如最大利润、最大面积等。建立二次函数模型，利用其顶点坐标求最值，是这类问题的常规思路。三、函数综合题的解题策略与思想方法渗透函数专题在中考中常常以综合题的形式出现，这类题目往往涉及多个知识点的交汇，需要运用多种数学思想方法。3.1数形结合思想：函数学习的灵魂“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合是学习函数最重要的思想方法。函数的解析式是“数”，函数的图象是“形”。在解题时，要善于将函数的解析式与图象结合起来，从图象中获取信息，利用解析式进行精确计算和推理。例如，借助函数图象可以直观地看出函数的增减性、最值、与坐标轴的交点等，而根据函数解析式可以精确求出这些量。3.2分类讨论思想：应对复杂情况的利器在函数问题中，当问题的条件不唯一或结论不确定时，常常需要进行分类讨论。例如，由于参数的取值不同（如一次函数中k、b的正负，二次函数中a的正负、对称轴的位置等），函数的图象和性质会发生变化，此时就需要分类讨论。进行分类讨论时，要注意分类标准的统一性和不重不漏。3.3转化与化归思想：化繁为简，化难为易将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，是数学解题的基本思路。在函数综合题中，常常需要将几何问题转化为代数问题（如利用函数解析式解决图形面积问题），或将代数问题转化为几何问题（如利用函数图象解决方程、不等式问题）。3.4方程与函数思想的结合：相互依存，相得益彰函数与方程有着密切的联系。函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，就是方程f(x)=0的解；两个函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的方程组的解。利用这种关系，可以解决许多与函数相关的问题，如求函数的零点、求两个函数的交点等。四、复习策略与备考建议4.1回归教材，夯实基础万变不离其宗，教材是中考命题的根本。要仔细研读教材，重温函数的概念、性质、例题和习题，确保对基础知识的理解准确无误，不留死角。4.2强化训练，注重反思适当的练习是巩固知识、提升能力的必要手段。但练习不在于多，而在于精。要选择具有代表性的题目进行训练，特别是历年中考真题和模拟题。做完题目后，要及时反思解题过程，总结解题规律和方法，分析错误原因，避免重蹈覆辙。4.3关注热点，突破难点对于中考函数的热点题型，如函数与几何综合题、函数与方程不等式综合题、动态几何中的函数问题等，要进行专项训练，总结解题策略，力争突破难点。4.4规范书写，减少失误在平时的练习和模拟考试中，要养成规范书写的好习惯，尤其是在解答题中，要清晰地写出解题步骤，逻辑严谨，运算准确，避免因书写不规范或粗心大意造成的不必要失分。结语