贵港2025-2026秋季期末高二数学试卷含答案

2025年秋季期期末学科素养检测6.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的

高二年级数学维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为

使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()

(全卷满分150分考试时间120分钟)

A.8B.10C.12D.13

注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效.考试结束将答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√3,c=1,(b-2c)cosA=acos(A+C),

求的.

则角C等于()

,则|z+i|=()C.D.

B.4

A.1B.8.如图，正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点，F为边CD上一点，当元·F取得最大值时，

tan∠EAF=()

2.设x∈R,则“Inx<0”是“|x+|<2”的()

A.1

D.既不充分也不必要条件

3.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同

(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长若长逐渐变小

春分

度),二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减用水各雨二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

m,立豆小请

少或增加的量相同，周而复始.已知雨水的晷长为9.5尺，大寒3009.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动(忽略小球的大小),它在1(s)时刻相对于平衡位置的高

小京

立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为()

条至270至度可以田确定，则下列说法正确的是()

小暑h(cm)h=

A.11.5尺大雪

小雪240120大

小球运动的最高点与最低点的距离为2

B.13.5尺A.cm

C.12.5尺霜降秋分处

B.小球经过4s往复运动一次

碧长逐渐变大

D.14.5尺

C.t∈(3,5)时小球是自下往上运动

4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ℃,空气的温度是θ。℃,经过1分钟后物体的

D.当1=6.5时，小球到达最低点

温度θC可由公式θ=8%+(θ,-θ。)e⁻求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的

常数，现有100℃的物体，放在10C的空气中冷却，5分钟后物体的温度是40℃,则k约等于()10.下列四个命题中，真命题是()

(参考数据In3=1.099)A.过点(3,1),且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-4=0

A.0.22B.0.27C.0.36D.0.55B.与圆M:(x-1)²+y²=2关于直线l:x-y+2=0对称的圆的方程为(x+2)²+(y-3)²=2

5.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长

ABCD-AB₁C₁D₁AC.圆C:x²+y²+2x+8y-8=0与圆C:r²+y²-4x-4y-2=0的公共弦所在直线的方程为

均为6,∠A₁AB=∠A₁AD=60°,DA⊥AB,则BD₁的长为()x+2y-1=0

A.6√6B.6√5

D.若点P(m,n)在圆C:x²+(y-1)²=9上，则m²+n²的取值范围为[4,16]

C.6√3D.6√2

烹一動些笪工页共4页亡一新学第1币廿4王

11.将数列{a.}中的所有项排成如下数阵：16.(15分)己知抛物线E:y²=2px的焦点F在直线x-4y-1=0上.

(1)求E的方程；

(2)若过点(2,0)的直线1与E相交于M,N两点，且△FMN的面积为4,求直线I的方程.

从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列：第1列数a,a₂,

a₃,.….成等差数列.若a=2,a₁₃=8,则()17.(15分)如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，∠BCD=60°,

A.a₁=-1B.(1)证明：AD⊥PB;

C.a₂e₂位于第45行第88列D.2024在数阵中出现两次(2)若PB=AD,点Q在线段PB上，且PQ=3QB,

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.求二面角A-CQ-B的余弦值.

12.一个圆锥的底面半径为1,母线与底面的夹角为,则该圆锥的体积为

13.己知双曲线C:的左、右焦点分别为F₁,F,过F₂的直线1与C的右支交于M,

18.(17分)已知{a.}为等差数列，{b.}为公比q≠1的等比数列，且q=b=1,a=b,a=b.

N两点，若,|MF|=|MM,则C的离心率为

(1)求{a.}与{b.}的通项公式：

14.已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2,若Vx,x∈(0,+∞)且x>r₂,都有

,求数列{c.}的前n项和T;

等式(x-2)f(x-2)<4的解集为

(3)在(2)的条件下，若对任意的n≥1,n∈N,恒成立，求实数1的取值范围.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)某校为了解高二1000名学生的物理成绩，随机抽查部分学生期中考试的成绩，将数据分

19.(17分)己知椭圆E:点0为坐标原点.

成(60,70),(70,80),[80,90],[90,100]4组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求椭圆的标准方程；

频率/组距E

0.030-(2)设不与坐标轴平行的直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点，与x轴交于点P,设线段AB中

点为M.

0.020

(i)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率之积为定值：

(ii)如图，当m=-k时，过点M作垂直于↓的直线l,交x轴于点Q.的取值范围.

60

(1)求a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这次物理成绩的平均分(用组中值代替各组数据的平均值);

(3)若在本次考试中，规定物理成绩比平均分高15分以上的为优秀，估计该校学生物理成绩的优

秀率(用百分数表示).

玄一数学第3页共4页高二数学第4页共4页

2025年秋季学期期末学科素养检测

高二年级数学参考答案

题号1234567891011

答案DABACBCCBDBCDACD

1.D【详解】因

2.A【详解】由题得Inx<0一0<x<1,|x+1|<2=-3<x<1,而区间(0,1)s(-3,1),

故“Inx<0”是“|x+1|<2”的充分不必要条件.

3.B【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为d(d>0),

则立冬到冬至晷长增加3d,冬至到雨水晷长减少4d,设冬至的晷长为x尺，

则解得则冬至所对的晷长为13.5尺.

4.A【详解】由题意得，40=10+(100-10)e-5,

两边取自然对数得，,所以

5.C【详解】由题意可得BD₁=AD-AB+DD₁,则：

BD;|=√(D-AB+D)²=√AD²+AB²+DD²-2AD·AB-2AB·Di+2AD·D₂=6√3

6.B【详解】设该企业需要更新设备的年数为x(x∈N"),设备年平均费用为9万元，

则X年后的设备维护费用为

所以x年的平均费用

当且仅当x=10时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.

7.C【详解】因为(b-2c)cosA=acos(A+C),所以由正弦定理得(sinB-2sinC)cosA=sinAcos(A+C),

因为cos(A+C)=-cosB,所以(sinB-2sinC)cosA=-sinAcosB,

即sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,所以sin(A+B)=2sinCcosA,

所以,又A∈(0,π),所以,又a=√3,c=1,

由正弦定理得·,所,所以或

由C<a得C<A,所以

8.C【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为V轴，建立平面直角坐标系如图所示，

答案第1页，共6页

CS扫描全能王

3亿人都在用的扫猫App

则A(0,0)、E(2,1),设DF|=x,则F(x,2),0≤x≤2,故AF=(x,2),AE=(2,1).

所以AE·AF=(2,1)·(x,2)=2x+2,当x=2时，AE·AF取得最大值，

此时点F(2,2),即点F与点C重合，且

此时

9.BD【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为2-(-2)=4cm,所以选项A错误；

因为所以小球经过4s往复运动一次，因此选项B正确；:

当t∈(3,5)时，,所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误：

当t=6.5时，所以选项D正确.

10.BCD【详解】对于A,当在x轴和y轴上的截距都为0时，

设直线方程为y=kx,将(3,1)的坐标代入得1=3k,解得

此时直线方程为.:当在x轴和y轴上的截距相等，且不为0时，设直线方程为

将(3,1)的坐标代入得,解得a=4,此时直线方程为x+y-4=0,故A为假命题.

选项B,设圆心M(1,0)关于直线l:x-y+2=0的对称点为N(x,y),则直线MN与直线l:x-y+2=0垂直，

∵直线1的斜率为k,=1,∴k·k₁=-1,∴k=-1,∴

∵M(1,0)和N(x,y)的中点为在直线l:x-y+2=0上，∴

①②联立方程组解得∴N(-2,3),∵所求的圆与圆M关于直线1对称，∴所求的圆的半径r=√2,

∴所求的圆的方程为(x+2)²+(y-3)²=2,故B为真命题.

对于C,将圆C₁:x²+y²+2x+8y-8=0与圆C:x²+y²-4x-4y-2=0的

方程作差得(x²+y²+2x+8y-8)-(x²+y²-4x-4y-2)=0,即x+2y-1=0,

所以公共弦所在直线的方程为x+2y-1=0,故C为真命题.

对于D选项，如图所示：

由题意可知m²+n²=|oP²,圆C的圆心为C(0,1),且该圆的半径为r=3,

由圆的几何性质可得|OP.=r-|OC|=3-1=2,|oP=|0C|+r=1+3=4,

答案第2页，共6页

CS扫描全能王

3亿人都在用的扫猫App

答案第2页，共6页

316

≤4,故m²+n²=|op²∈[4,16],故D为真命题.

11.ACD【详解】由第1列数a₁,a₂,as,a10,.…成等差数列，设公差为d,由a₂=2,a10=8,

可得a₁+d=2,a₁+3d=8,解得a₁=-1,d=3,

则第一列的通项公式为ag=-1+3(k-1)=3k-4,故A正确：

而k=1,2,5,10.…又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，

可得a₂+a₃+…+a,=2+4+8+5+10+20+40+80=169≠168,故B不正确；

考虑每一行的最后一个数为a₁,aą,ao,a6,…,而45²=2025,即a2024是a202s的前一个数，

而a2₀2s在第45行，又这一行共有2×45-1=89个数，则a2024在第45行第88列，故C正确：

设第i行第J个数为(3i-4)×2-¹,令j=1,由2024=3i-4,解得i=676:

令j=2,由1012=3i-4,解得i不为整数：

令j=3,由506=3i-4,解得i=170:令j=4,由253=3i-4,解得i不为整数：

故2024出现两次，故D正确.

【详解】由圆锥的底面半径为1,母线与底面的夹角为4,易知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

所以圆锥的高为1,所以圆锥的体积为：

13.√3【详解】如图，设|MF|=x,则M|F|=x-2a,因为|MF|=|MN|,

所以|NF₂|=|MN|-|MF|=2a,则|NF|=4a.

在△NF₁F₂中，由余弦定理得

FF₂²=|NF|²+|NF₂²-2|NE,||NE₂|cos∠F₂NF,

,化简可得c²=3a²,故

14.(0,4)【详解】设g(x)=xf(x),

由Vx₁,x₂∈(0,+o)且：,得·则g(x)在(0,+∞0)上单调递增，

因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),

所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),故g(x)为偶函数，

而g(x-2)=(x-2)f(x-2)<4=2f(2)=g(2),

所以有g(|x-2|)<g(2),又g(x)在(0,+∞0)上单调递增，

所以|x-2|<2,解得0<x<4,所以所求不等式解集为(0,4).

答案第3页，共6页

15.【详解】(1)由题可知，(0.03+2a+0.02)×10=1,........2解得a=0.025.…………4

(2)根据频率分布直方图的平均数的计算公式，

可得平均分的估计值为65×0.2+75×0.25+85×0.3+95×0.25=81分...................9(列式对得3分)

(3)由(2)可知，规定物理成绩高于96分的为优秀，.......10所以(100-96)×0.025=0.1.……12

估计该校学生物理成绩的优秀率为10%..................................................................................................13

16.【详解】(1)因为抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点F在x轴正半轴上，

对于直线x-4y-1=0,令y=0,可得x=1,.......................................1

可知焦点F(1,0),................2即,可得p=2,……3

所以抛物线C的方程为y²=4x........................................4

(2)如图，可知直线1的斜率可能不存在，但不为0,

设1:x=my+2,M(x,y),N(x₂,y₂)..............................................................5

联立1及E的方程得y²-4my-8=0,........6则y₁+y₂=4m,y1y₂=-8.……………8

此时，,.......11(若用弦长公式、点线距离公式各1分)

解得m=±√2.............................................................................................................................13

故直线1的方程为x-√2y-2=0或x+√2y-2=0.........................................................15

17.【详解】(1)取AD的中点0,连接OP,OB,BD,................................1

因为四边形ABCD是菱形，且∠BCD=60°,

所以∠BAD=60°,且AB=AD,所以△ABD为正三角形，AD⊥BO.................2

因为PA=PD,所以AD⊥PO..................................................3

又BONPO=0,所以AD⊥平面PBO,...................................................................4

因为PBC平面PBO,所以AD⊥PB...............................................................5

(2)设AB=2,则

所以PA²+PD²=AD²,所以∠APD=90°.

由(1)知，AD=1,,PB=AD=2,

所以PO²+OB²=PB²,所以PO⊥BO.........................6

故以0为坐标原点，分别以OA,OB,OP的方向为x,y,=轴

的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.............7x

,8

则A(1,0,0),B(0,√3,0),c(-2,√3,0),P(0,0,1),...............

答案第4页，共6页

所以CA=(3,-√3,0),,CB=(2,0,0)........................................................9

设n=(x₁,y,z)是平面ACQ的法向量，

则即取y=√3,........................11

设m=(x₂,y₂,z₂)是平面BCQ的法向量，

则即则x₂=0,取y₂=1,则m=(0,1,√3)...........13

………14

由图易知二面角A-CQ-B为钝二面角，

所以二面角A-CQ-B的余弦值为......................................................................15

18.【详解】(1)设等差数列{a,}的公差为d,

由得：...............2又q≠1,………………4

∴aₙ=1+2(n-1)=2n-1,b₀=3”-1..............................................................................6

(2)由(1)得：...............7

..................................8

..............................................................11

(3)由(2)得：对任意的n≥1,n∈N恒成立，

对任意的n≥1,n∈N恒成立；..............................................................12

;...............................14

则当n=1时，b₂<b₁:当n≥2时，bn+1>bn:

......................................................................................................16

即实数t的取值范围为...............................................