二次函数建模：从现实问题到数学解决方案

二次函数建模：从现实问题到数学解决方案一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“函数”主题下的核心内容。课标要求初中阶段学生能“探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用函数表达的方法”，并“体验建立模型、解决问题的过程”。本课正处于一次函数应用与二次函数深化学习的交汇点，是学生将抽象的函数知识转化为解决实际问题的关键能力枢纽。从知识图谱看，它要求学生综合运用二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式以及最值理论，实现从“数”与“形”的认识到“用”的飞跃。其过程方法的核心是“数学建模”，即引导学生经历“现实情境抽象为数学问题—建立二次函数模型—求解模型—回归实际检验”的完整探究路径。这一过程深度承载着数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养的培养，旨在让学生感悟数学源于生活、用于生活的理性精神与应用价值，提升运用数学思维分析和解决问题的综合能力。  授课对象为九年级学生。他们已掌握二次函数的基本概念、图像和性质，具备初步的数形结合思想与列代数式的能力。然而，将文字描述的实际情境准确“翻译”为二次函数关系式，尤其是确定自变量的取值范围，是普遍的认知障碍点。学生常因无法有效识别关键变量、忽视实际意义对变量取值范围的制约，或在复杂的多步骤推理中迷失方向而导致建模失败。基于此，本节课的教学必须强化情境分析这一“脚手架”，通过设置阶梯性任务和可视化工具（如图像分析），引导学生分解问题、寻找等量关系。在教学过程中，我将通过追问、小组讨论成果展示及针对性巡辅，动态诊断学生在“语言翻译为数学”环节的卡点，并准备两类支持策略：对于基础薄弱学生，提供带有引导提示的“建模步骤卡”；对于学有余力者，则提出“改变某个条件，模型将如何变化？”的追问，引导其进行变式探究，实现差异化的思维进阶。二、教学目标  学生将能够整合二次函数的图像、性质及解析式知识，清晰阐述利润最大化、面积最值等典型问题中二次函数模型的建立过程，并准确说明模型中自变量取值范围的现实依据。避免孤立记忆题型，而是理解建模的逻辑链条。  学生能够独立或通过协作，完成从具体实际问题中识别变量、建立二次函数关系式、利用配方法或公式求出最值，并依据实际意义合理解释结果的完整数学建模流程。重点发展将非数学语言转化为数学符号系统的抽象能力与有条理的逻辑表达能力。  在解决诸如“如何获得最大利润”“如何设计最优版面”等问题的过程中，激发学生对数学应用价值的认同感，培养其用数学眼光观察世界、用数学思维思考现实问题的自觉意识，并在小组探究中体验理性思考与协作共赢的乐趣。  核心发展数学建模思维与函数思想。学生将经历“实际问题数学化”的关键思维跃迁，学会运用函数模型来刻画现实世界中变量间的非线性依赖关系，并深刻体会数形结合思想在分析问题、寻求策略中的优越性。  引导学生通过对照范例、使用评价量规来审视自己或同伴建立的模型是否完整、合理，并反思建模过程中的思维难点与突破方法。培养学生在解决问题后，自觉进行“我的模型是否考虑了所有条件？”“还有没有其他建模角度？”的元认知提问习惯。三、教学重点与难点  教学重点：建立实际问题中的二次函数模型，并利用二次函数的性质求最值。确立此为重点，源于其在课标中的核心地位——是体现函数应用价值的关键，也是连接数学知识与现实世界的桥梁。从中考命题趋势看，二次函数的实际应用是高频考点，不仅考查计算，更侧重对建模过程的理解和分析能力，是区分学生综合素养层次的重要维度。  教学难点：从实际问题中抽象出数量关系，正确列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。难点成因在于这需要学生克服文字信息的干扰，进行多层次的数学抽象：首先，要辨析哪些是变量、常量；其次，要发现变量间的二次关系（通常是乘积关系导致）；最后，还需将生活逻辑（如“销量不能为负”“边长大于零”）转化为数学不等式以确定自变量范围。学生常见的错误如忽视取值范围、关系式列错一项等，都根源于此抽象过程的断裂或偏差。突破方向在于设计循序渐进的探究活动，强化对关键语句的“数学翻译”训练。四、教学准备清单  1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式课件（包含动态几何软件GeoGebra制作的函数图像交互演示）；实物投影仪。  1.2学习材料：分层设计的学习任务单（内含引导性问题、建模步骤脚手架、分层练习）；小组合作讨论记录卡；课堂巩固练习卷。  2.学生准备  复习二次函数的一般式、顶点式和图像性质；准备笔记本、作图工具。  3.环境预设  教室座位按4人异质小组摆放，便于合作探究；黑板分区规划，预留“知识生成区”、“模型展示区”和“要点总结区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设：同学们，大家是否看过篮球比赛？想象一下，篮球出手后划出的那道弧线。我们现场用GeoGebra模拟一个投篮过程（展示动画：篮球以抛物线轨迹入筐）。看，这个轨迹像我们学过的什么函数图像？对，是抛物线，也就是二次函数的图像。那么，教练员在训练时，可能会思考一个问题：“在哪个位置出手，篮球才能达到最高点，更容易命中呢？”其实，这就是一个隐藏在运动中的数学问题。  1.1问题提出：不只是篮球，生活中很多“最优”问题，比如“怎么定价利润最大？”“怎么围篱笆面积最大？”，背后都藏着抛物线的奥秘。今天，我们就化身“数学建模师”，一起揭开这些实际问题中的二次函数秘密，学习如何用二次函数模型来寻找那个“最优解”。  1.2路径明晰：我们的探索之旅将分三步走：第一步，我们先从一个经典的销售利润问题入手，学习如何把文字“翻译”成函数模型；第二步，我们将挑战更复杂一点的图形面积问题，巩固建模方法；第三步，我们当堂实战，用所学知识解决新的挑战。大家准备好了吗？让我们从第一个模型开始。第二、新授环节  任务一：探究利润最大化模型  教师活动：首先，呈现一个基础问题原型：“某商品进价为40元，售价60元时，每天可卖100件。市场调查发现，售价每涨1元，每天少卖10件。设涨价x元，日利润为y元。求y与x的函数关系式，并求售价为多少时利润最大？”我不会直接讲解，而是抛出引导性问题链：“大家先别急着列式，我们一起‘翻译’题目。1.‘涨价x元’后，新的售价是多少？（等待学生回答）2.这个时候，每天的销量会怎么变化？能用含x的式子表示吗？（引导学生发现：销量=10010x）3.那么，每件商品的利润是多少？（提醒是售价减进价）4.总利润y怎么计算？”在学生列出y=(20+x)(10010x)后，我会追问：“这个关系式是二次函数吗？请把它化成一般形式。”接着，转向最值求解：“如何求这个函数的最大值？有哪些方法？”引导学生回顾配方法或顶点坐标公式。在学生计算出结果后，我会关键一问：“当x=4时，利润最大，那么此时的售价是64元。这个答案可以直接下结论吗？大家再看看我们的式子，x可以取任意实数吗？销量10010x能是负数吗？”以此引导他们自主发现并讨论x的实际取值范围（0≤x≤10），并强调在实际问题中检验答案合理性的必要性。最后，我会用GeoGebra动态展示函数图像，在图像上拖动点，直观显示利润随涨价变化的过程，并指出顶点和自变量有效区间的关系。“看，图像就像一座山，顶点固然最高，但我们能爬的部分，只是山向阳的这一段坡（指出0到10区间）。”  学生活动：学生跟随教师的问题链，一步步分析，尝试口述或写下各个量的代数表达。在教师引导下，列出函数关系式并化简。回顾求二次函数最值的方法，进行计算。针对教师最后的取值范围提问，进行小组内短暂讨论，意识到需要考虑“销量非负”这一实际条件，从而确定x的取值范围，并理解最终答案必须在取值范围内取得。观察动态图像，建立数形联系，直观理解自变量取值范围的意义。  即时评价标准：1.能否准确地将“售价每涨1元，少卖10件”翻译为“销量=10010x”。2.列出的总利润关系式是否完整（利润=单利×销量）。3.在求解最值后，是否能主动或经提醒后考虑到自变量的实际取值范围。  形成知识、思维、方法清单：★1.利润问题基本模型：总利润=（销售单价进价）×销售量。关键在于将价格变动引起的销售量变化用一次函数表示，从而总利润表示为关于涨价（或降价）量的二次函数。★2.求实际问题中最值的步骤：①设变量；②建立二次函数模型；③化简为一般式；④利用配方法或顶点公式求顶点坐标（理论最值）；⑤关键步骤：检验顶点横坐标是否在自变量实际取值范围内。若在，则即为所求；若不在，则需根据函数单调性在边界处取最值。▲3.自变量的实际意义：自变量（如涨价量x）的取值必须保证所有衍生量（如售价、销售量）符合现实（非负、整数等），这是数学模型回归实际的关隘，也是易错点。  任务二：构建图形面积最值模型  教师活动：在巩固了利润模型后，我将问题转向几何背景。“接下来，我们看看怎么用二次函数来做个‘最佳设计师’。”呈现问题：“用一段长为40米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地。怎样围才能使菜地的面积最大？”首先，我会让学生独立思考并尝试：“大家先动笔试试，关键是如何设未知数，怎么表示矩形的长和宽？”巡视中，我会关注不同设元方法（如设垂直于墙的边为x米）。然后请两位采用不同设元方法的学生上台板演。之后，引导学生对比：“两种方法得到的函数关系式一样吗？它们求出的最大面积和此时矩形的边长一样吗？”通过对比，让学生理解设元不同，函数表达式形式可能不同，但最终结论一致，渗透函数思想。接着，我会深化问题：“如果墙的长度只有18米，其他条件不变，又该怎么围？”让学生意识到此时自变量的取值范围会因墙长受限而进一步缩小（0<矩形长≤18）。引导学生计算并比较顶点是否在取值范围内。“看来，我们不仅要会‘建模型’，还要会‘用模型’，根据实际情况灵活调整我们的解决方案。”  学生活动：学生独立审题，尝试设未知数，建立面积S与一边长x之间的函数关系式。观察同伴的不同解法，参与对比讨论，理解不同路径可达同一结论。面对“墙长限制”的新条件，主动修正自变量的取值范围，并重新求解最值，体验条件变化对模型解的影响。  即时评价标准：1.能否根据周长关系，正确用含一个变量的式子表示矩形的另一条边。2.建立面积函数模型是否准确。3.面对附加条件（墙长限制），能否迅速调整并确定新的自变量取值范围。  形成知识、思维、方法清单：★4.面积最值问题通法：在周长一定条件下，求矩形面积最大值，可转化为建立面积关于边长的二次函数模型。★5.确定自变量取值范围的“双重检验”原则：首先，边长需满足大于零的基本几何意义；其次，需满足题目中所有隐含的约束条件（如墙的长度限制）。▲6.函数模型的多样性：同一问题，选取不同的自变量，得到的解析式形式可能不同，但本质上描述的是同一变化规律，最终结论应一致。这体现了函数表示方法的不唯一性。  任务三：归纳建模的一般步骤  教师活动：经历两个典型问题的探究后，我需要引导学生从具体经验中提炼普适方法。“经历了利润和面积这两个问题的‘锤炼’，大家能不能总结一下，用二次函数解决实际问题的‘套路’是什么？”我会组织小组讨论，并请各组派代表分享。我将学生的发言要点记录在黑板“知识生成区”，并协助他们完善表述，最终共同归纳出清晰的步骤。然后，我会出示一个完整的流程图或口诀进行强化：“我们可以概括为‘一设二列三求四验’：设出自变量和函数；列出二次函数解析式；求出（理论）最值点；检验是否符合实际。”并强调：“其中最灵魂的一步，就是‘列’，它考验的是我们从现实世界到数学世界的‘翻译’功力；而最容易‘翻车’的一步，就是‘验’，它保证了我们的数学答案能稳稳地落地生根。”  学生活动：以小组为单位，回顾前面两个任务的解决过程，讨论、交流、归纳共同的步骤。派代表发言，参与全班总结。聆听教师总结，对照自己的思考，形成系统化的方法认知。  即时评价标准：1.小组归纳的步骤是否完整、逻辑清晰。2.能否突出“确定自变量取值范围”和“检验”这两个关键环节。  形成知识、思维、方法清单：★7.利用二次函数解决实际问题的四步骤：①审题设元；②建立函数模型（关键）；③求解数学模型（求顶点或利用性质）；④回归实际验证（检验取值范围并作答）。▲8.数学建模思想：体会从具体问题中抽象出数学本质（二次函数关系），通过数学工具求解，再将结论用于指导实践的全过程，这是应用数学的核心思想。第三、当堂巩固训练  本环节设计分层练习，所有学生需完成基础层题目，鼓励挑战更高层次。  基础层（直接应用）：1.某商店销售一种进价为20元的商品，在销售过程中发现，日销售量y（件）与售价x（元）满足y=2x+80。设每日利润为w元。求w与x的函数关系式，并求售价为多少时，日利润最大？最大利润是多少？（点评点：侧重考查单一销售关系下的模型建立。）  综合层（情境复合）：2.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（墙长>15米），另三面用栅栏围成。现有栅栏总长为40米。设饲养室垂直于墙的一边长为x米，面积为S平方米。请问：当x为何值时，S有最大值？并求出最大值。若要求饲养室的面积不小于150平方米，试确定x的取值范围。（点评点：在求最值基础上，增加了根据面积反求自变量范围的逆向思考，并与不等式结合。）  挑战层（开放探究）：3.（选做）根据本节课所学，请你自编一道关于“用二次函数求最值”的实际问题，并给出解答。要求情境合理，数据恰当。（点评点：考查学生对模型本质的理解与创造性应用。）  反馈机制：学生独立完成练习后，首先进行小组内互评，重点核对建模过程的合理性。教师巡视，收集典型解法与共性错误。利用实物投影展示一份优秀解答和一份存在典型错误（如忽略取值范围）的解答，组织学生进行“诊断”与“纠错”。对挑战层作业，可邀请完成的学生简要分享其问题设计思路，予以鼓励和点评。第四、课堂小结  同学们，今天我们这趟“建模之旅”即将到站。现在，请大家不要看笔记，尝试用一分钟时间，在纸上画出本节课知识结构的思维导图，或者用几句话概括你的最大收获。好，哪位同学愿意分享你的“知识地图”？……（学生分享后）大家的总结很到位。核心就是我们掌握了那把“金钥匙”——将利润、面积等问题转化为二次函数模型，并通过“一设二列三求四验”的步骤去寻找最优解。记住，数学不是枯燥的公式，它是我们分析世界、优化决策的强大工具。  课后作业分为三个层次，请同学们根据自己的情况选择完成：必做（基础性作业）：教材课后练习中关于二次函数应用的2道基础题，巩固建模流程。选做A（拓展性作业）：寻找一个生活中可能与二次函数最值有关的现象或问题，尝试用今天的知识进行分析，并简要写出你的思考过程。选做B（探究性作业）：研究一下，对于周长一定的矩形，什么时候面积最大？对于面积一定的矩形，什么时候周长最小？这背后是否藏着同一个数学原理？下节课我们可以一起探讨。六、作业设计  基础性作业（全体必做）：  1.某水果店销售一种水果，进价为每千克8元。如果按每千克10元销售，每天可售出200千克。经市场调查发现，在10元的基础上，售价每上涨0.5元，日销售量就减少10千克。设涨价x个0.5元，日销售利润为y元。求y与x的函数关系式，并求售价定为多少时，能获得最大日利润。  2.用一根长度为60厘米的丝带，制作一个长方形礼品框。如果要求礼品框的一边长是15厘米，求另一条边长为多少时，框的面积最大？最大面积是多少？  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  3.社区准备在一条靠墙的空地上修建一个矩形花园。现有总长为30米的栅栏可供使用。花园靠墙的一边不需要栅栏。请问如何设计矩形花园的长和宽，才能使其面积最大？如果社区要求花园的面积不低于40平方米，那么可行的设计方案有哪些？（请列出长和宽的可能取值）。  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：  4.“我是出题人”项目：请你以“二次函数的最优决策”为主题，创作一个完整的、具有现实背景的应用题。要求：①背景真实有趣（如运动、经济、设计等）；②题目表述清晰，数据合理；③自己完成完整的解答过程，并附上“命题思路”，说明你是如何设计变量和关系的。七、本节知识清单及拓展  ★1.二次函数模型的应用核心：当实际问题中两个变量之间存在“乘积和”关系（如（单价×销量）、（长×宽）），且其中一个变量随另一个呈一次函数变化时，总结果往往可表示为关于自变量的二次函数。这是识别能否使用二次函数模型的关键特征。  ★2.利润最大化模型通式理解：若基础单价为p，基础销量为q，单价每变动单位a元，销量反向变动单位b件，则设定价变动x个单位后，利润y=(p+ax进价)(qbx)。展开后必为关于x的二次函数。  ★3.图形面积最值中的变量设定技巧：在周长一定求面积最值问题时，通常设与变动关系最直接的一边为自变量x，利用周长关系表示另一边，则面积S=x(周长的一半x)或类似形式，本质上是关于x的二次函数。  ★4.自变量实际取值范围的确定：这是数学模型符合实际意义的生命线。确定时需逐项检查：①代数式本身有意义（如分母不为零，偶次根下非负）；②所代表的实际量非负（如长度、件数、价格≥0）；③满足题中其他明确限制（如“墙长足够”或“墙长≤某值”）。  ★5.最值点的“理论”与“实际”：配方或公式求出的顶点坐标是函数的理论最值点。必须将顶点横坐标与自变量实际取值范围进行比较：若在范围内，则顶点纵坐标即为最值；若不在，则最值在范围端点处取得，需代入比较。  ★6.数学建模的一般步骤（四步法）：①审、设：仔细阅读，设定主变量；②列、表：找出等量关系，列出二次函数解析式；③解、求：求解该二次函数，找到理论极值点；④验、答：将解代入实际情境检验，取舍后写出最终答案。口诀：“设、列、解、验”。  ▲7.不同设元法下的函数表达式：对于同一问题，选择不同的量作为自变量，得到的函数解析式在形式上可能不同（如一般式、顶点式差异），但其定义域、值域以及所描述的变化规律和最终结论是等价的。这体现了数学表达的灵活性。  ▲8.二次函数图像在分析中的直观作用：结合GeoGebra等工具绘图，可以直观看到抛物线顶点、增减性以及自变量实际范围所对应的图像片段。图像能有效帮助理解“为何有时最值不在顶点”，实现数形结合的双重验证。  ▲9.模型检验与反思的重要性：得到数学答案后，要养成反思习惯：这个数值在实际中合理吗？（如售价是否为常见价位）模型是否忽略了其他重要因素？（如成本可能也会变化）这有助于培养严谨的科学态度和批判性思维。八、教学反思  本次教学设计以“数学建模”为核心线索，力图在结构性教学框架中渗透差异化支持与素养导向。回顾预设流程，教学目标基本聚焦于模型建立与应用能力，但在实际模拟授课中，仍有诸多值得深度剖析与改进之处。  (一)目标达成度与环节有效性评估  从知识技能目标看，“利润”与“面积”两个核心模型的建构过程通过任务驱动得以落实，学生基本能跟随“翻译”思路列出关系式。然而，“确定自变量取值范围”这一难点，尽管在设计中反复强调，但在模拟练习中仍发现部分学生存在惯性遗漏。这提示我在“任务一”的教师活动小结时，不应仅由教师强调，而应增设一个即时微练习：如给出一个列好的函数和几个不同的x值，让学生判断哪个可行，并说明理由。在能力与素养目标上，“参与式学习”环节的小组讨论与归纳步骤，有效地促进了学生的思维外化与协作交流。但“挑战层”的自编题目环节，对大多数学生而言要求偏高，可能只有少数学生能真正完成。我考虑将其调整为“改编题目”，提供一道基础题，让学生通过改变条件（如“涨价”变为“降价”、“靠墙”变为“中间有隔断”）来创造新题，降低门槛，提升参与度。  (二)对不同层次学生表现的深度剖析  在模拟学情中，基础薄弱的学生在“任务一”从文字到代数式的转化环节容易出现停滞。他们可能需要更具体的“脚手架”，比如提供一个带有填空的模板：“涨价x元后，新售价=+；新销量=×____。”而学有余力的学生则在快速完成基础建模后，可能感到“吃不饱”。针对他们，除了设计变式追问，是否可以在“任务二”中引入“为什么靠墙围成正方形时面积并不是最大？”这样的认知冲突问题，引导他们探究对称轴不在取值范围中点时的最值情况，进行更深刻的数学思考。差异化不仅体现在练习分层，更应贯穿于新知探究的引导语与支持材料中。  (三)教学策略得失与理论归因  本节课成功运用了“支架式教学”理论，从利润到面积，从无限制到有条件限制，层层递进，搭建认知阶梯。GeoGebra的动态演示将抽象的取值范围