《搭配的学问：从生活到模型的数学探索》-小学三年级下册数学教学设计

《搭配的学问：从生活到模型的数学探索》——小学三年级下册数学教学设计一、教学内容分析  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“综合与实践”领域，核心是引导学生初步感受分类讨论、有序思考和符号化思想，是组合数学的启蒙，亦是未来学习概率统计的基石。从知识技能图谱看，它位于学生已掌握简单分类与简单罗列之后，是逻辑思维从“无序枚举”迈向“有序建构”的关键节点。其认知要求从具体操作（摆一摆）过渡到形象表征（画一画、连一连），最终导向抽象建模（用字母、算式表示），体现了“具体—表象—抽象”的认知发展路径。过程方法上，本课是数学建模思想的初步体验，学生将在“创设现实情境—提取数学问题—探索解决方法—表达与验证模型—解释与应用模型”的完整过程中，发展发现问题、提出问题的能力。其素养价值深远，不仅在于培养学生全面、有序思考问题的习惯（推理意识），更在于让学生体会到数学是对现实世界抽象概括的模型（模型意识），数学方法可以简洁、清晰地解决生活实际问题（应用意识），从而增强学习数学的兴趣与自信。  基于“以学定教”原则，学情研判如下：三年级学生思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，具备简单罗列的生活经验，但普遍缺乏“有序”和“不重不漏”的方法论自觉。其兴趣点在于动手操作和解决贴近生活的问题，认知难点在于从直观操作抽象为符号化表达，以及理解“乘法原理”的算理依据。常见误区是重复或遗漏搭配方案。因此，教学调适应以差异化任务驱动：对于思维直观型学生，提供充分的实物或图片操作机会，搭建从操作到记录的“脚手架”；对于思维趋向抽象的学生，则鼓励其尝试符号化记录并解释算理。课堂将通过观察学生操作过程、倾听小组讨论、分析记录单等形成性评价手段，动态诊断学生的思维层次，及时提供个别化指导或进阶挑战。二、教学目标  知识目标：学生能理解简单搭配问题的本质是“组合”，在解决“从m个元素中选1个，与从n个元素中选1个进行配对”的问题时，能经历从实物操作到图形连线，再到抽象算式（m×n）的完整建模过程，并清晰解释每一步搭配的对应关系与乘法算式的含义。  能力目标：学生能够运用“固定其中一个，有序轮换另一个”的策略，通过动手操作、画图、连线等方式，独立或合作探索并系统化地呈现所有搭配方案，做到不重复、不遗漏，并能用简洁的数学语言或算式描述搭配结果。  情感态度与价值观目标：在探索搭配方案的过程中，学生能体验数学的秩序美与简洁美，感受数学与日常生活的紧密联系；在小组合作中，愿意倾听同伴意见，敢于表达自己的思考过程，并享受通过有序思考成功解决问题的成就感。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的有序思维与初步的模型思维。通过设计“如何记录才能让没看到操作过程的人也一目了然？”等问题链，引导学生经历从具体事物中抽象出数学模型（乘法原理的雏形）的过程，培养其思维的条理性和概括性。  评价与元认知目标：学生能依据“有序、清晰、不重不漏”的标准，通过同伴互评检验搭配方案的完整性；能在课堂小结时，反思自己是从“乱序尝试”走向“有序思考”的，并初步总结出解决此类问题的一般步骤与核心策略。三、教学重点与难点  教学重点：掌握有序、全面地进行搭配思考的方法与策略，并能用恰当的方式（连线、符号、算式）进行表达。确立依据在于，课标强调通过综合实践活动发展学生的推理意识和模型意识，“有序思考”是逻辑推理的基石，而“方法表达”是模型建构的外显。此重点亦是解决复杂组合问题的通用思维工具，对后续学习具有奠基作用。  教学难点：从具体的操作、连线等形象思维，过渡到理解“用乘法计算搭配总数”的算理抽象。预设难点成因在于，学生虽能通过枚举得到正确总数，但难以自发建立“每件上装与3件下装搭配，即有3种方法，2件上装就是2个3”这一对应关系，即从加法思维（3+3）跨越到乘法模型（2×3）存在认知跨度。突破方向在于，强化操作与记录中的“对应”演示与语言引导，使抽象算理具象化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式课件（含动态连线演示）；实物卡片（上装、下装图片）；学习任务单（含分层探究任务）。1.2环境布置：将学生分为46人异质小组，便于合作与交流；黑板划分为“操作区”、“展示区”、“模型区”。2.学生准备2.1学具：每人一套学具小卡片（2种上装、3种下装简图）。2.2预习：思考“明天有体育课和美术课，你准备穿哪件上衣和哪条裤子？一共有几种不同的穿法？”并用自己喜欢的方式表示出来。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与旧知唤醒：同学们，周末去公园，笑笑遇到了一个“甜蜜的烦恼”。（课件出示：衣柜里有2件上装、3件下装）她想挑一身最精神的衣服，有多少种不同的搭配方法呢？“看来，小小的搭配里藏着大学问！今天我们就一起来当一回‘形象设计师’，研究《搭配的学问》。”  1.1提出核心驱动问题：面对这个“2件上装、3件下装”的搭配问题，怎样才能找出所有的搭配方案，并且做到不重复、不遗漏呢？请大家先用自己的学具卡片摆一摆，看看能找到几种。  1.2勾勒学习路径：待会儿我们将从动手操作开始，然后寻找更清晰的记录方法，最后还要探索能不能用更快的“计算”方法。比比看，谁的想法最有条理！第二、新授环节  本环节围绕核心问题，搭建由具象到抽象的思维阶梯，设计五个层层递进的探究任务。任务一：实物操作，初步感知  教师活动：首先，巡视全班，观察学生的操作方式。将有代表性的方法（无序摆的、有序摆的）用实物投影展示。“大家看，这两位同学都找到了6种。你们觉得哪种摆法更容易一眼就看出找全了没有？”引导学生对比观察，聚焦“顺序”。接着示范引导：“老师有个小秘诀，叫‘固定一件，有序轮换’。比如，先固定这件T恤，它可以分别与裤子1、裤子2、裤子3搭配，这样就有3种。然后呢？”请学生接着操作。  学生活动：利用手中卡片进行自由搭配操作。通过观察同伴的摆法，初步感受“有序”与“无序”的差异。在教师引导下，尝试用“固定上装，轮流配下装”或“固定下装，轮流配上装”的策略重新操作一遍，并数出一共有6种不同的搭配。  即时评价标准：1.操作过程是否从随意尝试转向有意遵循某种顺序。2.能否清晰地说出自己采用的“固定”策略。3.小组内能否通过对比，认同有序操作的优势。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心方法：有序操作。解决搭配问题，不能胡乱尝试，可以采用“固定一个，有序轮换另一个”的策略，这样能有效避免重复和遗漏。“大家记住，有序是解决这类问题的金钥匙。”  ▲思维起点：枚举思想。最初的动手摆一摆，实质上是将所有可能的情况一一列举出来，这是最直观的方法。对于复杂的问題，枚举是验证其他方法是否正确的基础。  ●活动经验：合作与观察。在小组内交流不同的摆法，通过比较发现方法的优劣，这是向同伴学习的宝贵机会。任务二：图形连线，形象记录  教师活动：提出进阶挑战：“刚才我们用卡片摆，如果卡片被收走了，你怎么把你的搭配方案记录下来，告诉别人呢？”鼓励学生用画图的方式在任务单上尝试。“我看到有的同学画得很详细，有的同学用了简单的符号，真棒！有没有一种方法，既能表示清楚，又画得很快呢？”引出连线法。在黑板上示范：先画出2件上装和3件下装，然后从第一件上装开始，分别向3件下装连线。“这条线就代表一种搭配。谁看懂了？为什么从一件上装能画出3条线？”  学生活动：尝试用自己喜欢的图形、符号或文字记录6种搭配方案。观察教师示范的连线法，理解每条线的含义。模仿并独立用连线法在任务单上完成记录。部分学生可能尝试从下装往上装连线。  即时评价标准：1.记录方式是否能清晰表达“谁与谁搭配”的对应关系。2.连线是否规范、有序，能否体现“不重不漏”。3.能否解释自己连线顺序代表的思考策略。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心表征：连线图。连线是数学中表示两种事物间对应关系的常用手段，它比实物操作更抽象一步，比纯文字更直观，是思维的“可视化”工具。  ▲方法优化：从具体到半抽象。记录方式从画具体衣物简化为用图形、符号甚至字母表示，体现了数学的简洁性追求。连线法则进一步将离散的搭配方案整合成一个清晰的结构图。  ●符号意识萌芽：用简单的图形（如○、△）代替具体事物，是符号化思想的初步体验。可以引导学生思考：“如果用字母A、B表示上装，用1、2、3表示下装，该怎么连线？”任务三：符号抽象，建立对应  教师活动：承接学生想法，引入符号表示。“刚才有同学提到了字母，这主意太妙了！我们用字母A、B代表两件上装，数字1、2、3代表三件下装。”在黑板上画出A、B和1、2、3，并连线。“现在，一种搭配方案就可以用一个‘代号’表示了，比如A1。谁能说说B2代表哪种搭配？”引导学生读写所有搭配代号。“请大家数一数，这些代号一共有几个？你是怎么数的？是一口气数，还是分组数的？”  学生活动：学习用“字母+数字”的符号对来表示一种搭配。根据连线图写出所有可能的符号组合（A1,A2,A3,B1,B2,B3）。尝试有序地数出这些符号，并分享数数策略（如先数A开头的3个，再数B开头的3个）。  即时评价标准：1.能否正确理解并使用符号对表示具体的搭配。2.在列举符号对时，是否遵循了有序的原则（如先定字母，再变数字）。3.数数策略是否体现了结构化思维（分组计数）。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心概念：符号化表示。用A1、B2等符号对表示搭配，是数学抽象的重要一步。它完全脱离了具体事物，形成了通用的数学语言，为概括规律奠定了基础。  ▲思维结构化：分组计数。在数符号对时，自然的“先数A的，再数B的”想法，实质上是将6个对象分成了两组，每组3个。这种分组思想是理解乘法算理的直接桥梁。  ●对应思想：每一个符号对（如A1）唯一对应一种实物搭配（T恤配牛仔裤），反之亦然。这种一一对应的关系保证了我们研究符号就是在研究原问题。任务四：算式建模，揭示规律  教师活动：这是突破难点的关键步骤。指着连线图或符号列表提问：“我们通过操作、连线、用符号，都得到了6种。如果不画图、不列符号，你能直接算出有几种吗？仔细观察，这个‘6’是怎么来的？”引导学生观察：“一件上装配3件下装，就是1个3；两件上装呢？”板书：1个3+1个3=2个3。进而追问：“2个3相加，用乘法怎么表示？”板书：2×3=6（种）。同理，引导学生从下装角度思考：1件下装配2件上装，3件下装就是3个2，即3×2=6。“看来，从不同角度思考，但都‘相遇’在同一个结果上。”  学生活动：观察已有成果，寻找“6”与“2件上装”、“3件下装”之间的关系。在教师引导下，尝试用语言描述“一件上装有3种配法，两件上装就有2个3种”。理解并复述乘法算式2×3=6的含义。部分学生能尝试从下装角度解释3×2=6。  即时评价标准：1.能否将“2×3=6”中的数字“2”、“3”与实际问题中的上装、下装数量正确关联。2.能否用自己的话解释算式的意义（如“因为每件上装都有3种选择，有2件上装，所以是2乘3”）。3.是否理解从两个角度思考都能得到正确结果。  形成知识、思维、方法清单：  ★核心模型：乘法原理雏形。当完成一件事情需要分两步（先选上装，再选下装），每一步的方法数相乘，就是总的方法数。这是组合数学中乘法原理最浅显的实例。“这个发现了不起！我们把一个搭配问题，转化成了乘法计算。”  ▲算理理解：乘法的本质。此处的2×3，不是单纯的计数，而是表示“2个3相加”。它深刻揭示了本课乘法与之前学习的乘法（同数连加）在本质上的统一，是乘法意义的又一次拓展应用。  ●策略多样化：既可以从上装角度思考（2×3），也可以从下装角度思考（3×2），这体现了解决问题策略的多样性，并渗透了乘法交换律的思想。任务五：情境变式，巩固模型  教师活动：出示变式情境：“午餐时间到了，一份套餐包含1种主食和1种炒菜。主食有米饭、馒头，炒菜有西红柿炒蛋、土豆丝、青椒肉丝。一共有多少种不同的套餐选择？”提问：“这和我们刚才研究的衣服搭配，是同一个数学问题吗？哪里一样？”引导学生识别出“两种事物搭配”的结构。“你能直接用算式算出来吗？请说说你的算式和理由。”再请学生用连线法验证。  学生活动：识别新情境中的数学结构（主食2种，炒菜3种）。独立尝试列出算式2×3=6（种），并说明理由。用连线法在任务单上画图验证计算结果，巩固方法与模型。  即时评价标准：1.能否准确识别新情境中的“两类事物”及其数量。2.能否不经过完整枚举，直接运用乘法模型列出算式并解释。3.连线验证是否规范、正确。  形成知识、思维、方法清单：  ★模型应用：识别结构。解决实际问题的关键，是从纷繁的生活信息中抽象出“两类事物进行一一搭配”的数学模型。这是数学建模思想的核心环节。  ▲方法验证：算画结合。用算式快速求出总数，再用连线法（或其他枚举法）进行验证，体现了计算快捷性与直观可靠性的结合，培养了严谨的科学态度。  ●数学眼光：能从不同的生活场景（穿衣、配餐）中看到相同的数学本质，这就是用数学的眼光观察现实世界。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，满足差异化需求。  1.基础层（全员过关）：“从学校到少年宫有2条路，从少年宫到动物园有3条路。从学校经过少年宫到动物园，有几种不同的走法？”（直接应用模型，2×3=6）。  反馈：快速核对答案后，提问：“这里的‘2’和‘3’分别对应什么？谁能当小老师讲一讲？”  1.综合层（多数挑战）：任务单上的“升级题”：小明的生日密码是一个两位数，十位数字是2、5、8中的一个，个位数字是1、4中的一个。这个密码可能有多少种？要求先用连线法表示，再写算式。（情境稍复杂，需明确“十位”、“个位”两类）。  反馈：展示不同连线图，对比优劣。强调“有序”在数字搭配中同样重要。同伴互评标准：连线清晰吗？算式对吗？  1.挑战层（学有余力）：“如果笑笑还有2顶不同的帽子，现在的搭配问题变成了：先选1顶帽子，再选1件上装，最后选1件下装。一共会有多少种不同的全身搭配呢？大胆猜想一下，和同桌说说你的想法。”（为下节课“三个元素的搭配”或乘法原理的扩展埋下伏笔）。  反馈：不要求统一答案，鼓励分享猜想（如6×2=12）。重点表扬能联系本节课经验进行推理的学生。“你的猜想很有道理，把两步拓展成了三步，课后可以画图研究一下！”第四、课堂小结  1.知识整合：“同学们，今天我们当‘设计师’、‘点餐员’、‘探路者’，经历了丰富的探索。回顾一下，解决搭配问题的关键是什么？”引导学生总结：有序思考（固定法）、方法表达（连线、符号）、建立模型（用乘法算）。  1.方法提炼：请学生用思维导图或关键词在笔记本上简单梳理学习历程（操作—画图—符号—算式）。提问：“从开始的动手摆，到最后的乘法算，你觉得自己最大的进步在哪里？”（引导学生反思从“具体”走向“抽象”的思维飞跃）。  1.作业布置与延伸：  必做（基础）：完成练习册相关基础题，并用连线法检查一道题的答案。  选做（拓展）：（1）设计一个类似的“搭配”问题考考家长。（2）研究“挑战层”中帽子、上装、下装的三步搭配问题，把你的发现（画图或算式）记录下来。  “生活中处处有搭配，数学能让搭配变得有序又高效。下节课，我们将用今天学到的方法，去解决更有趣的‘密码’问题。”六、作业设计  基础性作业：1.课本第102页“做一做”第1、2题。要求用连线法完成，并写出乘法算式。2.填空：3件上装和4件下装，一共有（）种搭配方法，算式是（）。  拓展性作业：1.（情境应用）小小规划师：为班级“图书角”的图书设计编号。书架有3层，每层有5个格子。如果用“层数+格数”的方式给每个格子编号（如第1层第1格叫“11”），一共需要设计多少个不同的编号？请用数学方法解决并说明。2.（方法梳理）用你喜欢的方式（如画图、列表、写日记），向家人介绍你今天学到的“有序搭配”的方法。  探究性/创造性作业：1.（开放探究）研究“0”在搭配中的意义：如果笑笑有一件上装怎么都找不到合适的下装配，可以认为这件上装有0种搭配。那么，2件上装（其中一件有0种搭配）和3件下装，一共有多少种搭配？你的算式需要如何调整？这说明了什么？2.（跨学科联系）与美术或语文结合：用“形状”和“颜色”进行搭配，创作一幅有规律的图案（如，3种基本图形×4种颜色），并为你作品中的搭配规律写一段简短的说明。七、本节知识清单及拓展  1.★有序思考：解决搭配问题的首要原则。常用策略是“固定一个，有序轮换另一个”。它保证了思维的条理性和结果的完整性。  2.★连线法：一种直观、清晰的记录和表示所有搭配方案的方法。用线连接两类事物，每条线代表一种搭配，是思维可视化的有效工具。  3.★符号表示法：用字母、数字等符号代替具体事物来表示搭配（如A1）。它更简洁，是数学抽象的开始，有助于发现一般规律。  4.★乘法模型（核心）：当完成一个搭配需要分两步，第一步有m种方法，第二步有n种方法，那么总方法数为m×n。这是从大量具体例子中抽象概括出的数学模型。  5.算理理解：算式m×n的含义是“m个n相加”。例如2×3=6，表示2个3（种搭配）相加。  6.策略多样性：既可以从A类事物角度思考（m×n），也可以从B类事物角度思考（n×m），结果相同，体现了乘法交换律。  7.模型识别：关键是从生活问题中抽象出“两类事物进行一一搭配”的数学结构。例如，路线选择、数字组数、套餐组合等，本质相同。  8.▲乘法原理雏形：本节课内容是组合数学中“乘法原理”的最基础形态。乘法原理指出：完成一件事需要分n步，每一步各有若干方法，则总方法数为各步方法数的乘积。  9.应用意识：数学来源于生活并应用于生活。搭配知识可以解决服装、餐饮、路线规划、密码设置等实际问题。  10.易错点提醒：混淆“搭配”与“排列”。搭配是两类不同事物的组合（如上装和下装），不分顺序；排列是同一类事物的顺序安排（如数字排顺序），两者不同。  11.验证方法：用连线、列表等枚举法可以验证乘法计算的结果是否正确，做到“算有所依”。  12.▲拓展：三步搭配：如果搭配需要三步（如帽子、上装、下装），则总方法数为各步方法数的连乘（如a×b×c）。这可以通过两步模型推导得出。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：本节课预设的知识与能力目标达成度较高。通过课堂观察和任务单反馈，超过85%的学生能熟练运用连线法解决基础搭配问题，并正确列出乘法算式。情感目标在小组合作与成功解决问题的兴奋感中得以实现。思维目标的达成呈现层次性：大部分学生掌握了“有序操作”，约60%的学生能初步解释乘法算理，抽象为符号和深刻理解模型则是对部分学优生的要求。  （二）环节有效性评估：导入环节的生活情境迅速点燃了兴趣。新授的五个任务构成了有效的思维阶梯。“任务一”的对比操