基于数学建模思想的小学六年级“流水行船”问题探究教学设计

基于数学建模思想的小学六年级“流水行船”问题探究教学设计一、教学内容分析

本研究内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中“数量关系”主题。其教学“坐标”在于引导学生从静态、单向的速度关系认知，发展到动态、复合的运动关系理解。在知识技能图谱上，它以一般行程问题（速度、时间、路程三者关系）为基石，通过引入水流这一动态变量，核心概念聚焦于“船速”、“水速”、“顺水速度”、“逆水速度”四者关系的建构。这不仅是行程问题的深化与复杂化，更是为后续学习相对运动、向量合成等更抽象的数学与物理概念埋下认知伏笔，属于认知链条上的关键跃升点。在过程方法路径上，本节课是发展学生“模型意识”与“应用意识”的绝佳载体。课程标准强调的“模型意识”在此具体化为：从“船在流动水中航行”这一现实情境中，抽象出速度叠加或抵消的数学模型，并用该模型解决一类问题。课堂探究活动的形式可设计为：情境感知>提出假设>归纳关系>模型表达>应用拓展。在素养价值渗透方面，通过分析水流对行船的影响，引导学生体会事物间的普遍联系与相互制约，培养辩证思维；在解决复杂条件的问题中，锻炼其逻辑推理的严谨性与系统性，体现数学的理性精神；通过将生活现象（如漂流、帆船比赛）数学化，感受数学建模的力量与美感，实现“润物无声”的素养浸润。因此，本节课的重难点预判为：从“单一速度”到“速度合成”的认知跨越，以及对“静水速度”这一基准概念的深刻理解。

基于“以学定教”原则进行学情研判。学生的已有基础与障碍在于：他们已牢固掌握速度、时间、路程的基本关系，并能解决单向直线运动问题。然而，其认知惯性与障碍亦在于此——习惯于将“速度”视为单一、不变的量。面对“流水行船”，学生常出现的认知误区是：无法理解“船的实际速度”是船自身动力速度与水流动速度共同作用的结果，易将“顺水速度”或“逆水速度”直接等同于“船速”。他们的兴趣点可能在于与水流相关的探险、航行故事或竞赛情境。为动态把握学情，过程评估设计应贯穿始终：在导入环节通过生活化提问探查前概念；在新授环节通过小组讨论中的观点碰撞观察理解进程；在巩固环节通过分层练习的完成情况精准诊断。基于此，教学调适策略需分层设计：对于理解速度合成有困难的学生，提供直观的线段图演示、动态课件模拟，甚至用实物（如小车在传送带上）进行类比，搭建认知脚手架；对于能快速掌握基本关系的学生，则引导其进行模型变式探究（如两船相遇、追及问题），并鼓励他们思考“如果船速小于水速会怎样？”等开放性问题，满足其深度学习的需求。二、教学目标

知识目标：学生能深入理解并清晰表述流水行船问题中的四个核心概念（船速、水速、顺水速度、逆水速度）及其内在联系，自主建构出“顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速水速”的数学模型，并能准确辨析题目条件中的这些概念，用字母或算术式进行规范表达。

能力目标：学生能够从具体航行情境中抽象出速度关系模型，并运用该模型灵活解决不同情境下的单船航行、两船相遇与追及等典型问题。具体表现为能通过画线段图、列关系式等方式分析复杂条件，进行严谨的逻辑推理与计算，发展数学建模和解决实际问题的综合能力。

情感态度与价值观目标：在探究水流与船速相互影响的关系中，学生能初步感知事物间的普遍联系与运动相对性，激发对自然界中力学现象的好奇心；在小组协作攻克难题的过程中，体验理性思考与团队合作的价值，培养不畏复杂、有条理地解决问题的科学态度。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的模型建构思维与方程思想。通过将实际问题“数学化”的过程，引导学生经历“识别变量—建立关系—求解验证”的完整建模流程。课堂上，通过“如果不告诉你船速，只告诉顺水和逆水速度，你能反推出船速和水速吗？”等关键问题链，驱动学生逆向思考，自然引出“和差问题”思路或简易方程方法。

评价与元认知目标：引导学生学会评价自己解题思路的合理性与简洁性。例如，在练习后设置“对比不同解法”环节，鼓励学生反思：“我的方法是直接套公式，还是理解了速度合成的本质？”“哪种画图方法更能清晰地展示数量关系？”从而提升其监控和调节自身学习策略的元认知能力。三、教学重点与难点

教学重点：建立并熟练运用流水行船问题的四个基本速度关系式（顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速水速，船速=(顺水速度+逆水速度)÷2，水速=(顺水速度逆水速度)÷2）。确立依据在于：这四个关系式是本课题的“大概念”，是沟通具体情境与抽象模型的桥梁，是解决所有衍生问题（如相遇、追及、求时间、求路程）的核心算法基础。从能力立意看，小升初及各类数学竞赛中，对该模型的直接应用与变式考察是高频考点，掌握这些关系意味着掌握了此类问题的解题“钥匙”。

教学难点：理解速度的合成与分解思想，特别是对“静水速度”（船速）作为基准速度的抽象理解；在复杂问题（如两船运动）中，灵活、准确地选择参照系并分析相对速度。预设依据基于学情：小学生思维以具体形象为主，理解两个速度“合成”一个速度（尤其是方向相反时）存在认知跨度。常见错误表现为将“顺流而下的路程”直接除以“船速”求时间，本质是未理解实际速度已改变。突破方向在于强化直观演示与生活类比，并通过分步拆解复杂问题来搭建思维阶梯。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：教学课件（含动态演示船在顺水、逆水中航行速度变化的动画或视频）；实物投影仪。

1.2文本与材料：分层设计的学习任务单（含探究记录、分层练习题）；板书记划（左侧留作关系式推导区，中部为核心例题讲解区，右侧为方法提炼区）。2.学生准备

2.1知识预备：复习行程问题基本公式；预习教材或讲义相关内容，并尝试用自己的话解释“顺水速度”和“逆水速度”。

2.2学具：直尺、铅笔。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与认知冲突：同学们，我们先来看一小段视频（播放无人机在风中飞行或小船在河水中航行的简短视频）。大家看，这架无人机想要飞到正对面的目的地，但如果刮风了，它还能笔直飞过去吗？或者这艘船，想从码头开到对岸，水流会影响它吗？（稍作停顿，引发思考）没错，实际运动往往会受到其他“力”或“流”的影响。今天，我们就来深入研究一个经典而有趣的数学问题——当船在流动的河水中航行时，它的速度会怎样变化？我们又该如何计算它的航行时间和路程呢？

1.1提出核心驱动问题：假设一艘船本身有动力，能在静止的水中以固定速度行驶。现在把它放到流动的河里，它顺流而下和逆流而上的实际速度，与船本身的动力速度、水流速度之间，到底存在着什么样的“数学关系”呢？这就是我们今天要解开的核心谜题。

1.2明晰学习路径：我们将像数学家一样，先从简单的例子入手，通过画图、推理，亲自发现这个隐藏的“速度关系法则”；然后，用这个法则去解决更复杂的航行挑战；最后，我们还会思考这个模型在生活其他领域的影子。请大家准备好纸笔，我们即将开始一场思维的航行。第二、新授环节任务一：感知情境，定性分析1.教师活动：呈现基础情境图：一条河流，标明水流方向；一艘有动力的船。首先提问：“如果这艘船关闭动力，顺水漂流，它的速度由什么决定？”引导学生得出“漂流速度=水速”。接着提问：“如果船开着动力，想要逆水上行，它会感觉更费力还是更轻松？实际速度会比静水时快还是慢？”让学生进行小组简短讨论，鼓励用生活经验回答。教师总结：水速可以“帮”船，也可以“阻”船。“看来，水流就像一位看不见的‘伙伴’，有时推我们一把，有时拽我们一下。”2.学生活动：观察情境图，积极回答教师提问。参与小组讨论，基于生活常识（如逆风骑车更费力）进行类比推理，初步形成“顺水加速、逆水减速”的定性认识。3.即时评价标准：1.能否准确说出“漂流速度即水速”。2.讨论时能否用恰当的生活实例进行类比。3.能否清晰地口头表达“顺水更快，逆水更慢”的判断及原因。4.形成知识、思维、方法清单：

★水流的影响：水流速度（水速）会改变船的实际航行速度。顺水时起推动作用，逆水时起阻碍作用。这是分析所有流水行船问题的物理基础。

★区分两类速度：开始明确区分“船在静水中的速度”（船速，即船自身动力速度）和“船在流水中的实际速度”。这是建立数学模型的前提。

▲生活类比：逆风骑行、扶梯上行等情境与流水行船有相似的数学模型。学会跨情境联想有助于深化理解。任务二：建立模型，推导关系式1.教师活动：现在我们来定量研究。假设船在静水中每小时行20千米（船速=20km/h），水流每小时行5千米（水速=5km/h）。教师引导画线段图：用一条线段表示船速，另一条同向线段表示水速，“当它们方向一致时，合起来的力量有多大？”引导学生得出：顺水速度=20+5=25km/h。同理，用线段图演示逆水情况：船速线段朝上游，水速线段朝下游，“这时，水流在抵消船的力量，实际前进的速度还剩多少？”引导学生得出：逆水速度=205=15km/h。板书核心公式：顺水速度=船速+水速(V顺=V船+V水)；逆水速度=船速水速(V逆=V船V水)。“好，最核心的‘速度密码’被我们找到了！”2.学生活动：跟随教师引导，亲手在任务单上画线段图表示两种情境。通过观察和计算，理解速度的“加”与“减”。模仿板书，记录两个核心公式。3.即时评价标准：1.绘制的线段图是否清晰、方向正确。2.能否独立根据线段图列出正确的加法或减法算式。3.能否用自己的语言复述两个公式的含义。4.形成知识、思维、方法清单：

★核心数学模型：V顺=V船+V水；V逆=V船V水。这是解决一切问题的基石，必须深刻理解并熟记。

★数形结合方法：用线段图直观表示速度的合成与抵消，是理解抽象数量关系的强大工具。鼓励“边读题，边画图”。

▲模型变式：由基本公式可推导出：V船=(V顺+V逆)÷2；V水=(V顺V逆)÷2。这两个公式在已知往返速度求船速水速时非常高效，可适时引出。任务三：基础应用，巩固模型1.教师活动：出示例1（直接应用）：一艘船在静水中速度为30km/h，水流速度10km/h。求顺水航行3小时的路程，以及逆水航行60千米所需的时间。巡视指导，关注后进生是否直接套用公式。请两名学生板书并讲解。“这两位同学都做对了，但大家注意看，他们第一步都是先求什么？（顺水/逆水速度）。对，这是解题的‘标准动作’，千万别跳步。”2.学生活动：独立审题，先判断是顺水还是逆水情境，选择合适的公式求出实际速度，再根据行程公式求解。聆听同伴讲解，核对思路。3.即时评价标准：1.解题步骤是否完整（先求实际速度，再求问题）。2.计算是否准确。3.单位使用是否规范。4.形成知识、思维、方法清单：

★标准解题流程：审题>识别顺/逆>选用公式求实际速度>结合行程基本公式求解。形成规范化解题习惯。

★易错点提醒：顺水、逆水速度是“桥梁”，不可跳过直接计算。路程、时间、速度要对应同一运动状态。

▲公式逆用：如果题目先给了路程和时间，求出的速度是实际速度（V顺或V逆），需进一步利用模型求船速或水速。任务四：综合应用，解决往返问题1.教师活动：呈现典型问题：“已知一艘船往返于A、B两码头，顺水需4小时，逆水需5小时。已知水速为2km/h，求两码头距离。”“这个问题一下子没有直接给船速了，怎么办？感觉有点绕，是不是？”引导学生分析：距离不变，但往返速度不同导致时间不同。设未知数（距离S或船速V船）列方程是通用方法。同时，启发学生利用刚才推导的变式公式：能否先求出船速？提示：顺水、逆水速度不知道具体值，但它们的和与差与水速有关。引导学生发现，知道了时间比，可以设距离为单位“1”，用分数表示速度，再根据V顺V逆=2V水来求解。展示不同思路，比较优劣。2.学生活动：小组合作探讨。尝试不同的解题策略：有的可能设船速为x列方程；在教师启发下，尝试用“和差公式”或分数方法求解。感受一题多解的魅力，讨论不同方法的适用条件。3.即时评价标准：1.小组讨论是否积极参与，能否提出自己的思路。2.能否理解至少一种解题方法。3.能否认识到此类问题的关键是处理“不直接给出的船速”。4.形成知识、思维、方法清单：

★典型题型——已知往返时间求距离/船速：这是流水行船问题的经典深化题型，常作为选拔性考题。

★核心策略：1.方程思想：设元（船速或距离），根据基本关系式或路程相等布列方程。2.巧用和差公式：当已知水速和往返时间时，V船=(S/4+S/5)÷2（需先求S），或利用时间差与速度差的关系求解。

▲转化与化归：将往返问题转化为关于船速、水速的数学关系问题，是突破复杂情境的关键思维。任务五：挑战拓展，探究相遇与追及1.教师活动：提出挑战性问题：“甲乙两码头相距180千米，A、B两船分别从甲乙同时出发，A顺水而下，B逆水而上，2小时后相遇。已知A船在静水中速度为35km/h，B船为25km/h，求水流速度。”“两船都动起来了！这和我们学过的相遇问题有什么联系和区别？”引导学生将流水行船模型嵌套入相遇模型。关键点：两船的“速度和”不再是简单的静水速度之和，而是要考虑水流对各自的影响。即：速度和=(V_A船+V水)+(V_B船V水)=V_A船+V_B船。“神奇吗？水速在加法中抵消了！所以，对于在流水中相向而行的两船，它们的速度和就等于它们在静水中的速度之和。”同理，可简要探讨同向追及问题中速度差的变化。2.学生活动：尝试独立分析，遇到困难后聆听教师点拨。经历“困惑点拨恍然大悟”的过程。理解在相遇问题中，水流对两船的影响相互抵消，简化了计算。记录这一重要结论。3.即时评价标准：1.能否独立分析出水速对两船速度的相反影响。2.能否理解并接受“速度和与水速无关”的结论。3.学习态度是否积极，勇于接受挑战。4.形成知识、思维、方法清单：

★流水中的相遇问题核心结论：两船在河流中相向而行（一艘顺水、一艘逆水），从出发到相遇，两船的速度和=甲船船速+乙船船速（水速抵消）。这是一个非常实用的简化结论。

★模型嵌套思想：将流水行船模型作为一个“插件”，嵌入到更复杂的行程问题框架（相遇、追及）中。先分析单个对象的实际速度，再应用相应行程问题模型。

▲思维拓展：若两船同向航行（都顺水或都逆水），则追及速度差与静水中相同；若一顺一逆同向，则情况更为复杂，可作为课后思考题。第三、当堂巩固训练

设计分层、变式的训练体系，学生在学习任务单上完成。

基础层（全员达标）：1.直接应用公式：已知船速25km/h，水速5km/h，求顺水速度、逆水速度。2.已知顺水速度36km/h，逆水速度24km/h，求船速和水速。

综合层（多数挑战）：3.一艘船从甲港到乙港顺水航行需8小时，返回逆水需12小时。已知水速每小时3千米，求甲乙两港距离。（教师巡视时提示：“距离不变，时间不同，想一想用什么方法能把船速‘逼’出来？”）

挑战层（学有余力）：4.思考题：一条河上有甲乙两码头。一艘货船从甲到乙顺水需行6小时，从乙到甲逆水需行8小时。一天，因为下雨，水流速度变为原来的2倍。问这艘货船从甲到乙顺水航行需要多少小时？

反馈机制：基础层题目完成后同桌互换批改，教师公布答案。综合层题目请两位不同思路的学生上台板书讲解，教师点评关键步骤和易错点。挑战层题目作为思维火花展示，邀请有想法的学生简要口述思路，教师予以肯定和引导，不要求全体掌握。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。“同学们，今天的‘思维航行’即将靠岸。谁能用最简洁的方式告诉我们，你今天最大的收获是什么？是一组公式，一种方法，还是一个有趣的发现？”鼓励学生自由发言。教师随后用板书结构进行梳理：1.知识整合：核心是四个速度（船、水、顺、逆）的两组基本关系式；由它们衍生出求船速、水速的公式；并可将此模型应用于相遇等问题。2.方法提炼：我们用了数形结合（画图）、模型建构（从情境抽象公式）、方程思想、转化与化归（把复杂问题转化为基本关系）等方法。“记住，公式是工具，背后的‘速度合成’思想才是灵魂。”3.作业布置：公布分层作业（见下文），并预告下节课可能会探讨“风中飞行”等问题，与今天所学模型有异曲同工之妙，激发持续探究的兴趣。六、作业设计

基础性作业（必做）：1.完成讲义上的基础练习题组，涵盖直接求顺/逆水速度、已知往返时间求单一量等。2.整理本节课笔记，用思维导图的形式呈现四个核心概念及其关系。

拓展性作业（建议完成）：3.情境应用题：查阅资料，估算长江某段的水流平均速度，假设一艘游轮静水速度，计算其往返该段的大致时间差，撰写一份简短的“航行时间预估说明”。4.解决一道涉及流水行船与比例知识结合的综合题。

探究性/创造性作业（选做）：5.自主命题：请你创设一个包含流水行船问题的故事情境（如海盗寻宝、快递运输），并编制一道有解、数据合理的数学题，写出详细解答过程。6.探究：如果船在航行中，不仅受到水流影响，还受到恒定风向的影响（假设风只影响船速，不影响水流），该如何建立更复杂的数学模型？尝试用文字或图示描述你的想法。七、本节知识清单及拓展

1.★核心概念：船速(V船)：也称为“静水速度”，指船在没有任何水流影响的静止水面上的自身航行速度。是衡量船本身动力性能的基准。

2.★核心概念：水速(V水)：指河流本身流动的速度，方向为河道的下游方向。是影响船实际速度的外部变量。

3.★核心概念：顺水速度(V顺)：船在流动水中，航行方向与水流方向一致时的实际速度。计算公式：V顺=V船+V水。理解关键：水流助力，速度叠加。

4.★核心概念：逆水速度(V逆)：船在流动水中，航行方向与水流方向相反时的实际速度。计算公式：V逆=V船V水(V船>V水时)。理解关键：水流阻碍，速度抵消。

5.★核心推导公式1：船速公式：当已知顺水速度和逆水速度时，船速可通过V船=(V顺+V逆)÷2求得。本质是“和差问题”中的“大数”（顺水）与“小数”（逆水）的平均数。

6.★核心推导公式2：水速公式：当已知顺水速度和逆水速度时，水速可通过V水=(V顺V逆)÷2求得。本质是“和差问题”中的“差”的一半。

7.▲重要前提：在标准流水行船问题中，通常默认船速大于水速(V船>V水)，以保证船能够逆水航行。若V船≤V水，则船无法行驶到上游，其运动状态需另行分析。

8.★基本解题步骤：(1)审题，明确已知条件是船速、水速、顺水速度、逆水速度中的哪些；(2)判断问题涉及顺水还是逆水航行；(3)选用或推导合适的速度公式；(4)结合“路程=速度×时间”求解。

9.▲典型题型1：已知单程时间求距离。常用方法：设距离为S，根据顺、逆水时间表示出V顺和V逆，再利用V顺V逆=2V水建立方程求解；或利用V船=(S/t顺+S/t逆)÷2与V水的关系求解。

10.★典型题型2：流水中的相遇问题。两船分别从上下游相向而行（一顺一逆），从出发到相遇，所用时间=两地距离÷(甲船船速+乙船船速)。惊人结论：相遇时间与水速无关！因为水速在速度和计算中被抵消。

11.▲典型题型3：流水中的追及问题。需谨慎分析。若两船同向（都顺水或都逆水）追及，则追及速度差=两船船速之差，与水速无关。若一船顺水、一船逆水同向追及，则情况复杂，需具体分析实际速度差。

12.★关键思想：数学模型：流水行船问题本质是建立了一个关于速度合成的线性数学模型。它揭示了多个运动因素共同作用时，总效果可分解为各因素独立效果的叠加（考虑方向）。

13.★重要方法：线段图辅助分析：用带箭头的线段长度表示速度大小，方向表示航行方向，能直观展示顺水时的“线段加长”、逆水时的“线段缩短”，是化解抽象思维难点的利器。

14.▲易错点警示：切忌不区分“船速”与“实际速度”，看到速度就直接用于计算路程或时间。务必先根据航行方向，将船速转化为正确的V顺或V逆。

15.▲知识关联：方程思想：对于较复杂的流水行船问题，设未知数（常设船速或距离为x），根据基本关系式布列方程，是通用且有效的代数方法。

16.▲生活与跨学科拓展：此模型不仅用于行船，还适用于飞机与风速、人在移动传送带上行走等情境。在物理学中，这是“运动的合成与分解”的简单一维案例，是理解向量合成的启蒙。八、教学反思

（一）教学目标达成度分析：从课堂反馈与巩固练习完成情况看，绝大多数学生达成了知识目标与基础能力目标，能够正确运用公式解决标准情境问题。在“模型推导”任务中学生的积极参与和“恍然大悟”的表情，是情感与思维目标达成的生动证据。然而，挑战层题目的完成情况显示，将模型灵活应用于高度变形情境的能力，仅在约三分之一的学生身上稳定体现。这提示模型的内化与应用需要更长的周期和更多的变式训练。

（二）教学环节有效性评估：导入环节的视频与设问成功地制造了认知冲突，激发了兴趣。“当时有学生立刻说‘顺水省油，逆水费油’，这个生活化的表达说明他们联系实际了，很好。”新授环节的五个任务阶梯设计基本合理，但在“任务四（往返问题）”处，部分学生出现了明显的思维停滞。尽管预设了多种解法，但在有限时间内，让所有学生都理解并掌握一种以上方法显得仓促。或许应将此任务的部分内容调整为课后拓展，或设计更细化的“问题链”进行引导。