基于关键点确定二次函数的表达式-九年级数学探究式教学设计

基于关键点确定二次函数的表达式——九年级数学探究式教学设计一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节课居于“函数”主题的核心。在知识技能图谱上，学生此前已掌握了二次函数的概念、图象及其基本性质，本课的核心任务是引导学生从“形”的感知转向“数”的精确刻画，即学会利用待定系数法，根据已知点的坐标（关键点）确定二次函数的表达式。这不仅是解二次函数具体问题的起点，更是沟通函数解析式、图象与性质三大支柱的枢纽，为后续解决实际应用问题（如最值、抛物线形问题）提供了关键工具。过程方法上，本课深度渗透“数学建模”与“数形结合”思想。从实际问题中抽象出抛物线模型，再到根据坐标信息建立方程（组）求解参数，正是一个简化的数学建模过程。而选择何种表达式形式（一般式、顶点式）更高效，则依赖于对函数图象关键特征（顶点、与坐标轴交点）的几何直观与代数运算的有机结合。素养价值层面，本课旨在培养学生“用数学的眼光观察现实世界”——从生活情境中发现抛物线模型；“用数学的思维思考现实世界”——经历假设、列式、运算、验证的理性思维链条；“用数学的语言表达现实世界”——最终用精确的表达式刻画变量关系，培育严谨求真的科学态度。本节课的教学对象是九年级学生。他们的已有基础包括：熟练解一元一次方程和二元一次方程组，掌握了平面直角坐标系及点的坐标概念，并对二次函数的图象（抛物线）及其开口方向、顶点、对称轴有直观认识。然而，潜在障碍亦十分明显：第一，从“已知图象求表达式”的逆向思维，相较于“已知表达式画图象”的顺向思维，是一个认知跨度；第二，在面对具体问题时，如何依据已知点的特征（如是否为顶点）灵活选择设解析式的形式，是思维灵活性的挑战；第三，解三元一次方程组对部分学生的运算能力是考验。教学过程中，我将通过“前测性问题”快速诊断学生对函数图象与表达式关联的回忆情况；在新授环节，通过搭建从“两点（含顶点）”到“任意三点”的探究阶梯，并设计选择与比较环节，动态评估学生的思维层次与难点所在。基于此，教学调适策略将体现差异化：对基础薄弱学生，强化解方程组的步骤引导与同伴互助；对思维较快学生，则引导其探究不同设法间的内在联系与优劣比较，并尝试解释原因，促进深度理解。二、教学目标知识目标：学生能准确复述待定系数法确定二次函数表达式的基本步骤。在理解层面，学生能清晰辨析二次函数的一般式与顶点式的结构特点及各自所揭示的图象信息（如顶点式直接反映顶点坐标），并能依据题目所给已知点的坐标特征（如是否给出顶点），合理选择设表达式的最优形式，从而高效、准确地求出目标函数表达式。能力目标：学生能够在具体问题情境（文字描述、图形或表格）中，识别出与二次函数相关的变量关系，并抽象出关键点的坐标。进而，他们能够独立完成“依据条件设表达式形式→代入点坐标建立方程（组）→解方程（组）→回代得表达式→口头简述思路”的完整解题流程，发展数学建模与代数运算的核心能力。情感态度与价值观目标：在小组合作探究不同解题方法的优劣时，学生能积极倾听同伴思路，乐于分享自己的见解，体验到数学解法多样性的魅力。通过解决源自生活实际（如抛物线形桥拱、投篮轨迹）的问题，感受数学的工具价值，激发运用数学知识描述和解决现实问题的内在动机。科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的“模型思想”与“数形结合”思想。具体表现为，能将实际问题情境抽象为二次函数模型（建模）；在求解过程中，能根据已知点的几何特征（如顶点在图象上的特殊位置）联想到对应的代数形式（顶点式），实现几何属性与代数表达之间的灵活转化与相互印证。评价与元认知目标：引导学生建立对解题过程的反思习惯。在练习环节，鼓励学生运用“方法选择是否合理、计算过程是否准确、结果是否验证”等标准进行自我核查或同伴互评。课后，能通过对比不同解法，反思自己在面对问题时策略选择的自觉性，逐步形成优化解题路径的元认知意识。三、教学重点与难点教学重点：根据已知点的坐标，选用待定系数法确定二次函数的表达式。其确立依据源于课程标准对函数主题的要求——要求学生能够“用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系”，而确定表达式是进行精确刻画的根本前提。从中考评价导向看，该知识点是高频基础考点，常作为解决二次函数综合题的第一步，其掌握的熟练度与灵活性直接关系到后续问题的解决，因此具有奠基性的枢纽地位。教学难点：难点之一是针对不同已知条件，灵活选择二次函数表达式形式（一般式或顶点式）的策略意识。成因在于学生习惯于机械套用单一形式，缺乏对已知条件与表达式所含信息之间对应关系的深度理解。难点之二是解涉及三元一次方程组的运算准确性及效率。其预设依据来自学情分析：部分学生解方程组技能不扎实，且在多个未知数面前容易产生畏难情绪或步骤混乱。突破方向在于，通过对比性任务让学生亲身体验选择不同形式带来的计算量差异，从而内化优化策略；同时提供清晰的解方程组步骤“脚手架”和小组互助机会。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（包含问题情境动画、分类例题、课堂练习）、几何画板软件（用于动态验证所求函数图象是否过已知点）。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含探究引导、分层练习区）、小组合作讨论卡片。2.学生准备2.1知识预备：复习二次函数图象与性质，特别是顶点坐标公式。2.2学具：草稿纸、作图工具。3.环境布置3.1座位安排：小组合作式座位（46人一组），便于课堂讨论与互助。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：同学们，请看屏幕上的这个视频片段——篮球比赛中一道优美的投篮弧线。如果我们忽略空气阻力，这条弧线近似是什么图形？（抛物线）没错！假如我们知道篮球在出手点（坐标原点）和最高点（顶点）的精确位置，你能用数学的语言，也就是一个函数表达式，来刻画这条投篮轨迹吗？这其实就是我们今天的核心任务。2.唤醒旧知与提出课题：要完成这个任务，我们需要调用关于二次函数的哪些旧知识？（学生可能会提到二次函数的一般形式、顶点形式、图象特征。）非常好。已知一些关键点的坐标，反过来求出具体的函数表达式，这种方法我们称之为“待定系数法”，在之前学习一次函数时已经接触过。今天，我们就来深入探究如何为二次函数“量体裁衣”，根据关键点确定它的表达式。先请大家思考一个热身问题：如果一个二次函数图象的顶点是（1，2），且经过点（0，3），你能大胆猜测一下，设其表达式时，用哪种形式可能更方便？带着这个思考，我们开始今天的探索之旅。第二、新授环节任务一：回顾旧知，建立联系教师活动：首先，我会通过提问引导学生系统回顾：“二次函数的表达式常见有哪些形式？”（一般式y=ax²+bx+c(a≠0)和顶点式y=a(xh)²+k(a≠0)）“它们各自最直接地反映了图象的什么信息？”（一般式各项系数含义较综合；顶点式直接给出顶点坐标(h,k)。）接着，我会板书这两种形式，并强调其中a、b、c、h、k都是待确定的系数。然后提出：“确定一个一次函数y=kx+b需要几个点的坐标？为什么？”（两个，因为有两个待定系数k和b。）“类比一下，要确定一个二次函数，我们需要几个点的坐标呢？请大家根据待定系数个数进行推理。”在此过程中，我会巡视，听取不同学生的推理过程。学生活动：学生独立思考并回答教师提问，回顾两种表达式形式及其特点。通过类比一次函数的经验，推理得出：用一般式需要三个独立点的坐标（因为有三个未知数a、b、c），用顶点式则需要顶点坐标和另外一个点的坐标（因为确定了顶点后，只剩一个未知数a）。即时评价标准：1.能否准确说出二次函数的两种基本表达式形式。2.能否清晰解释“待定系数”在本语境中的含义。3.能否通过类比推理，正确得出确定二次函数表达式所需已知点数量的结论。形成知识、思维、方法清单：★1.核心表达式形式：二次函数表达式主要有一般式(y=ax²+bx+c)和顶点式(y=a(xh)²+k)，其中a均不为零。选择不同形式，决定了后续计算中未知数的数量和求解的复杂度。▲2.待定系数法基本原理：方法是通用的，即先设出含未知系数的表达式，再根据已知条件（点坐标代入满足等式）列出关于系数的方程（组），最后解方程（组）确定系数。这是沟通“形”（点坐标）与“数”（表达式）的桥梁。任务二：探究“顶点+另一点”型（已知特殊点）教师活动：“现在，我们来攻克导入时提出的问题。已知顶点（1，2）和另一点（0，3），如何求表达式？”我会引导学生：“看到‘顶点’，你首先想到设哪种形式？”（顶点式。）“好，请大家跟着我的思路一起做：第一步，设表达式为？”（y=a(x1)²2。）“第二步，将另一个点（0，3）代入，即x=0时，y=3，得到什么方程？”（3=a(01)²2。）“现在这个方程复杂吗？只含有一个未知数a，非常好解。请一位同学口算一下a的值。”（a=1。）“第三步，将a=1代回所设表达式，得到最终结果。”我会用几何画板现场输入得到的表达式y=(x1)²2，展示其图象是否确实经过给定的两个点，进行验证。“大家看，图象完美吻合！这个过程给我们什么启示？当已知条件中明确给出顶点坐标时，优先设顶点式，往往能使计算简化。”学生活动：学生跟随教师引导，同步思考、口答并演算。理解并实践“设（顶点式）→代（点坐标）→解（方程）→写（表达式）”四步法。观察几何画板验证过程，直观感受方法有效性。即时评价标准：1.能否在教师提示下，正确依据顶点坐标设出顶点式。2.代入点坐标时，坐标值代入是否正确（特别是x、y的对应和符号）。3.能否独立解出关于a的一元一次方程。形成知识、思维、方法清单：★3.“顶点+另一点”型解题策略：条件中明确给出顶点坐标时，优先选用顶点式。步骤可概括为：设（顶点式）→代（另一点坐标）→解（一元一次方程求a）→写（表达式）。这是优化计算的关键策略。▲4.验证意识：求出表达式后，可将已知点坐标代入检验是否成立，或利用技术工具画图验证，培养严谨的数学学习习惯。任务三：探究“任意三点”型（无特殊点）教师活动：“如果题目没有给出顶点，只给了抛物线上任意三个点的坐标，比如（1，10）、（1，4）、（2，7），又该怎么办呢？”我将组织小组讨论：“请大家以小组为单位，尝试独立解决这个问题。可以讨论：该设哪种形式？列出方程组后，如何分工合作来解这个三元一次方程组？我们比一比，哪个小组思路清晰、计算准确。”巡视各组，重点关注学生设的形式（应引导向一般式），以及解方程组时的策略（消元顺序、是否有计算错误）。请一个小组派代表上台板书其完整过程。学生活动：以小组为单位开展合作探究。经过讨论，确定应设一般式y=ax²+bx+c。将三个点的坐标分别代入，建立关于a、b、c的三元一次方程组。小组成员协作解方程组（可能采用加减消元或代入消元法）。派代表上台展示过程，其他小组进行审视和评价。即时评价标准：1.小组讨论后，能否达成共识使用一般式。2.列方程组时，三个方程是否都正确列出。3.解方程组过程是否条理清晰、计算准确，小组成员是否有效参与。形成知识、思维、方法清单：★5.“任意三点”型解题策略：当已知点是任意三点（无顶点信息）时，通常设一般式。步骤为：设（一般式）→代（三点坐标，得三元一次方程组）→解（方程组）→写（表达式）。这是待定系数法最基础、最通用的应用。★6.解三元一次方程组技巧：计算是本步骤的难点。建议按顺序代入点坐标，列出标准方程组后，选择先消去某一个元（如c常较易消去），转化为二元一次方程组求解。细心和耐心是关键。任务四：方法对比与策略优化教师活动：在任务二和任务三完成后，我将抛出核心对比问题：“回顾我们解决的两种类型，大家有没有发现，选择表达式形式的‘秘诀’是什么？”引导学生总结：关键在于分析已知点的特征。如果已知点中包含顶点，用顶点式通常更简便（只解一个方程）；如果已知点是任意三个普通点，则用一般式。接着，我设计一个即时决策练习：“请快速判断：已知抛物线过点（1，5）、（0，4）、（2，2），该设哪种形式？为什么？”再变式：“如果已知点是（0，1）、（1，0）、（3，0），其中（1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的交点，你有更巧妙的设法吗？”引出交点式（若学情允许可简要介绍，作为拓展），但不作强制要求，旨在打开思路。学生活动：学生对比两个任务的解题过程，积极参与讨论，归纳出选择表达式形式的策略依据。对教师的即时提问进行快速思考与回答。对于交点式变式，部分学有余力的学生可能产生兴趣并进行思考。即时评价标准：1.能否用自己的语言概括出根据已知点特征选择表达式形式的策略。2.面对新条件时，能否快速、正确地做出形式选择并说明理由。形成知识、思维、方法清单：★7.策略选择心法：审题时先分析已知点的几何特征。含顶点→想顶点式；任意三点→想一般式；若已知与x轴两交点，还可考虑交点式y=a(xx₁)(xx₂)。选择正确形式是简化计算、提高解题效率的“金钥匙”。▲8.数形结合思想的深化：点的坐标是“数”，点的位置特征（如顶点、与坐标轴交点）是“形”。解题时，要不断在“数”与“形”之间进行翻译和联想，这是理解函数本质的核心思想。任务五：归纳步骤，形成范式教师活动：引导全班共同总结确定二次函数表达式的一般步骤。我会说：“经历了这么多实战，谁能帮老师梳理一下，不管遇到哪种类型，我们通用的‘四步通关法’是哪四步？”鼓励学生补充完善，最终形成板书：一设（根据条件选形式）、二代（坐标代入得方程）、三解（方程或方程组）、四写（回代得表达式）。并强调：“别忘了，还有一步非常重要的‘验算’，可以确保我们的辛苦计算不出错。”学生活动：学生回顾整个学习过程，积极参与归纳，共同总结出通用的解题步骤，并加深对“验证”环节重要性的认识。即时评价标准：1.能否与教师、同学协作，完整、准确地归纳出解题的通用步骤。2.是否认同并理解“验证”作为隐含步骤的必要性。形成知识、思维、方法清单：★9.待定系数法通用步骤：一设、二代入、三求解、四还原（写表达式），外加验证。这是解决此类问题的标准化、程序化思维框架，有助于规范解题过程，减少失误。★10.数学建模微型循环：从实际问题中识别二次函数关系（建模）→设表达式（模型假设）→代入点坐标（模型建立/参数估计）→求解验证（模型求解与检验）。本节课完整经历了一个简化版的数学建模过程。第三、当堂巩固训练本环节设计分层变式练习，学生根据自身情况至少完成基础层和综合层。基础层（直接应用）：1.已知二次函数图象顶点为（2，3），且过点（1，5），求其表达式。2.抛物线过点（0，1）、（1，2）、（2，1），求其表达式。综合层（情境应用）：3.一座抛物线形拱桥，当水面在桥下2米时，水面宽4米。若以桥拱最高点为原点建立坐标系，测得水面一侧的边缘点坐标为（2，2）。求该拱桥对应的抛物线表达式。（此题需要学生理解坐标系建立方式，将实际问题坐标化。）挑战层（开放探究）：4.小明说：“只要知道抛物线上任意三个点的坐标，就一定能求出唯一的二次函数表达式。”小亮说：“不一定，比如告诉我（0，0），（1，1），（2，4）这三个点，满足的函数可不一定只是二次函数。”你赞同谁的观点？请说明理由。（此题引导学生思考点的坐标与函数类型的关系，触及函数拟合概念边缘。）反馈机制：基础层练习通过投影展示学生答案，由学生集体核对、教师点评典型错误（如代入错误、符号错误）。综合层练习进行小组互评，重点评价坐标转化和模型建立过程。挑战层作为思考题，请有想法的学生分享见解，教师进行总结提升，明确“三个点确定唯一二次函数”的前提是“该函数是二次函数”。第四、课堂小结知识整合：现在，请大家花两分钟时间，在笔记本上画一个简单的思维导图，梳理一下本节课的核心：我们学了哪几种求二次函数表达式的情况？各自对应什么方法？关键策略是什么？请一位同学分享他的梳理成果。方法提炼：学生分享后，教师强调：“今天我们不仅学会了‘待定系数’这个工具，更重要的是体会了‘先分析、再选择’的策略思想，以及‘数形结合’在思考中的巨大作用。这就是数学的智慧。”作业布置：必做（基础巩固）：教材对应练习题，完成3道涉及不同类型已知条件的题目。选做（拓展应用）：1.寻找一个生活中的抛物线实例（如喷泉弧线、桥拱照片），尝试建立简易坐标系，测量或假设几个关键点坐标，估算其二次函数表达式。2.探究：如果已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标和另一个点的坐标，如何设表达式最简便？试推导并总结。六、作业设计基础性作业：1.已知二次函数图象经过点（0，3），（1，0），（3，0），求这个函数的表达式。（巩固“交点式”或一般式应用）2.已知抛物线顶点为（1，4），且与y轴交于点（0，3），求其表达式。（巩固“顶点+一点”型）3.若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（1，1），（0，2），（1，1）三点，求a,b,c的值。（巩固“任意三点”型及解方程组）拓展性作业：4.（情境题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t5t²。请问：小球运动到最高点时的坐标（t,h）是多少？小球抛出多长时间后落地？（此题需将函数表达式化为顶点式求最高点，并解方程h=0求落地时间，是表达式与图象性质的综合应用。）探究性/创造性作业：5.（开放探究）请你自己设计一组条件（可以是文字描述、图形或表格），使得根据这组条件确定二次函数表达式时，采用顶点式比采用一般式计算量更小。并写出你的完整解答过程。6.（跨学科联系）查阅资料，了解抛物线在物理学（如平抛运动轨迹）、工程学（如卫星天线截面）中的一个具体应用实例，简要说明其中是如何确定或利用抛物线表达式的。七、本节知识清单及拓展★1.二次函数表达式两大基本形式：一般式y=ax²+bx+c(a≠0)，揭示了所有二次函数的共性；顶点式y=a(xh)²+k(a≠0)，直接揭示了抛物线的顶点坐标(h,k)和对称轴x=h。理解两者之间的互化关系至关重要。★2.待定系数法根本原理：通过设定含有未知系数的函数模型，利用已知条件（点的坐标满足函数关系）建立关于系数的方程或方程组，从而确定这些系数，最终得到具体的函数表达式。这是一种普遍的数学方法。★3.“顶点+另一点”型求解策略：当条件中明确给出顶点坐标(h,k)时，优先设顶点式。只需再将另一点坐标代入，解一个关于a的一元一次方程即可。这是优化计算的核心策略。口诀：见顶点，设顶点式。★4.“任意三点”型求解策略：当已知是抛物线上任意三点坐标（且无顶点信息）时，通常设一般式。将三点坐标分别代入，得到一个三元一次方程组，解之即可。这是最基础、最通用的方法。★5.方法选择的总原则：先分析已知点的几何特征，再决定所设代数形式。审题时多花30秒分析，可能节省后续大量计算时间。这是数形结合思想的直接体现。▲6.交点式简介（拓展）：若已知抛物线与x轴的两个交点坐标为(x₁,0),(x₂,0)，则可设表达式为y=a(xx₁)(xx₂)(a≠0)。再代入其他一点即可求a。这在某些问题中极为便捷。★7.通用解题四步骤：一设（形式）、二代（坐标）、三解（方程/组）、四写（表达式）。务必形成规范解题习惯。★8.验证的必要性：求出表达式后，务必将已知点坐标代回检验，或心算几个关键值。这是保证解题正确的最后一道防线，能有效排查代入错误或计算失误。★9.数形结合的贯穿性：确定表达式的过程，本质是建立“点的几何位置”与“式的代数系数”之间的对应关系。思考时，脑中要有图象；计算时，心中要明几何意义。▲10.常见错误警示：①设顶点式时，顶点坐标(h,k)的符号易错，应为y=a(xh)²+k。②代入坐标时，x和y的值对应错误。③解方程组时步骤混乱，消元目标不明确。建议计算时步骤清晰，书写工整。▲11.与一次函数确定方法的类比与迁移：一次函数y=kx+b需要两个点确定，对应两个方程；二次函数需要三个点（或等量信息）确定，对应三个方程。理解待定系数个数与所需独立条件数量的一致性。▲12.应用的广泛性：确定二次函数表达式是解决抛物线形实际问题的第一步，如拱桥设计、弹道计算、最优规划等。它标志着从定性描述走向定量分析。八、教学反思（一）教学目标达成度分析从预设的课堂活动与巩固练习反馈来看，知识目标与能力目标达成度较高。绝大多数学生能熟练复述待定系数法步骤，并在基础层和综合层练习中，能依据条件正确选择形式并完成求解。通过任务四的对比讨论和即时决策练习，观察到约70%的学生能清晰阐述选择策略，表明策略意识已初步建立。情感目标在小组合作探究任务三时表现明显，学生讨论热烈，能有效分工。科学思维目标中，“模型思想”在解决拱桥问题时得到体现，“数形结合”在选择策略的讨论中成为学生自觉使用的语言，这是可喜的进展。元认知目标在课堂小结的自主梳理环节有所渗透，但如何让更多学生养成解题后主动验证、反思策略的习惯，仍需长期坚持。（二）教学环节有效性评估导入环节的“投篮轨迹”情境有效激发了兴趣，并自然衔接到核心问题。新授环节的五个任务构成了逻辑清晰的探究链：任务一奠基，任务二、三分别突破两种典型类型，任务四的对比优化是点睛之笔，任务五的归纳升华形成结构。其中，任务三的小组合作探究是高潮，也是难点突破的关键。预设的“脚手架”——引导学生先讨论“设什么形式”，有效避免了盲目尝试；巡视中对解方程组困难小组的个别指导，保障了探究的基本顺利进行。当堂巩固的分层设计满足了不同学生需求，挑战层的开放性问题引发了部分学生的深度思考，起到了“提优”作用。（三）学生表现与差异化应对剖析在课堂上，可以观察到明显的层次差异：A层学生（基础扎实、思维敏捷）能快速完成任务二、三，并在任务四中提出见解，甚至对“交点式”产生自发探究欲望。对于他们，课堂中通过追问“为什么选择这个形式更好？”、“还有没有其他设法？”来提升思维深度，并在拓展