中考圆的切线专题数学训练题及解析

中考圆的切线专题数学训练题及解析圆的切线是中考数学几何部分的重点内容，常常与三角形、四边形等知识结合，形成综合性较强的题目。掌握切线的性质与判定，以及相关辅助线的作法，是解决这类问题的关键。本文将梳理圆的切线核心知识点，并通过典型例题与专题训练，帮助同学们深化理解，提升解题能力。一、核心知识点回顾在解决圆的切线问题前，我们先来明确几个基本概念和定理：1.切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。*此定理是“知切线，连半径，得垂直”的重要依据，常用于构造直角三角形，进而利用勾股定理或三角函数解决问题。3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。*判定切线有两种常见思路：*若已知直线与圆有公共点，则“连半径，证垂直”。*若未知直线与圆是否有公共点，则“作垂直，证半径（即证明圆心到直线的距离等于半径）”。4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。*此定理常用于证明线段相等、角相等，或进行角度、线段长度的计算。二、典型例题精析例题1(切线的性质应用)已知：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB。分析：欲证AC平分∠DAB，即证∠DAC=∠CAB。已知CD是⊙O的切线，根据切线性质，连接OC，则OC⊥CD。又因为AD⊥CD，所以AD∥OC，从而可得∠DAC=∠OCA。而OC=OA（半径相等），所以∠OCA=∠CAB。等量代换即可得证。证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD（切线的性质定理）。∵AD⊥CD，∴AD∥OC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。∴∠DAC=∠OCA（两直线平行，内错角相等）。∵OC=OA（⊙O的半径），∴∠OCA=∠CAB（等边对等角）。∴∠DAC=∠CAB，即AC平分∠DAB。点评：本题主要考查切线的性质及平行线的性质与判定。“见切线，连半径，得垂直”是解决切线性质问题的常用辅助线作法，由此可以构造出直角或平行线，为后续证明创造条件。例题2(切线的判定与性质综合)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A。(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AD:AO=8:5，BC=2，求BD的长。分析：(1)要判断BD与⊙O的位置关系，即判断BD是否为⊙O的切线。已知BD与⊙O有公共点B（因为O在AB上，E在AB上，若B在圆上，则需确认；若不在，则需作垂线证距离等于半径。但题目中说“以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E”，所以E在AB上，O在AB上，故AE为直径。点B是否在圆上未知。但∠CBD=∠A，∠A是⊙O的圆周角（若连接OD，则∠ADO=90°？）。考虑连接OD，尝试证明OD⊥BD。(2)可利用相似三角形或勾股定理求解。解答：(1)直线BD与⊙O相切。证明如下：连接OD。∵OA=OD（⊙O的半径），∴∠A=∠ADO（等边对等角）。∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°。又∵∠CBD=∠A，∠A=∠ADO，∴∠ADO+∠CDB=90°。∵∠ADO+∠ODB+∠CDB=180°（平角定义），∴∠ODB=180°-(∠ADO+∠CDB)=180°-90°=90°。∴OD⊥BD。∵OD是⊙O的半径，∴直线BD与⊙O相切（切线的判定定理）。(2)设AD=8k，AO=5k，则AE=2AO=10k，OD=OA=5k。由AD=8k，AE=10k，可得DE=AE-AD=2k。（此处可考虑在Rt△ODC或利用△CBD与△BAD相似来求解。）∵∠CBD=∠A，∠C=∠ODB=90°，∴△BCD∽△ODA？或者△BCD∽△BDA？∵∠CBD=∠A，∠B是公共角，∴△BCD∽△BAD（两角对应相等，两三角形相似）。∴BC/BA=CD/DA=BD/BD？不对，对应边成比例：BC/BA=CD/DA=BD/AD。即BC/BA=BD/AD。设CD=x，AC=AD+DC=8k+x。在Rt△ODA中，OD=5k，AD=8k，∠ADO=90°？不，∠ODA不是90°，∠ODB是90°。在Rt△ABC中，tanA=BC/AC=2/(8k+x)。在Rt△ODB中，tan∠DOB=BD/OD=BD/(5k)。而∠DOB=∠A+∠ADO=2∠A（因为∠A=∠ADO）。或者，在Rt△BCD中，tan∠CBD=CD/BC=x/2。∵∠CBD=∠A，∴tan∠A=tan∠CBD，即2/(8k+x)=x/2。得x(8k+x)=4。---(1)由△BCD∽△BAD，得BC/BA=CD/DA，即2/(AB)=x/(8k)，∴AB=16k/x。又AB=AO+OB=5k+OB。在Rt△ODB中，OB²=OD²+BD²=(5k)²+BD²。同时，由△BCD∽△BAD，BD/AD=BC/BA，即BD/(8k)=2/(16k/x)=2x/(16k)=x/(8k)，∴BD=x。所以BD=x。又因为AB=16k/x=5k+OB，OB=√(OD²+BD²)=√(25k²+x²)。所以16k/x-5k=√(25k²+x²)。这个方程看起来比较复杂。换个思路，在Rt△ADC中，似乎关系不明显。或者，过O作OH⊥AC于H，则AH=HD=AD/2=4k（垂径定理）。OH=√(AO²-AH²)=√(25k²-16k²)=3k。OH∥BC（均垂直于AC），∴△AOH∽△ABC。∴AO/AB=AH/AC=OH/BC。即5k/AB=4k/(8k+x)=3k/2。由4k/(8k+x)=3k/2，k≠0，得4/(8k+x)=3/2，∴3(8k+x)=8，即24k+3x=8。---(2)由3k/2=5k/AB，得AB=(10k)/(3k)=10/3。由5k/(10/3)=4k/(8k+x)，也可得到相同关系。由(2)式24k+3x=8，得8k+x=8/3。代入(1)式x*(8/3)=4，解得x=4*3/8=3/2。∵BD=x，∴BD=3/2。点评：本题第(1)问考查切线的判定，关键是连接半径OD，证明OD⊥BD。第(2)问综合性较强，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，需要同学们根据已知条件灵活选择合适的知识点进行求解。利用相似三角形的对应边成比例是解决线段长度问题的常用方法。三、专题训练题1.选择题：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，若∠ACB=70°，则∠P的度数为（）A.70°B.50°C.20°D.40°2.填空题：已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相切，则d=______cm。3.解答题：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是BC的中点，DE⊥AC于E。求证：DE是⊙O的切线。4.解答题：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若∠BAC=120°，AB=6，求DE的长。5.解答题：如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E。(1)求证：AB=BE；(2)若PA=2，cos∠B=3/5，求⊙O的半径长。6.综合题：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OC为半径的圆与AB交于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E。(1)求证：OE⊥AC；(2)若AD=OA，OE=3，求BC的长。四、参考答案与解析1.D解析：连接OA、OB。∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°。∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠ACB=140°（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。在四边形OAPB中，∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-140°=40°。故选D。2.5解析：直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于圆的半径。已知⊙O半径为5cm，故d=5cm。3.证明：连接OD、OC。∵D是BC的中点，∴弧BD=弧CD，∴∠BOD=∠COD（等弧所对的圆心角相等）。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。又∵∠AOC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，且∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BOD，∴2∠OAC+2∠BOD=180°，即∠OAC+∠BOD=90°。∵DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∴∠OAC+∠EDA=90°。∴∠EDA=∠BOD。∵OA=OB，OD=OD，∠AOD=∠BOD+∠AOB？不，∠AOD是∠AOB的一部分？或者，∵∠BOD=∠EDA，且∠EDA与∠ODE是对顶角吗？∵∠BOD=∠EDA，∠EDA=∠CDE（对顶角），∴∠BOD=∠CDE。∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB。又∵∠OBD+∠BAC=90°（AB是直径，∠ACB=90°），∴∠ODB+∠CDE=90°，即∠ODE=90°。∴OD⊥DE。∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。（注：更简洁的证法是连接OD，证明OD∥AC。∵D是BC中点，O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC。∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，得证。此法更佳！）4.(1)证明：连接OD、AD。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的中线（三线合一），∴BD=DC。∵OA=OB，BD=DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC。∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。(2)解：∵AB=AC=6，∠BAC=120°，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=60°，∠C=30°。在Rt△ADC中，AC=6，∠CAD=60°，∴CD=AC·cos∠C=6·cos30°=6·(√3/2)=3√3。或AD=AC·sin30°=3，CD=AC·cos30°=3√3。在Rt△CDE中，∠C=30°，CD=3√3，∴DE=CD·sin∠C=3√3·(1/2)=(3√3)/2。5.(1)证明：连接OD。∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC。∵BE⊥PC，∴OD∥BE。∴∠ADO=∠E。∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO。∴∠OAD=∠E，∴AB=BE。(2)解：设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，AB=2r，BE=AB=2r。∵PA=2，∴PO=PA+AO=2+r。∵OD∥BE，∴△POD∽△PBE。∴PO/PB=OD/BE，即(2+r)/(2+2r)=r/(2r)=1/2。解得2(2+r)=2+2r，4+2r=2+2r，4=2？此方程无解，说明比例式有误。应为PO/PB=OD/BE，PO